对数函数：完整定义域、等价形式与过点求式

约 3885 字大约 13 分钟

“含有对数”不等于对数函数，“外观不同”也不等于两个函数不同。本章从指数的逆向对应建立标准函数，再用完整定义域与合法换底识别它，最后把过点条件变成参数方程。

一、知识点概念与依据

1. 固定底数，反求每个正数对应的指数

固定 $a>0,a\ne1$ ，定义域为全部正实数的函数

y=\log_ax,\qquad x\in(0,\infty)

称为对数函数。输入 $x$ 是真数，输出 $y$ 是满足 $a^y=x$ 的指数；底 $a$ 在同一个函数里不随输入变化。 $\lg x$ 的底为10， $\ln x$ 的底为 $e$ 。

已学指数函数在实数域严格单调，值域为全部正数。因此每个正数 $x$ 都恰有一个实指数 $y$ 满足 $a^y=x$ ，逆向对应确实是函数。每个实数 $y$ 又都对应正输入 $a^y$ ，所以对数函数的值域是 $\mathbb R$ 。输入必须正，输出却能正、负、零。

直接从定义得 $f(1)=0,f(a)=1$ 。它们是标准函数的必要性质，不能反过来认为凡过 $(1,0)$ 的函数都是对数函数，例如 $y=x-1$ 在正侧也过该点，却不能仅据此认定它有固定合法底表示。

2. 判断整个函数，而不只比较写法

“含对数的函数”还可有输入平移、乘方、外部加常数、随输入变化的底数等。判断是否同一个函数，应同时核对完整定义域和其中每个输入的输出。

$\log_a(x^2)$ 的自然定义域是 $\mathbb R\setminus\{0\}$ ，含负输入。只在正侧写成 $2\log_ax$ ，不能据此把原函数认成正侧标准对数函数：删掉负支已经改了函数。 $\log_a(x-h)$ 在 $x>h$ 才有意义；外加常数可能改变 $f(1)$ ；随输入变底也不能直接沿用固定底性质。

完整域、 $f(1)=0$ 、值域为实数集是方便的排除检查；全通过仍不够，最后须在整个原域上建立一个固定合法底的表示。

3. 固定非零外系数可以吸收到新底

设 $a>0,a\ne1$ ， $c$ 为固定非零实数。由换底与正底数幂法则，令 $b=a^{1/c}$ ，有

c\log_ax=\frac{c\ln x}{\ln a}=\frac{\ln x}{\ln(a^{1/c})}=\log_bx,\qquad x>0.

$b>0$ ；若 $b=1$ ，则 $\ln b=(\ln a)/c=0$ ，与 $a\ne1,c\ne0$ 矛盾，所以新底也非1。两式在同一个正侧全域逐点相等，确是同一函数。

$c$ 可以为负； $c=0$ 时原表达式在 $x>0$ 为常值0，不是标准对数函数。若系数随 $x$ 变化，上面的新底也随 $x$ 变化，不能据此得到固定底数；若真数原有平移或平方，这个公式也不能顺便删掉它们或原定义域。

有的题只想检查“当前表达式是否未经改写就呈标准形式”，这属于书写要求，必须明确说明。不能把它推广成“外系数不为1的函数都不可能是对数函数”。下面原题保留这类选项冲突，由解析分别核对数学等价与原筛选口径。

4. 过点条件提供什么信息

标准函数过点 $(u,v)$ ，先查 $u>0$ ，再写 $\log_bu=v\iff b^v=u$ 。

若 $v\ne0$ ，在正底数中唯一候选是 $b=u^{1/v}$ ，还须检验 $b\ne1$ 。例如 $u=1,v\ne0$ 会给非法底1，因此不存在所求标准函数。
若 $v=0,u=1$ ，只是所有标准函数的公共点，不能唯一确定底；若 $v=0,u\ne1$ ，条件矛盾。不可直接套除以 $v$ 的公式。

负输出的过点短例。原题过 $(9,-2)$ ，候选底2、3、1/3、1/2。互化得 $b^{-2}=9$ ，由正底条件只取 $b=1/3$ ，不能保留负根 $-1/3$ 。底2与3对真数9的输出正；底1/2的−2次幂是4而非9，故均排除。输出负不意味着函数非法，只是这里底在0与1之间。

平移输入的过点短例。原题 $f(x)=\log_a(x+2)$ 过 $(6,3)$ ，求 $f(2)$ ，候选为−2、2、1/2、−1/2。原域 $x>-2$ ，代入的真数是8，不是6； $a^3=8$ 得 $a=2$ ，再用真数4求得 $f(2)=2$ 。另外三候选的底2幂分别为1/4、 $\sqrt2$ 、 $1/\sqrt2$ ，均非4。两个横坐标都在原域内。

5. 外部参数由合法数据点组成方程

底已知而有外部系数或常数项时，将每个合法输入代入整块真数，再算对数值，建立参数方程。方程不足或相依只能给关系，不能凭空断言参数唯一；唯一解也应代回所有条件检查。

应用题的测量点仍是输入输出约束，数量先按题给同一单位取数值。模型算出的量与题给范围比较，数学核验仅支持“按这道题的设定所得判断”，不能自动把背景的生理或实验叙述当作现实结论。

6. 简单方向判断可从指数直接推出

若 $a>1$ ，设 $y_i=\log_ax_i$ ， $0<x_1<x_2$ 。若 $y_1\ge y_2$ ，指数函数递增会给 $x_1=a^{y_1}\ge a^{y_2}=x_2$ ，矛盾，故 $y_1<y_2$ 。同理 $0<a<1$ 时指数函数递减，对数也递减。这样可在合法真数范围内去掉同底对数比较符号，而无须使用导数。

特别地 $a>1$ 时 $\log_au>\log_av\iff u>v>0$ ；底在0与1之间时，输入比较方向反过来。先保存两个真数正的条件，再判断方向。

二、考点方法与例题

1. 识别函数：查全域、合法改写、比较同一对象

先核底正非1与每个真数正，确定整个原域；再用合法换底改写，不能只凭外系数排除。最后判断是否可在全部正域写成固定底标准函数。若两个选项同域同输出，应明确它们等价，不为迁就单选答案而宣称它们是不同函数。

2. 过点求式：输入代整块，参数回原题

只能使用题给或已证明的精确点；图象仅示大致位置时，不自行编造坐标。标清横坐标与纵坐标，平移真数必须代完整；未知底用指对互化，未知外系数用方程。公共点与退化方程另判，解后回代全部点。随后求值或解不等式时仍带原域与底数方向，不能以“已经求出参数”为由丢条件。

例题 01 四种含对数的表达式

题目

下列函数中是对数函数的为（）

A． $y={\log }_{\frac{2}{3}}{x}^{2}$ B． $y={\log }_{3}\left( x-1\right)$

C． $y={\log }_{\left( x+1\right)}x$ D． $y={\log }_{\pi }x$

答案与解析

解析

A的域由 $x^2>0$ 得 $\mathbb R\setminus\{0\}$ ，有负输入，不能只在正侧化成 $2\log_{2/3}x$ 后删掉负域。B要求 $x>1$ ，且零点为2，不是标准正侧全域。

C在 $x>0$ 时底 $x+1>1$ 合法，但随输入改变。更具体地 $x<x+1$ ，底大于1给 $\log_{x+1}x<1$ ，值域不可能是全部实数，所以不可能等于任何标准对数函数。

D的底 $\pi>1$ 固定合法，域全部正数，符合定义。

本题结论

D。

例题 02 含参数的系数与底数

题目

函数 $f\left( x\right)=\left( {a}^{2}-a+1\right){\log }_{\left( a+1\right)}x$ 是对数函数，则实数 $a=$ （）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案与解析

解析

先还原原资料口径。原解强令原写法外系数为1： $a^2-a+1=1$ 得 $a=0$ 或1，再按底 $a+1>0$ 且非1排除0，得到原答案B。这只有在另要求“原式未经改写即为标准形式”时才支持该筛选。

按同域合法等价复核。令 $c=a^2-a+1=(a-\tfrac12)^2+\tfrac34>0$ 。原式合法范围为 $a>-1,a\ne0$ ，且整个域是 $x>0$ 。由换底

c\log_{a+1}x=\log_{(a+1)^{1/c}}x.

新底正且非1，所以所有 $a>-1,a\ne0$ 都给标准对数函数。选项1、2、3均合，即B、C、D均成立；A的 $a=0$ 给底1，确实非法。

题干未写“未经改写”的限定。保留原答案B及其由来，但按函数数学等价判定，原单选没有唯一成立选项，不能静默另改成某个单选答案。

本题结论

原资料选B；若按同域合法等价判定，B、C、D均成立，原单选需补书写限定。

例题 03 过点条件与候选解析式

题目

若某对数函数的图象过点 $\left( 4,2\right)$ ，则该对数函数的解析式为（）

A． $y={\log }_{2}x$ B． $y=2{\log }_{4}x$

C． $y={\log }_{2}x$ 或 $y=2{\log }_{4}x$ D．不确定

答案与解析

解析

设 $y=\log_ax$ ， $a>0,a\ne1$ 。过 $(4,2)$ 给 $a^2=4$ ，正底唯一为2，所以函数确定为 $y=\log_2x$ 。

原资料选A。但对所有 $x>0$ ，

2\log_4x=\frac{2\ln x}{\ln4}=\frac{2\ln x}{2\ln2}=\log_2x.

故A、B是同一个函数，不能因B外系数2就排除。C列出的两式也代表同一对象，不是两种不同函数；D“不确定”不成立，因为函数已唯一确定。不唯一的是原单选候选的区分，不是数学对象本身。若原意只收标准写法A，题干应明确该书写要求。

本题结论

函数为 $y=\log_2x$ ；原资料选A，但A、B等价，C措辞也重叠，原单选选项不能唯一地区分。

例题 04 两点确定平移对数型函数

题目

已知函数 $f(x)=a{\log }_{2}(x+2)+b$ 的图象过原点，且 $f(2)=2$ ．

(1)求实数 $a,b$ 的值；

(2)求不等式 $f(x)>0$ 的解集；

答案与解析

解析

（1）原式要求 $x+2>0$ ，即 $x>-2$ 。过原点表示 $f(0)=0$ ，输入0时真数2，得 $a+b=0$ 。又 $f(2)=2$ ，真数4，得 $2a+b=2$ 。两式相减得 $a=2$ ，代回 $b=-2$ 。

回验： $2\log_22-2=0$ ， $2\log_24-2=2$ ，都满足原条件。

（2）在原域 $x>-2$ 内，

2\log_2(x+2)-2>0\iff\log_2(x+2)>1=\log_22\iff x+2>2.

底2递增，方向不变，得 $x>0$ ，已包含在原域内。端点0只使函数值0，不能加进严格正值解集。

本题结论

（1） $a=2,b=-2$ ；（2） $(0,+\infty)$ 。

题目背景说明：下一题关于听觉、视力及噪声的实验叙述仅保留为原数学题设，未独立核实，不作为医学或安全阈值建议；本章只核模型标定、数值代入与题给区间判断。

例题 05 声强级模型的两个标定点

题目

声强级 ${L}_{I}$ （单位：dB）由公式 ${L}_{I}=klgI+b$ 给出，其中I为声强（单位： $\frac{W}{{m}^{2}}$ ），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 $1W/{m}^{2}$ ，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为 ${10}^{-6}W/{m}^{2}$ ，此时声强级为60dB．

(1)求k，b的值；

(2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为 ${10}^{-2}W/{m}^{2}$ ，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？

答案与解析

解析

（1）声强 $I>0$ ，用题给 $\mathrm W/\mathrm m^2$ 单位对应的数值。 $I=1$ 时 $\lg1=0$ ，得 $b=120$ ； $I=10^{-6}$ 时 $\lg I=-6$ ，得 $-6k+120=60$ ，所以 $k=10$ 。两数据都回代吻合，模型为

L_I=10\lg I+120.

（2） $I=10^{-2}>0$ 时， $L_I=10(-2)+120=100$ ，且 $100\in[90,115]$ 。因此只按原题给出的判断规则，其答案“会降低视力敏感性”与模型数值相符。此计算不独立验证题干的生理说法，不能据此作实际健康或噪声暴露判断。

本题结论

（1） $k=10,b=120$ ；（2）计算得100 dB，落在题述范围内，按题设规则作肯定判断。