函数的对应、表示与同一性

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函数不是某一类公式的名字，而是一套确定的输入与输出对应。先弄清每个输入是否有唯一且合格的输出，再看公式、表格、图象怎样表达这套关系，以及两种写法是否真的代表同一个函数。

一、知识点概念与依据

1. 从A到B，逐个检查A中的输入

本章研究实数输入、实数输出。设 $A,B$ 为非空实数集，规则 $f$ 使 $A$ 中每一个数 $x$ ，在 $B$ 中有唯一确定的数 $y$ 与它对应，就称 $f$ 为从 $A$ 到 $B$ 的函数，记为 $f:A\to B$ 或 $y=f(x)$ ，其中 $x\in A$ 。

三个条件同时成立：没有遗漏规定输入、同一输入不产生两个不同输出、输出属于 $B$ 。只要一个合法输入违背其中之一，原给定对应就不合格。不能擅自删去 $A$ 中的问题输入，也不能扩大 $B$ 来补救。

这是定义，不是需要“证明”的定理。它概括已有一次、二次函数的唯一对应，同时允许有限列表、断开的图象、分段表达，不要求曲线连续光滑，也不要求有一个统一解析式。非空约定是本章高中口径，不扩大为所有数学分支的禁令。

2. 定义域、实际值域与目标集合

$A$ 是允许输入的定义域。实际输出形成值域 $\{f(x)\mid x\in A\}$ ；它只需包含于 $B$ ，不必取遍 $B$ 。定义域与对应规则确定后，实际值域随之确定，不能独立随意填写。

教材常说函数三要素是定义域、对应关系、值域。这里后者由前两者决定；题目指定的目标集合 $B$ 不一定就是值域。判断时，输出超出 $B$ 才违反条件， $B$ 中某些数未出现不构成反例。

3. 唯一性有方向，不是要求一一对应

固定一个输入，只能得到一个输出；多个输入共享同一输出完全允许。有限原例 $M=\{-1,1,2,4\}$ 、 $N=\{1,2,4\}$ 中，绝对值规则依次输出 $1,1,2,4$ ，每个输入都合格。其余三个候选规则 $x^2,x+1,x-1$ 分别在输入 $4,-1,-1$ 输出 $16,0,-2$ ，超出 $N$ ，不能成立。

$-1,1$ 都送到 $1$ ，并未违反函数定义。但把方向倒过来，以 $1$ 作新输入，会对应 $-1$ 与 $1$ 两个不同新输出，反向关系不再是函数。原问题只判给定方向，不自行添加“一一对应”的更强要求。

4. 函数名、输入与函数值

$f$ 是规则名称， $f(x)$ 是输入 $x$ 得到的值，绝不是 $f$ 乘 $x$ 。用 $t$ 替换占位字母写 $f(t)$ 不改变规则；写 $f(x+1)$ 则传入了另一个数，必须检查 $x+1$ 是否允许。

求 $f(c)$ 时找实际输入 $c$ 。若已知 $f(u(x))=v(x)$ ，先解 $u(x)=c$ 并检原参数范围，而非直接把原参数设成 $c$ 。进一步的逐层调用与分段取值见后续“函数值与分段规则”单元。

5. 三种表示表达同一批输入输出配对

表示	如何确定输出	必须同时说明
解析法	将合法输入代入式子	定义域与式子条件
列表法	同一列或成对位置对应	完整定义还是抽样记录
图象法	找点 $(x,f(x))$	实际曲线/散点、端点与刻度

完整有限表的输入只有表内列出的数，画图应画对应散点，未给插值规则不能自行连成曲线。若表只从连续输入范围抽样，几个点不替代完整规则，也不能确定未记录处的函数值。

公式列表、图象读值都是找配对。精确计算宜用式子或明确表值；整体趋势、分段和边界常用图象更直观。由图恢复公式必须先有已规定的类型和精确标点等足够条件；未标比例不能变成精确坐标。

6. 竖线判定直接来自函数定义

函数图象的横坐标是输入，纵坐标是输出。固定横坐标作竖线，若交到两个纵坐标不同的实际点，就让同一输入有两个输出，违反唯一性。

若 $A$ 已规定，每个 $x\in A$ 应恰好有一个图象点且纵坐标在 $B$ 。若只给非空关系图形而未另给域，以全部实际横坐标作定义域，每条竖线至多交一个实际点即可。断开或有限散点不自动失败；零交点是否构成遗漏，取决于该横坐标是否原本被规定允许。

横线交多个点仅表示多输入同输出，不能代替竖线判定。实心点属于图象，空心点不属于；坐标轴、辅助虚线也不是函数的一部分。

7. 同一函数须同域且逐个同值

按本章比较口径，两个函数相同须定义域相同，并且每个允许输入对应的输出相同。先比域，域不同即不同；域相同再证明全部对应一致。名字、占位字母、式子外观或相同值域都不是充分判据。

约分、开方先保留原限制。例如实数上 $\sqrt{u^2}=|u|$ ，不是无条件等于 $u$ ；实立方根 $\sqrt[3]{u^3}=u$ 则允许正负。仅在共同域的一部分化简相同，不能补回另一函数缺少的输入。

证明同一要覆盖全部输入；找一个共同合法输入使输出不同，就足以否定同域规则。只在有限几个采样点相交，不证明任意未知规则相同。

8. 图象上升与上升得更快不是同一件事

横轴时间、纵轴水位时，曲线向右升高表示水位增加；相同时间内高度增量更大，图象更陡，表示增加更快。恒速注水说的是等时间进入等体积，不是等时间上升等高度。

很薄水层的体积约为该处水平截面积乘高度增量。相同体积铺在较大面积上，上升较少；面积较小，上升较多。比较的是水面所在高度附近的截面积，不只是容器最底面的面积。

这用于原题无漏水、竖立容器与恒定体积流量模型的定性趋势；变截面整层体积不能机械当作固定截面积乘总高度。形状信息不能给精确半径、最窄处到达时刻或装满时间，后者还需尺寸、容积、流量数据。

二、考点方法与例题

方法一：证明全体合格，否定只需一个合法反例

固定方向、输入集和目标集，分别查有值、唯一、属于目标集。有限输入逐个核完，无限输入用规则覆盖全域。图题只数实际点，不以是否连续代替定义，最后分清问“能”还是“不能”。

方法二：原定义域优先，再作全域化简

分别保留分母、每个根式、零次幂及已给区间/整数限制。集合要按元素比较，区间写法与“不等式加禁值”写法不同，不代表定义域不同。域异给具体差异输入；域同则在合法条件下证明两式恒等，或找同输入异输出的反例。编号题全部判完再汇总，不只认出一条真命题。

例题 01 规定输入与输出集合

题目

集合 $A=\left\{ x|0\le x\le 4\right\},B=\left\{ y|0\le y\le 2\right\}$ ，下列不能表示从A到B的函数的是（）

A． $f:x\to y=\frac{1}{2}x$ B． $f:x\to y=\frac{1}{3}x$

C． $f:x\to y=\frac{2}{3}x$ D． $f:x\to y=\sqrt{x}$

答案与解析

解析

每项都是单值规则，须检查全体输入 $0\le x\le4$ 的结果能否落在 $[0,2]$ 。

A 乘正数 $1/2$ 得 $0\le x/2\le2$ ，合法。B 乘正数 $1/3$ 得 $0\le x/3\le4/3$ ，虽不取遍 $B$ ，仍全包含于 $B$ ，合法。C 在合法输入 $x=4$ 得 $8/3>2$ ，一个越界反例足以否定。D 的 $x$ 非负，算术平方根唯一且非负； $x\le4$ 给 $\sqrt x\le2$ ，所有输出合格。

A、D 实际值域都等于 $B$ ，B 的值域更小但仍成立。本题问不能表示者，只有 C。

本题结论

选 C。

例题 02 运算、唯一性与输出类型

题目

下列从集合 $A$ 到集合 $B$ 的对应关系，其中 $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A． $A=B=R$ ，对应关系 $f:x\to y=\frac{1}{x}$

B． $A=B=R$ ，对应关系 $f:x\to y={x}^{2}$

C． $A=B=R$ ，对应关系 $f:x\to y=\pm x$

D． $A=B=N$ ，对应关系 $f:x\to y=\frac{x}{2}$

答案与解析

解析

A 指定所有实数输入，包含 $0$ ，但 $1/0$ 未定义，违反每个输入都有结果，不能私自删零。B 对任意实数输入，平方是唯一实数；不产生负输出不妨碍输出属于实数集，因此成立。

C 取输入 $2$ ，规则允许 $2,-2$ 两个不同输出，违反唯一性。D 取自然数 $1$ ，输出 $1/2$ 不属于自然数，失败；自然数是否含零的习惯不影响这个反例。

三个错项分别违反不同要求，只有 B 全部满足。

本题结论

选 B。

例题 03 实际图象点的对应关系

题目

下列图象中，可以表示函数的为（）

A．

B．

C．

D．

答案与解析

解析

按实际横坐标固定输入，不把坐标轴计为图象。

A 在横坐标 $0$ 的上下两个端点都实心，给两个不同纵坐标，失败。B 六个散点横坐标互不相同，每个实际输入恰有一个点，合格；点之间没有给值，不能补线，也不能以“不连续”否定。

C 在原点右侧适当的正横坐标上，竖线遇到上方斜线和下方曲线，至少两个不同输出，失败；无需量图猜具体坐标。D 在 $x=0$ 处与圆的上、下两点相交，失败。故只有 B。

本题结论

选 B。

例题 04 化简以前保留原定义域

题目

下列各组函数是同一个函数的是（）

A． $f\left( x\right)=\frac{x-1}{{x}^{2}-1}$ 与 $g\left( x\right)=\frac{1}{x+1}$ B． $f\left( x\right)=\left| x\right|$ 与 $g\left( x\right)={\left( \sqrt{x}\right)}^{2}$

C． $f\left( x\right)=\frac{1}{\left| x\right|}$ 与 $g\left( x\right)=\frac{1}{{\left( \sqrt{x}\right)}^{2}}$ D． $f\left( x\right)=\frac{1}{{x}^{2}}$ 与 $g\left( x\right)=\left| \frac{1}{{x}^{2}}\right|$

答案与解析

解析

A： $f$ 原分母 $(x-1)(x+1)$ 要求 $x\ne\pm1$ ； $g$ 只排 $-1$ 。输入 $1$ 仅对 $g$ 合法，域不同。约分后形式虽同，也不能补回 $1$ 。

B： $|x|$ 对全实数合法， $(\sqrt x)^2$ 只对 $x\ge0$ 合法，在此范围等于 $x=|x|$ ；负数只在前者域内，仍不同。C： $1/|x|$ 要求 $x\ne0$ ，另一式先要 $x\ge0$ 再排根式零，合为 $x>0$ ，也不同。

D：两者均要求 $x\ne0$ ，此时 $x^2>0$ ，所以 $|1/x^2|=1/x^2$ 。定义域和全部合法输入的对应均相同。不是靠一个相等样点证明，而是对任意非零输入成立，故 D。

本题结论

选 D。

例题 05 相同值域与相同规则

题目

下列各组函数表示同一个函数的是．

（1） $f\left( x\right)={x}^{0}\left( x\ne 0\right),g\left( x\right)=1\left( x\ne 0\right)$

（2） $f\left( x\right)=2x+1\left( x\in Z\right),g\left( x\right)=2x-1\left( x\in Z\right)$

（3） $f\left( x\right)=\sqrt{{x}^{2}-9},g\left( x\right)=\sqrt{x+3}\cdot \sqrt{x-3}$

（4） $f\left( x\right)={x}^{2}-2x-1,g\left( t\right)={t}^{2}-2t-1$

答案与解析

解析

（1）两式都明确 $x\ne0$ ，在此范围 $x^0=1$ ，因此相同。不能因常数 $1$ 本身可算零，就删掉题设给 $g$ 的排零限制。

（2）定义域都是整数，但同一输入输出相差 $2$ ；如 $x=0$ 分别为 $1,-1$ 。两者值域都恰为奇整数，也不能说明它们是同一函数。

（3） $f$ 要求 $x^2-9\ge0$ ，即 $x\le-3$ 或 $x\ge3$ 。 $g$ 的两个根式同时要求 $x+3\ge0,x-3\ge0$ ，交得 $x\ge3$ 。 $-3$ 仅在 $f$ 域内，域不同；共同正侧根式乘法成立不能补回负侧。

（4）两域均为 $\mathbb R$ ，将任意输入临时记作 $u$ ，两式都输出 $u^2-2u-1$ 。 $x,t$ 只是占位名字，因此相同。

本题结论

成立编号为（1）（4）。

例题 06 恒定注水量与高度时间图

题目

水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度 $ℎ$ 与时间 $t$ 满足的函数图象是（）

A．

B．

C．

D．

答案与解析

解析

横轴 $t$ 为时间，纵轴 $h$ 为水位；考察装满前的有效过程。容器从底部往中间收窄，再往上放宽，水平截面积先减小后增大。等时间进入等体积，因此水位始终上升，而上升先慢后快、再变慢，图象先平缓、再陡、再平缓。

A 只有先快后慢，遗漏下部收窄时加快的阶段；B 只有先慢后快，遗漏上部放宽后的减慢；C 直线表示水位匀速，不符合截面积变化；D 两段趋势吻合。

原解析称“底面积越大”，准确对象应为当前水面附近的水平截面积。这里只作定性趋势判断，不用示意图量时间比例，也不借尚未学习的导数公式。

本题结论

选 D。