导数与单调性：符号、参数和量词

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单调性不只是解一个导数不等式。先确定区间与可导条件，分清严格与非严格，再处理根的次序、分段接合以及“所有位置”和“存在一段”的区别。

一、知识点概念与依据

1. 从导数符号到函数值的次序

设 $I$ 是长度为正的开区间， $f$ 在其中处处可导。严格递增指任意 $u<v$ 都有 $f(u)<f(v)$ ；不减只要求 $f(u)\le f(v)$ 。下列判据不能互换：

在整个 $I$ 上的导数条件	函数结论
$f^{\prime}>0$	严格递增，充分但不必要
$f^{\prime}\ge0$	不减，可能有常数段
$f^{\prime}\equiv0$	常数
$f^{\prime}<0$ 或 $f^{\prime}\le0$	分别为严格递减或不增

其依据是中值定理：若在 $[u,v]$ 连续、在 $(u,v)$ 可导，则存在 $\xi\in(u,v)$ ，使

f(v)-f(u)=f^{\prime}(\xi)(v-u).

这里采用这一拓展定理，不要求背诵其证明；使用时两项条件必须检查。在 $I$ 内任取 $u<v$ ，可导保证连续，且 $v-u>0$ ，于是导数符号给出表中的次序；恒零导数让任意两点同值。可导推出连续的证明见导数定义。

2. 严格单调为什么允许导数为零

反过来，严格递增函数在内点的左右差商都非负：右侧分子分母同正，左侧同负。因此可导时 $f^{\prime}\ge0$ ，但非负差商的极限可以是0。

在上述可导区间条件下，完整判据为：

f\text{ 严格递增}\iff f^{\prime}\ge0\text{ 且不存在长度为正的子区间使 }f^{\prime}\equiv0.

充分性：先由非负导数得不减。若 $u<v$ 却同值，中间每个函数值都被夹在该共同值之间，整段恒定，便与“没有平段”矛盾。必要性：严格增本就不允许任何常数段。严格减将非负改为非正，证明相同。

有限个或孤立的导数零点不会形成平段；但“有零点”或“导数不恒为零”都不能代替“每一段都不恒为零”。例如一个函数可以有一段平坦、另一段上升，整体非恒定却并不严格递增。

3. 符号表必须先有合法分界点

分界点包括导数零点、原定义域断口、不可导点、题给端点。先按横坐标排序，在每个长度为正的开子区间证明导数的符号，再写增、减或常数；不要把函数值填成横坐标端点。

因子情况	处理方式
已证恒正	可略去而不改符号
已证恒负	略去后须反号
符号未知或可能为0	分类保留，不能直接约除
分母为0	原式不合法，保留断口

若导数在一段连续且已找到全部零点，无零点的一段不能从正跨到负而不经过0，因此可测一点确定该段符号；否则测一个值不能证明整段同号。因式分解后的逐因子判号则可直接给出全段证明。原函数可导并不自动表示导函数连续，不能省去这里的连续性核查。

4. 全区间与存在区间是两种量词

题设	应证明的内容
在指定区间严格递增	每个内部点导数非负，并排除任何平段
在范围内存在递减区间	范围内有长度为正的一段确实递减
只找到一点导数为0	两种结论都不能直接推出

当导数连续时，内点导数负会使附近一段仍负。反过来，严格递减段内任选 $u<v$ ，中值定理给出某点导数等于负的割线斜率。因此在这种连续导数场景中，可通过负号开段与允许范围是否有正长度交集判存在性。单点或仅端点相切不够。半闭范围中的递减段可以包含合法端点，但不能只剩这个端点。

二、考点方法与例题

方法一：定义域、临界参数、符号表

从原式确定定义域，不因参数令某系数为0就自动扩大原题的输入范围。
求导并指出恒正或恒负因子，列全部合法根。含参根须检查是否在域内。
分类临界参数：两根重合、根碰到域边界或题给端点、分母为0、首项系数为0。等号单独处理，不能继续套退化前的二次判别式。
在各参数类内重排根、证明符号、写完整增减区间。重根两侧同号时可穿过该点，不虚构负号段。
端点能否并入要检查实际定义、连续性及点值。不能跨缺口直接合并；不可导但连续接合的点也可另由两侧次序证明。

方法二：指定区间反求参数与分段接合

严格增先转为内部 $f^{\prime}\ge0$ ，严格减转为 $f^{\prime}\le0$ ，再核无平段。分离参数时注明乘除量正负。若得到对所有 $x\in I$ 都有 $a\le h(x)$ ，就是 $a$ 不超过所有 $h(x)$ 的共同下界的最高值，即下确界；有最小值时可直接使用。

只有下界而不取到时，不能伪造“最小点”。例如 $a\le x$ 对每个 $x>0$ 成立当且仅当 $a\le0$ ，0虽不被 $x$ 取到，参数边界仍允许。应回到逐点条件检查。

分段函数还需跨段次序。以严格减为例，左侧每个实际值须大于分界点值，右侧每个实际值须小于它。连续接合可用两侧单调和极限证明；跳点则比较实际点值与两侧极限，向下跳可合法，向上跳不行。各段导数同号不能替代这一项。

方法三：存在一段与共同函数比较

求存在递减区间时，先求导数负的完整开段，与允许范围相交，再证明交集有正长度。所得参数要指出实际区间位置；被排边界要说明是只余零点、根重合，还是负段移出了范围。

比较不同表达式时，先除共同正量或改写成同一个函数在不同输入处的值，再确认这些输入位于同一严格单调支。增函数保序、减函数反序，跨极值点不能硬比。共同负量要反号，未知符号要分类。

题给 $xf^{\prime}-f$ 时，可以反认商法则：在 $x\ne0$ 处

\left(\frac{f(x)}x\right)^{\prime}=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}.

先用导数确定这个辅助函数的单调性，再利用已知零点确定两侧符号，最后与其他因子分段乘号；不能漏原定义域和严格不等式排除的零点。

例题 01 从恒正因子读出单调支

题目

函数 $f\left( x\right)=\ln x+\frac{{e}^{x}+1}{x}$ 的单调增区间为（）

A． $\left( 0,1\right)$ B． $\left( 0,e\right)$ C． $\left( 1,+\infty \right)$ D． $\left( e,+\infty \right)$

答案与解析

解析

定义域为 $x>0$ 。商法则给

f^{\prime}(x)=\frac1x+\frac{xe^x-e^x-1}{x^2}=\frac{(x-1)(e^x+1)}{x^2}.

其中 $(e^x+1)/x^2>0$ ，故 $(0,1)$ 递减、 $(1,+\infty)$ 递增，按选项的完整单调支口径选C。点1在域内且连续，若求最大可包含的递增区间，可写 $[1,+\infty)$ 。

原题未写“最大单调区间”；D的 $(e,+\infty)$ 也是增区间的子区间。因此不能说D上不递增，单选C依赖教材通常按完整单调支作答的约定；若把题干理解为任意增区间，则选项不唯一。

本题结论

按完整单调支口径选C；原题措辞未排除递增子区间。

例题 02 含参根越界与重合的四类

题目

已知函数 $f\left( x\right)={x}^{2}-\left( 2a+1\right)x+a\ln x+a$ .

(1)当 $a=1$ 时，求函数 $f\left( x\right)$ 的单调区间；

(2)当 $a\in R$ 时，求 $f\left( x\right)$ 的单调区间.

答案与解析

解析

原式含 $\ln x$ ，定义域按原题取 $x>0$ ，即使 $a=0$ 也不擅自补入其他输入。求导

f^{\prime}(x)=2x-(2a+1)+\frac ax=\frac{(2x-1)(x-a)}x.

（1） $a=1$ 时两合法根为 $1/2,1$ ，符号依次正、负、正，故增区间 $(0,1/2)$ 、 $(1,+\infty)$ ，减区间 $(1/2,1)$ 。

（2）分母恒正，先检查 $a$ 是否为合法根，再与 $1/2$ 排序：

参数	导数负的区间	导数正的区间与单调结论
$a\le0$	$(0,1/2)$	$(1/2,+\infty)$ 递增
$0<a<1/2$	$(a,1/2)$	$(0,a)$ 、 $(1/2,+\infty)$ 递增
$a=1/2$	无	导数 $2(x-1/2)^2/x$ ，整个 $(0,+\infty)$ 严格增
$a>1/2$	$(1/2,a)$	$(0,1/2)$ 、 $(a,+\infty)$ 递增

表内负号段均严格减。重合时只有孤立零点，不能画出两个相同根之间的递减段； $a=1$ 只是最后一类，不足以替代全参数分类。原解采用开区间写法，合法驻点端点可结合连续性并入相邻单调支。

本题结论

按表分四类；重根参数仍在全正定义域严格递增。

例题 03 定义域内递增的参数边界

题目

若函数 $f\left( x\right)=\ln x+{x}^{2}-ax$ 在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（）

A． $\left( -\infty ,1\right)$ B． $\left( -\infty ,2\sqrt{2}\right]$ C． $\left( -\infty ,2\right]$ D． $\left[ 1,+\infty \right)$

答案与解析

解析

定义域 $x>0$ ，

f^{\prime}(x)=\frac1x+2x-a,\qquad \frac1x+2x\ge2\sqrt2.

两正项应用基本不等式，等号当 $1/x=2x$ ，即 $x=1/\sqrt2$ ，所以非负导数对所有输入成立当且仅当 $a\le2\sqrt2$ 。 $a<2\sqrt2$ 时处处正；等号时仅该单点为0，没有平段，仍严格增。若 $a>2\sqrt2$ ，在该内点导数负，已违反严格增的必要条件。故选B。

本题结论

B， $a\le2\sqrt2$ 。

例题 04 指定闭区间与全实轴分类

题目

已知函数 $f\left( x\right)=\left( {x}^{2}-2x+a\right){e}^{x}$ .

(1) $f\left( x\right)$ 在 $\left[ 1,5\right]$ 上是增函数，求a的取值范围；

(2)讨论函数 $f\left( x\right)$ 的单调性．

答案与解析

解析

乘积法则得 $f^{\prime}(x)=e^x(x^2+a-2)$ ，定义域为 $\mathbb R$ 。

（1）在 $[1,5]$ 增需内部导数非负。若 $a\ge1$ ，内部 $x>1$ 时 $x^2+a-2>0$ ，且端点连续，充分成立。若 $a<1$ ， $x=1$ 时二次因子负，由其连续性，右侧仍有一小段负，不能递增。因此 $a\ge1$ ； $a=1$ 只是左端点导数0，不应排除。

（2） $a\ge2$ 时二次因子非负且最多一点为0，整个实轴严格增。 $a<2$ 时令 $r=\sqrt{2-a}>0$ ，导数符号为外正内负：增区间 $(-\infty,-r)$ 、 $(r,+\infty)$ ，减区间 $(-r,r)$ 。 $a=2$ 两根重合，不能沿用正长度减段。

本题结论

（1） $a\ge1$ ；（2）按 $a\ge2$ 与 $a<2$ 分类。

例题 05 分段导数与接合方向

题目

已知函数 $F(x)=\left\{ \begin{aligned}-\frac{1}{3}{x}^{3}+a{x}^{2}-a-4(x\ge 0)\\ax-\sin x(x<0)\end{aligned}\right.$ 在R上单调，则实数a的取值范围为（）

A． $(-\infty ,-1)$ B． $(-\infty ,-1]$

C． $[-4,-1)$ D． $[-4,-1]$

答案与解析

解析

右段导数为 $x(2a-x)$ ，大正数处为负，所以全实轴单调只能是递减，不可能递增。右段对所有 $x>0$ 非正当且仅当 $a\le0$ 。左段导数 $a-\cos x$ 对所有 $x<0$ 非正，因 $\cos x$ 可在负的奇数倍 $\pi$ 取 $-1$ ，等价 $a\le-1$ 。

$a\le-1$ 时左段没有平段，严格减； $a=-1$ 的导数零点孤立。左段在0的左极限为0，且任意左侧实际值都大于0。右段在0的值为 $-a-4$ ，且之后严格减。故跨段严格减还需

-a-4\le0\iff a\ge-4.

必要性：若分界点值大于0，取足够靠近0的左侧点，其值会比该点值小，违背递减。充分性：左侧值 $>0\ge F(0)$ ，右侧值 $<F(0)$ ，任意跨段点均保序。因此 $-4\le a\le-1$ ，选D。 $a=-4$ 连续接合，其余合法参数向下跳；无需假装分界点也可导。

本题结论

D， $a\in[-4,-1]$ 。

例题 06 给定范围中存在递减区间

题目

已知函数 $f\left( x\right)=x{\left( x-c\right)}^{2}$ ， $x\in R$ ， $c$ 是常数.

(1)若 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ \frac{2}{3},+\infty \right)$ 存在单调递减区间，求 $c$ 的取值范围.

(2)若函数 $y=f\left( x\right)$ 在 $x=2$ 处有极大值，求 $c$ 的值.

答案与解析

解析

求导得

f^{\prime}(x)=(x-c)(3x-c).

（1） $c>0$ 时两根 $c/3<c$ ，导数在 $(c/3,c)$ 为负。与 $[2/3,+\infty)$ 有正长度交集，当且仅当 $c>2/3$ ；实际可取 $(\max\{c/3,2/3\},c)$ 。 $c<0$ 时负号段 $(c,c/3)$ 全在负轴； $c=0$ 时导数 $3x^2$ 无负段，均不合题。

原解把“存在递减区间”写成“ $f^{\prime}\le0$ 有解”，不等价： $c=2/3$ 时允许范围内只有端点导数0，右侧全部正，没有递减段。最终范围 $(2/3,+\infty)$ 正确，但中间判据须改为正长度交集。

（2）2是可导内点，驻点方程 $(2-c)(6-c)=0$ 给 $c=2$ 或6。 $c=2$ 时2为较大根，左右负到正，是极小； $c=6$ 时2为较小根，左右正到负，是极大，充分满足。因此只保 $c=6$ 。这里用的是极值的左右行为判据，而非只解驻点方程。

本题结论

（1） $c>2/3$ ；（2） $c=6$ 。

例题 07 把不同表达式写成同一函数值

题目

已知 $a=\pi \ln 3,b=3\ln \pi ,c=\frac{3\pi }{e}$ ，则（）

A． $a<b<c$ B． $c<a<b$ C． $b<a<c$ D． $c<b<a$

答案与解析

解析

除以共同正数 $3\pi$ ，得到 $a/(3\pi)=\ln3/3$ 、 $b/(3\pi)=\ln\pi/\pi$ 、 $c/(3\pi)=1/e$ 。设 $g(x)=\ln x/x$ ，则

g^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.

它在 $(e,+\infty)$ 严格减，且在 $e$ 连续，故可以比较 $e,3,\pi$ 这些同一单调支上的输入。由 $e<3<\pi$ 得 $g(\pi)<g(3)<g(e)$ 。再乘正数 $3\pi$ ，得 $b<a<c$ ，选C。

本题结论

C， $b<a<c$ 。

例题 08 导数组合反认商函数

题目

定义在 $(0,+\infty )$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 ${f}^{\prime}(x)$ ，若 $x{f}^{\prime}(x)-f(x)<0$ ，且 $f(3)=0$ ，则不等式 $(x-2)f(x)<0$ 的解集为（）

A． $(0,2)\cup (2,3)$ B． $(0,2)\cup (3,+\infty )$

C． $(0,2)\cup (2,+\infty )$ D． $(0,3)\cup (3,+\infty )$

答案与解析

解析

在正定义域令 $g=f/x$ ，分母合法，且

g^{\prime}(x)=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^2}<0.

故 $g$ 严格减， $g(3)=0$ ； $(0,3)$ 内 $g>0$ ， $(3,+\infty)$ 内 $g<0$ 。乘以正数 $x$ ， $f$ 与 $g$ 同号。

输入区间	$x-2$	$f(x)$	积
$(0,2)$	负	正	负
$(2,3)$	正	正	正
$(3,+\infty)$	正	负	负

2与3处积为0，严格不等式排除；0原本不在域内。因此解集 $(0,2)\cup(3,+\infty)$ ，选B。

本题结论

B， $(0,2)\cup(3,+\infty)$ 。