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空间向量坐标：度量与参数

约 2542 字大约 8 分钟

线性运算看同一基底；模、夹角和距离还要核单位正交条件。

一、知识点 理解概念

1. 线性运算在同一基底下按分量进行

设 a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec a=(a_1,a_2,a_3),\vec b=(b_1,b_2,b_3) 是同一有序基底下的系数，则

a⃗±b⃗=(a1±b1,a2±b2,a3±b3),λa⃗=(λa1,λa2,λa3).\vec a\pm\vec b=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,a_3\pm b_3),\qquad \lambda\vec a=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3).

理由是展开后合并同一基向量的系数，再由表示唯一性读出新系数。这部分对一般基底也成立；向量坐标表示位移，不是某个固定点的位置。

2. 度量的三项公式来自单位正交条件

固定单位正交基底 i⃗,j⃗,k⃗\vec i,\vec j,\vec k，将两向量各三项作数量积，分配律产生九项。不同基向量的六个交叉数量积均为零，同轴数量积均为一，因此

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3,∣a⃗∣=a12+a22+a32.\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\qquad |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.

模公式先取 b⃗=a⃗\vec b=\vec a 得模平方，再取非负平方根。第三项必须是第三坐标的平方 a32a_3^2，不是第二坐标的三次方 a23a_2^3；这一点由展开而非字形记忆确定。上传知识资料的文字记载原载体曾将第三项误植为 a23a_2^3；这里据该记载说明，并由展开确认正确式，不将其说成已亲见原载体。

两非零向量夹角满足

cos⁡θ=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32,0≤θ≤π.\cos\theta=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}},\quad 0\le\theta\le\pi.

分母须为两个模的积，不是两个模平方的积；负余弦表示钝角，不擅自取绝对值。

两点距离是差向量的模：若 A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2)A=(x_1,y_1,z_1),B=(x_2,y_2,z_2)，则

AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.

中点坐标是三项端点平均，来自 OM⃗=(OA⃗+OB⃗)/2\vec{OM}=(\vec{OA}+\vec{OB})/2。位移、平均、距离是线性运算与模长的连续应用。

3. 共线用同一倍率，垂直用数量积零

若 b⃗≠0⃗\vec b\ne\vec0，共线等价于存在同一实数 tt，使 a1=tb1,a2=tb2,a3=tb3a_1=tb_1,a_2=tb_2,a_3=tb_3，允许 t=0t=0。比值形式只有各分母非零才可用；含零分量时继续用乘法等式。

单位正交基底下，非零两方向垂直等价于三项乘积和为零。含零向量时该式仍是合法数量积等式，却不能给零向量定义直角。解参数之后，还须核所有分量、非零条件与原几何范围。

二、考点 方法与例题

1. 保持分量顺序，先线性运算再求模

点坐标先转成目标位移；组合向量先逐分量算清，数乘作用到每一项。模先算平方和，再开非负根，不漏任何一项。

例题 01 三个线性坐标运算

已知a⃗=(−2,3,5),b⃗=(3,−3,2)\vec{a}=(-2,3,5),\vec{b}=(3,-3,2)，求下列向量的坐标：

(1)a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b}；

(2)2a⃗+b⃗2\vec{a}+\vec{b}；

(3)−5b⃗-5\vec{b}．

答案与解析

(1) a⃗−b⃗=(−2−3,3−(−3),5−2)=(−5,6,3)\vec a-\vec b=(-2-3,3-(-3),5-2)=(-5,6,3)。

(2) 2a⃗+b⃗=(−4,6,10)+(3,−3,2)=(−1,3,12)2\vec a+\vec b=(-4,6,10)+(3,-3,2)=(-1,3,12)。

(3) −5b⃗=(−15,15,−10)-5\vec b=(-15,15,-10)。

每步保持同一基底的三分量顺序。第一问第二项减负得正；第三问第二项两个负号相乘变正。加减与数乘对一般斜基底也有效，不能由此推断其模也能直接按平方和求。

例题 02 中点到另一点的距离

已知O是坐标原点，空间向量OA⃗=(1,1,2)\vec{OA}=\left( 1,1,2\right)，OB⃗=(−1,3,4)\vec{OB}=\left( -1,3,4\right)，OC⃗=(2,4,4)\vec{OC}=\left( 2,4,4\right)，若线段AB的中点为D，则∣CD⃗∣=\left| \vec{CD}\right|=（    ）

A．222\sqrt{2} B．3 C．8 D．9

答案与解析

DD 为 ABAB 中点，故 OD⃗=(OA⃗+OB⃗)/2=(0,2,3)\vec{OD}=(\vec{OA}+\vec{OB})/2=(0,2,3)。从 CC 到 DD 是终点减起点：

CD⃗=(0,2,3)−(2,4,4)=(−2,−2,−1).\vec{CD}=(0,2,3)-(2,4,4)=(-2,-2,-1).

模平方 4+4+1=94+4+1=9，故模为 33，选 B。D 的 99 只到模平方；C 的 88 漏第三项且未开方；A 的 222\sqrt2 也漏第三项。

2. 参数先定全，再求新向量夹角

先依题给垂直与共线关系解参数，避免先除以未知分量。把新的两个目标向量独立算出并核非零，最后求余弦；只求余弦不必强求角度值，并检查结果在 [−1,1][-1,1]。

例题 03 参数、合成向量与夹角余弦

设x,y∈Rx,y\in R，向量a⃗=(1,1,1),b⃗=(1,y,1),c⃗=(z,−4,2)\vec{a}=(1,1,1),\vec{b}=(1,y,1),\vec{c}=(z,-4,2)，且a⃗⊥b⃗,b⃗//c⃗\vec{a}\perp \vec{b},\vec{b}//\vec{c}.

(1)求∣a⃗+b⃗∣|\vec{a}+\vec{b}|；

(2)求向量a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}与b⃗−c⃗\vec{b}-\vec{c}夹角的余弦值.

答案与解析

原题首句写 x,y∈Rx,y\in\mathbb R，实际坐标使用 y,zy,z，xx 不参与运算；以下按题中实坐标的 y,zy,z 计算，不添加关于 xx 的条件。

(1) a⃗⋅b⃗=1+y+1=0\vec a\cdot\vec b=1+y+1=0，得 y=−2y=-2。b⃗\vec b 恒非零，设 c⃗=tb⃗\vec c=t\vec b，第三项给 2=t2=t，第一项给 z=t=2z=t=2，第二项 −4=2(−2)-4=2(-2) 也满足。于是

a⃗+b⃗=(2,−1,2),∣a⃗+b⃗∣=4+1+4=3.\vec a+\vec b=(2,-1,2),\qquad |\vec a+\vec b|=\sqrt{4+1+4}=3.

(2) b⃗−c⃗=(−1,2,−1)\vec b-\vec c=(-1,2,-1)，其模为 6\sqrt6；两个目标都非零，数量积为 2(−1)+(−1)2+2(−1)=−62(-1)+(-1)2+2(-1)=-6，所以

cos⁡θ=−636=−63.\cos\theta=\frac{-6}{3\sqrt6}=-\frac{\sqrt6}{3}.

此值在 [−1,1][-1,1] 且为负，表示钝角。题目问固定方向的向量夹角，不是直线的锐夹角，不可改成正余弦。原式未定 zz 前，不应直接用 1/z1/z 作除法。

3. 共线用一组倍率方程，垂直核非零候选

选恒非零参照，用一个分量求倍率后核另外两个。垂直参数先算实际数量积，再决定能否除法；候选回代组合向量，不能只看标量方程。

例题 04 坐标共线的待定参数

已知向量a⃗=(−1,0,3)\vec{a}=\left( -1,0,3\right)，b⃗=(1,−1,1)\vec{b}=\left( 1,-1,1\right)，c⃗=(−1,2x,1)\vec{c}=\left( -1,2x,1\right)，若(a⃗−b⃗)∥c⃗\left( \vec{a}-\vec{b}\right)\parallel \vec{c}，则实数x=x=（    ）

A．14\frac{1}{4} B．−14-\frac{1}{4} C．12\frac{1}{2} D．−12-\frac{1}{2}

答案与解析

a⃗−b⃗=(−2,1,2)\vec a-\vec b=(-2,1,2)，非零。设 c⃗=t(a⃗−b⃗)\vec c=t(\vec a-\vec b)，第一项 −1=−2t-1=-2t 得 t=1/2t=1/2，第三项 1=2t1=2t 核对成立；第二项 2x=t2x=t 给 x=1/4x=1/4，选 A。

B、C、D 代入后的第二项倍率分别为 −1/2,1,−1-1/2,1,-1，都与首尾项倍率 1/21/2 不同。两目标非零，确有共线方向。本题也可用分母 −2,1,2-2,1,2 的比值式，因为这些分母都非零；遇到零坐标仍应保留乘法等式，不把 0/00/0 视作相同比值。

例题 05 垂直关系中的参数与回代

已知a⃗=(−2,1,3),b⃗=(−1,1,1)\vec{a}=\left( -2,1,3\right),\vec{b}=\left( -1,1,1\right)，若a⃗⊥(a⃗−λb⃗)\vec{a}\perp \left( \vec{a}-\lambda \vec{b}\right)，则实数λ\lambda的值为（    ）

A．−2-2 B．−143-\frac{14}{3}

C．73\frac{7}{3} D．2

答案与解析

a⃗⋅a⃗=4+1+9=14\vec a\cdot\vec a=4+1+9=14，a⃗⋅b⃗=2+1+3=6\vec a\cdot\vec b=2+1+3=6。所以

a⃗⋅(a⃗−λb⃗)=14−6λ=0,\vec a\cdot(\vec a-\lambda\vec b)=14-6\lambda=0,

得 λ=7/3\lambda=7/3，选 C。可以除以 66，因为已经算出它非零。

回代 a⃗−λb⃗=(1/3,−4/3,2/3)≠0⃗\vec a-\lambda\vec b=(1/3,-4/3,2/3)\ne\vec0，a⃗\vec a 也非零，数量积为零确实对应两方向垂直。A、B、D 使 14−6λ14-6\lambda 分别为 26,42,226,42,2，均不为零。

三、坑点 辨析与纠错

1. 斜基底或非单位基底要保留度量权重

三个不共面的单位向量未必正交；三个正交向量也未必单位长。对于 x⃗=pu⃗+qv⃗+rw⃗\vec x=p\vec u+q\vec v+r\vec w，一般应写

∣x⃗∣2=p2∣u⃗∣2+q2∣v⃗∣2+r2∣w⃗∣2+2pqu⃗⋅v⃗+2pru⃗⋅w⃗+2qrv⃗⋅w⃗.\begin{aligned} |\vec x|^2={}&p^2|\vec u|^2+q^2|\vec v|^2+r^2|\vec w|^2\\ &+2pq\vec u\cdot\vec v+2pr\vec u\cdot\vec w+2qr\vec v\cdot\vec w. \end{aligned}

交叉项只在相应方向垂直时为零；即使正交，若模不为 11，前三项仍带长度平方。右手/左手定向不能决定这些度量条件。

等棱平行六面体的完整原题与四选项解析给出具体对照：三棱均长 11，夹角均 60∘60^\circ，目标系数为 (−1,1,1)(-1,1,1)，但三个交叉项不可漏。正确模平方为 1+1+1−1−1+1=21+1+1-1-1+1=2，不是 33；原题图与逐项辨析均在链接例题中。

2. 零分母、漏开方与方向符号分别检查

共线三分量要对应同一倍率，零向量不可作直线方向；数量积零后还要核两个几何方向非零。模平方不是模，向量夹角的负余弦不是错误，不能为取锐角而擅改方向。三维模平方第三项是第三坐标平方，不是把下标与指数位置混写。