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外观

复数方程与因式分解：配方、共轭根与首项系数

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负判别式只表示实系数二次方程没有实根，不表示在复数域无解。把根变成因子时保留符号和首项系数，共轭根的捷径也必须有实系数前提。

一、知识点 概念与依据

1. 数域扩大后，根和因子都可含i

在复数范围求根，允许未知量为非实复数；在复数范围分解，允许因子系数含i。先查实际次数，二次首项系数必须非零；含参数时，导致二次项消失的值须另按一次或常数情况讨论。

对实系数ax²+bx+c=0，a≠0，判别式Δ=b²−4ac为实数：

判别式根的情况
Δ>0两个不同实根
Δ=0一个二重实根
Δ<0一对不同的非实共轭根

2. 负判别式的复根从配方得到

原方程乘4a，移项后加b²：

4a2x2+4abx+b2=b2−4ac,(2ax+b)2=Δ.4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac,\qquad (2ax+b)^2=\Delta.

当Δ<0，令t=√(−Δ)>0，则(it)²=Δ，平方等于Δ的两个数为±it。故

x1,2=−b±i−Δ2a.x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

根号内保持非负实数，外面的±给出两个根；不无条件套实数平方根的乘法性质处理负数。

3. 根对应x减根，外面的首项系数保留

二次方程根为x₁、x₂时，韦达关系为x₁+x₂=−b/a、x₁x₂=c/a。展开

a(x−x1)(x−x2)=a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=ax2+bx+c.a(x-x_1)(x-x_2)=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]=ax^2+bx+c.

所以根r对应因子x−r，而非x+r；r含负号时应明确括号。根重合就保留重复因子表示重数，不把它算成两个不同根。乘回检查首项、中间系数和常数。

4. 非实根的共轭仍为根，依赖实系数

设实系数多项式在z处为0。对整个等式取共轭，各实系数保持不变，得到同一个多项式在z̅处也为0。因此非实根成共轭对。

对实系数二次方程，一个已知非实根与其共轭构成两根，可由和、积求系数。已知实根的共轭只是它自身，不自动给出第二个新根；复系数方程也不能套这条捷径。

5. 复系数不能按Δ的正负分类，零判据仍有效

复系数二次方程仍可配方和用韦达关系，但Δ可能非实，不能写Δ>0或Δ<0来分类。Δ=0仍等价于二重根：配方给(2ax+b)²=0，迫使2ax+b=0，a≠0时只有一个根值。

因此不能笼统说判别式“完全失效”，失去的是按实数正负分类的前提，零与非零、重根的关系仍需正确区分。

二、考点 方法与例题

1. 先提出首项系数，再配方或求根

求出两个根后，各写x减根，最后乘回首项系数。能配成平方加正数时，可直接用i²=−1分解，不必引入含混的负数根号。

例题 01 二次式在复数范围内的分解

题目

在复数范围内分解因式2x2+8x+262{x}^{2}+8x+26= .

答案与解析

解析

先提出2，原式为2(x²+4x+13)=2[(x+2)²+9]。令括号为0，得(x+2)²=−9，故x+2=±3i，两根−2±3i。

对应因子为x−(−2+3i)=x+2−3i与x−(−2−3i)=x+2+3i，所以

2x2+8x+26=2(x+2−3i)(x+2+3i).2x^2+8x+26=2(x+2-3i)(x+2+3i).

乘回：两因子积=(x+2)²−(3i)²=(x+2)²+9，再乘2恰为原式，首项系数没有丢失。

本题结论

2(x+2−3i)(x+2+3i)2(x+2-3i)(x+2+3i)。

2. 偶次四次式先把x²看成整体

先分成关于x²的两个一次因子，再各自在复数范围内继续分成x的一次因子；核清不同根与重数，乘回验证。

例题 02 只含偶次项的多项式分解

题目

在复数范围内分解因式：x4−6x2−7={x}^{4}-6{x}^{2}-7= ．

答案与解析

解析

把x²看作整体，常数1与−7的和为−6、积为−7，故

x4−6x2−7=(x2+1)(x2−7).x^4-6x^2-7=(x^2+1)(x^2-7).

再用i²=−1与实平方差：

x4−6x2−7=(x+i)(x−i)(x−7)(x+7).x^4-6x^2-7=(x+i)(x-i)(x-\sqrt7)(x+\sqrt7).

四个不同根为−i、i、√7、−√7。前两因子乘回x²+1，后两因子乘回x²−7，整体乘回原式，不漏根也不重复计数。

本题结论

(x+i)(x−i)(x−7)(x+7)(x+i)(x-i)(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)。

3. 实系数和非实根共同保证共轭根捷径

明确这两个前提后，写出两根的和、积；韦达要保留首项系数。若题目带其它参数或模条件，求得结果仍要全部回代检查。

例题 03 由一个非实根求实系数的和

题目

已知2+i2+i是关于xx的方程x2+mx+n=0(m,n∈R){x}^{2}+mx+n=0\left( m,n\in R\right)的根，则m+n=m+n=（ ）

A．－9 B．－1 C．1 D．9

答案与解析

解析

m、n为实数且已知2+i为非实根，另一根必为2−i。由韦达，−m=(2+i)+(2−i)=4，故m=−4；n=(2+i)(2−i)=4−i²=5。

因此m+n=1，选C；A、B、D都不是这对系数的和。回代：(2+i)²−4(2+i)+5=(3+4i)−8−4i+5=0，符合原方程。

本题结论

C，m+n=1m+n=1。

三、坑点 边界与纠错

1. 无实根不等于在复数域无根

Δ<0的实系数二次方程有两非实根，用±i√(−Δ)给全符号；复系数的Δ则不能作实数正负比较。

2. 根的符号和首项系数两处都要保留

因子是x−r，外系数是a。乘回检查，并区分一个二重根与两个不同根。

3. 共轭根要有实系数，实根不产生新根

看到i不能代替前提检查；含参数时先核实际次数，再检查附加条件。对所有候选回代可防止遗漏非法分支。