受限排列：位置、相邻与定序

约 4632 字大约 15 分钟

排列中的限制不止一种：禁位限制某人在哪里，相邻限制连续块，不相邻限制空隙，定序只限制谁先谁后。先选能保留全部条件的记录方式，再数每份最终记录能否唯一构造。

一、知识点概念与依据

1. 限制元素与限制位置，先安排候选最少者

不同对象填不同位置，最终记录是逐位置名单。先列必选、禁选、禁位；“某人不能某职”未必意味着必须任另一职。每安排一人，已用人和已占位置都要从后续候选中删除。

受限位置如首尾，也可先由允许的对象填入。若先选组后排职，每个组未必都有 $m!$ 种安排，须核剩余条件；若后续数随具体前史改变，就再分类。最终名单应唯一还原类别与步骤，不能用两条路径重复生成。

这与甲不能参加某活动的两类情况、课代表的必选与禁职是同一检查。下面将重点放到数位、连续块与相对次序，不重复展开相同原题。

2. 相邻：压成一块，内部与外部分开数

$n$ 个不同元素中指定 $k$ 个必须占连续一段，整数 $1\le k\le n$ 。压缩后有 $n-k+1$ 个不同外部对象。内外均无限制时，共

(n-k+1)!k!.

$k$ 个变一块，少的是 $k-1$ 个对象。一个合法结果可唯一压回外部次序和内部次序，反向展开也唯一，所以两数相乘。

块内定序则内部可能只有一种，指定者居中则只排允许的两侧，不能一律乘 $k!$ 。外部仍有首尾或位置条件也不能一律全排。多个块可独立压缩的前提是成员不重叠；共享元素的相邻条件须先分析真实连续结构。

3. 两两不相邻：每个指定者占一个不同空隙

有 $r$ 个普通不同元素、 $k$ 个指定不同元素， $r,k$ 为非负整数，指定者两两不邻。先排普通者 $r!$ ，线性骨架有 $r+1$ 隙，包括两端；每个指定者单独占不同隙，共

r!C_{r+1}^kk!=r!A_{r+1}^k,\qquad 0\le k\le r+1.

删除指定者即可恢复唯一骨架与隙记录。 $k>r+1$ 无解。 $r=0$ 时只有一个空隙，最多放一个指定者； $k=0$ 时不插任何人，仍有唯一空插法。

若禁首尾，端隙不准用；若 $r\ge1$ 个普通者排成圆，只有 $r$ 个环隙，不是线性两端另加。若指定者还有相对次序要求，选隙后从左到右填入唯一，不再乘 $k!$ 。只要求甲乙不邻，不能擅自限制全部指定者两两不邻。

4. 交替要同时检查两类与端点

男女交替意味着每对相邻位置性别不同，不是只让男生之间不邻。两类人数差超过一无解；差一时多者占两端；人数相等且两类均非空时，有两种开头类型，分别计数。插空后仍要核所有内隙是否按交替要求填满。

5. 定序：先选位置，再按唯一顺序填入

$n$ 个不同元素中指定 $k$ 个保持某个相对次序， $0\le k\le n$ 。它们位置不固定，也不必连续。先选所占位置 $C_n^k$ ，按指定次序填入唯一，再排其他人，得

C_n^k(n-k)!=\frac{n!}{k!}.

若互不重叠的定序列长度为正整数 $k_1,\ldots,k_s$ ，另有 $r\ge0$ 个自由元素， $n=k_1+\cdots+k_s+r$ ，依次选择各列位置并排自由元素，得

\frac{n!}{k_1!\cdots k_s!r!}\,r!=\frac{n!}{k_1!\cdots k_s!}.

倍除的依据是：固定各列位置与自由者排列后，各列内部的全部次序在未定序总体中都合法、等量出现，其中恰一种满足规定。如果某个具体人禁位或须邻某人，内部交换可能破坏条件，不能直接除阶乘，改用位置法筛选。

资料曾把定序简写成“把剩下部分排列即可”，这漏掉 $C_n^k$ 的位置选择；只有绝对位置早已指定时才不再选位置。新人加入旧队伍时，旧人只保持相对顺序，新人可连续进入同一旧空隙，不能只选不同旧空隙。

二、考点方法与例题

1. 含零数位：末位分类，大小看首次不同位

核位数、重复规则与首末条件。首位非零；偶数先分末位为零或非零偶数，因为首位候选数不同。与同位数阈值比较时，按从高到低“首次不同位”分类：此前各位相同，本位更大，之后填剩余数字并保留其他条件。严格大于排除完全相等，非严格则在相等可组成时另加一；不可形成的前缀没有后续分支。

例题 01 同一组数字的三种限制

题目

由0，1，2，3，4这五个数字．

(1)能组成多少个无重复数字的五位数？

(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？

(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？

答案与解析

解析

(1) 零只能放四个非首位之一，其余四数字全排， $4\times4!=96$ 。也可先选四个非零首位之一，再排余四位，结果相同。

(2) 末位为零有 $4!=24$ ；末位为 $2$ 或 $4$ 时有两种选择，首位只剩三个可用非零数字，余三位全排， $2\times3\times3!=36$ 。共 $60$ 。

(3) 按首次与 $21034$ 不同的位置分支：首位 $3$ 或 $4$ ，有 $2\times4!=48$ ；首位 $2$ 、千位 $3$ 或 $4$ ，有 $2\times3!=12$ ；前缀 $21$ 、百位 $3$ 或 $4$ ，有 $2\times2!=4$ ；前缀 $210$ 、十位 $4$ ，只得一个。总计 $48+12+4+1=65$ 。 $21034$ 本身不计入。

资料原解某处用 $A_2^2=2$ 表示从两种数字选一种，数值虽碰巧相同，但结构上应理解为 $A_2^1=2$ ，不是将两数同时排列。

本题结论

(1) $96$ ；(2) $60$ ；(3) $65$ 。

2. 首尾、相邻与不相邻，各用对应结构

首尾禁位先安首尾；连续段先核块内再核块外；两两不邻先排骨架再一隙一人。相邻与不相邻可能偶然得到相同数值，但不能互换理由。

例题 02 六道工序的三个独立条件

题目

某种产品的加工需要经过6道工序．

(1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序?

(2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序?

(3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序?

答案与解析

解析

六道工序各不同且各用一次，三问分别计数。

(1) 指定两道不能首尾，先从另四道选排到首尾 $A_4^2=12$ ，余四道排中间 $4!=24$ ，共 $288$ 。

(2) 指定三道全相邻，内部 $3!=6$ ，压成块后与另三道组成四对象，外部 $4!=24$ ，共 $144$ 。

(3) 先排另外三道 $3!=6$ ，有含两端的四隙。指定三道占三个不同隙并排列， $A_4^3=24$ ，共 $144$ 。同隙放两道会相邻，不合法。两端不能漏，三问条件也不能叠加。

本题结论

(1) $288$ ；(2) $144$ ；(3) $144$ 。

例题 03 同科目的书仍是不同书

题目

有 $5$ 本不同的书，其中语文书 $2$ 本，数学书 $2$ 本，物理书 $1$ 本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（）

A． $12$ 种 B． $18$ 种 C． $24$ 种 D． $36$ 种

答案与解析

解析

两本语文成一块、两本数学成一块，物理书独立。三个外部对象有 $3!=6$ 种；两个二本块各有 $2!=2$ 种内部次序，共 $6\times2\times2=24$ 。

题面说五本不同的书，同科目不抹掉内部身份。A 的 $12$ 少算一个块的内部交换；“随机摆放”只是背景，题目问排法数，不是概率。

本题结论

选 C， $24$ 种。

题干中的日期、校名与活动背景仅转述原资料，未作独立核验。

例题 04 端点、交替与相对顺序

题目

2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）

(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种?

(2)男、女相间的站法有多少种?

(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种?

答案与解析

解析

三问独立。

(1) 七位置禁止第 $1,4,7$ 位，甲可占 $2,3,5,6$ 四位，其他六人全排，共 $4\times6!=2880$ 。

(2) 四女三男交替，只能是女、男、女、男、女、男、女，多者占两端。先排三男 $3!$ ，四女各占一个空隙 $4!$ ，共 $144$ 。

(3) 选三位置给甲乙丙有 $C_7^3=35$ 种，依指定顺序填入唯一；其他四人全排， $35\times4!=840$ 。也等于 $7!/3!$ ，因为固定三人位置与其他人后，三人内部六种次序在无约束总体中均合法。

本题结论

(1) $2880$ ；(2) $144$ ；(3) $840$ 。

3. 定序列交织，不是把整列捆成块

选每列最终占据的位置，按其内部规定次序填入；剩下元素再依其限制安排。用倍除时，必须核列内交换不会改变其他条件。最终位置法自然包含同一旧空隙内连续加入多人的情况。

例题 05 老者与年轻人分别定序

题目

某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．

(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？

(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？

答案与解析

解析

(1) 选五个位置中的三个给老者，有 $C_5^3=10$ 种；按年龄由大到小填入唯一，另外两位年轻人可交换，有 $2!$ 种，共 $20$ 。这也解释 $5!/3!$ ：每个固定位置集与年轻人安排，恰有六种老者内部次序。

(2) 老者与年轻人的内部年龄次序都确定，仅需选老者三位置，得 $C_5^3=10$ ，也等于 $5!/(3!2!)$ 。两列可以交织，不要求老者连续。两问指定的年龄方向不同，但只要是确定次序，填入选定位置都只有一种。

本题结论

(1) $20$ ；(2) $10$ 。

例题 06 保持原队伍顺序的新成员加入

题目

某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）

A．10 B．20 C．24 D．30

答案与解析

解析

在最终六个位置中选四个给原四人， $C_6^4=15$ 种；按原顺序填入唯一，新两人排其余两位 $2!=2$ 种，共 $30$ 。

等价 $6!/4!$ 。若只排新人便漏掉原四人位置选择；若只从旧队伍五个空隙选两隙，得 $C_5^2\times2=20$ ，漏掉新两人在同一空隙连续出现的 $5\times2=10$ 种。

本题结论

选 D， $30$ 种。

4. 固定相邻位置对，再安排各类对象

先按能唯一标记最终结果的位置对或次数分类，再按有名位置选择对象。开放一行五格只有四个相邻位置对。品种各不同便删去已用者；日程允许重复使用时不擅自删，只落实实际次数上限。

限次用车原题按甲车出现零次或一次分类，日期记录允许其他车重复；这与下题“选五种品种”的不重复条件不同。

例题 07 一行五格的相邻麦田

题目

某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（）

A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种

答案与解析

解析

按题面一行五格，麦田位置对只能为 $\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\}$ ，没有 $\{1,5\}$ 。每份种法恰有一个这样的麦田对，四类互斥完整。

固定任一对，按编号给两个麦田选不同小麦品种为 $7\times6$ ；给余三格选不同水稻品种为 $10\times9\times8$ 。任一麦田对的候选数量与限制相同，每类都是 $30240$ ，四类合计 $120960$ 。

两麦田位置有编号，交换两个品种是不同种法，不能除二。题面“选五种”要求五个不同品种，不允许同一品种占多格却仍算选了五种。

本题结论

选 C， $120960$ 种。

答案与解析

解析

甲不在第一位且要在乙前，甲只能在第二位，乙第三位，丙第一位，只有“丙甲乙”一种。

不禁位时，交换甲乙会把“甲在前”和“乙在前”配成等量两支；禁甲在第一位后，交换可能把合法记录变成非法记录，不能把四种直接等分。

本题结论

不正确，实际只有 $1$ 种。