数位、指数与整点的编码计数

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把一个复杂对象变成有限个参数，才看得清哪些选择自由、哪些被条件锁定。本章把数位、质因数指数、成员取舍与整数坐标统一为“编码无重无漏，再数合法参数”的方法。

一、知识点概念与依据

1. 编码须能反向恢复对象

分类与分步计数要求完整记录与结果一一对应。编码不是随意记录一个生成过程，而是为每个所求对象选一套唯一参数。

对象	可用参数	合法范围与反向恢复
定长数字串	各固定位置的数字	依位置读回；首位是否可为零由对象定义决定
回文整数	前半段，奇数位时再含中间位	对称位置被确定；最高位非零
给定正整数的正因数	各质因数指数	指数为整数并不超过原数指数；靠唯一分解还原
有限集合的子集	每个不同成员选入或不选入	交回各类或逐成员查归属，恢复唯一取舍
平面整点	有序整数坐标 $(x,y)$	坐标须满足全部边界条件

只证明参数能生成对象，可能仍漏计或重计。若换一种自由参数，应重新验证两个方向，不能把“先构造哪个部分”当成新结果。

2. 数位条件先译成自由参数的约束

整数的最高位不能为 $0$ ，否则位数减少；定长密码保留每个位置，首位为 $0$ 仍可能合法，应按题目约定。偶数只要求末位为偶数，并不要求每个数位都偶。

“数字可重复”允许全异和有重复的全部情况；“有重复数字”要求至少一对位置相同；“无重复数字”要求任意两位不同。至少一对相同也包含三位全同，并不等于恰好两位相同。

含零且无重复时，末位为零与末位非零往往改变首位的候选数：前者首位禁零与末位占用是同一限制，后者首位要同时排除零和已经用过的末位数字。宜先按末位分类，再填首位与中间位。

回文数只需选择能够决定全部数位的前半段： $2r$ 位回文数由前 $r$ 位决定， $2r+1$ 位由前 $r+1$ 位决定。 $r\ge1$ 时，分别有 $9\cdot10^{r-1}$ 与 $9\cdot10^r$ 个；这些公式数的是十进制正整数，不适用于允许首位零的密码。单个十进制数字若将 $0$ 也纳入自然数回文，应单独按定义计数。完整六位实例见回文数例题，后三位不再自由选择。

3. 正因数的指数范围为什么从零开始

设大于 $1$ 的整数有质因数分解

M=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},

其中各 $p_i$ 为互异质数， $e_i$ 为正整数。每个正因数可且只能写为

d=p_1^{t_1}\cdots p_r^{t_r},\qquad t_i\in\{0,1,\ldots,e_i\}.

所给指数范围保证 $d$ 整除 $M$ ；任一正因数不能有新质因数，也不能超过原指数，所以反向覆盖；质因数分解唯一性保证不同指数记录不重复。因此正因数个数为

\tau(M)=\prod_{i=1}^r(e_i+1).

指数取零表示不用该质因数，全部取零给出因数 $1$ ，不能删掉。 $M=1$ 另有唯一正因数 $1$ ，不强行作非空质因数分解。负因数不在“正因数”的计数中。2025的完整例题展示了指数编码与直接枚举的区别。

4. 子集限制变为二进制取舍限制

有限集合 $S$ 有 $n$ 个不同成员，固定成员顺序，逐一记录选入或不选入，有 $2^n$ 个子集。构造时的固定顺序只是定位，不给子集添加元素排列； $n=0$ 时只有空集， $2^0=1$ 仍成立。

设指定成员组成 $B\subseteq S$ ，有 $k$ 个。至少选一个 $B$ 中成员，等价于从 $B$ 选非空子集、从 $C=S\setminus B$ 任取子集。 $B,C$ 不交且覆盖 $S$ ，反向可由与 $B,C$ 的交集还原，故

(2^k-1)2^{n-k}=2^n-2^{n-k},\qquad 0\le k\le n.

右式也可直接理解为全部子集减完全不含指定成员的子集。这里 $n,k$ 为整数： $k=0$ 时无法选中指定成员，结果为 $0$ ； $k=n$ 时只排除空集，得 $2^n-1$ 。其余类 $C$ 可一个都不选，不能删去它的空集。完整平方数实例见至少一个指定成员。

若用分类而非补集，可先给指定成员固定顺序，按“第一个被选中的指定成员是谁”分类，而不能按“含哪个成员”重叠分类。两种算法数的是同一结果集，不把所得数再相加。

5. 整点计数必须先写边界不等式

整点的横、纵坐标均为整数。整数从 $L$ 到 $U$ （两端均含， $L\le U$ ）有 $U-L+1$ 个，点数不能用线段长度替代。矩形内两坐标可独立任选一对时可相乘；非矩形区域一般要逐行分层。

对于 $x\ge0,y\ge0,ax+by\le c$ ，其中 $a,b,c>0$ ，固定整数 $y$ 后有

y=0,\ldots,\left\lfloor\frac cb\right\rfloor,\qquad x=0,\ldots,\left\lfloor\frac{c-by}{a}\right\rfloor.

因此该行点数为 $\left\lfloor(c-by)/a\right\rfloor+1$ ，再把各行相加。 $\lfloor t\rfloor$ 表示不超过 $t$ 的最大整数。各行因纵坐标不同而互斥，所有允许纵坐标均被列出，所以不重不漏。

用对称性时，要写出具体坐标映射，确认其保整数、保总范围，并把一侧条件变为另一侧条件。先剥离共有分界线，再平分两侧，最后按是否含边界加回；图形视觉对称本身不够。

二、考点方法与例题

1. 最高位与固定长度不能混用

先写完整数字串的长度，再检查其是否作为整数。无重复时每填一位只删掉已用数字；首位禁零只作用于最高位，不把零从全部位置删掉。

例题 01 相同数字池，不同首位规则

题目

有0，1，2，3，4五个数字，问：

(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码?

(2)可以组成多少个无重复数字的四位数?

答案与解析

解析

（1）四位密码按原题通常约定允许首位零。四个固定位置依次有 $5,4,3,2$ 种选择，共 $5\times4\times3\times2=120$ 个。如果某密码系统另有禁零规则，应改按那一规则，本题未给出。

（2）四位数首位只能从 $1,2,3,4$ 中选，有四种；选定后余下包括 $0$ 在内的四个数字都可作第二位，再余三种、两种。故有 $4\times4\times3\times2=96$ 个。

也可由 $120$ 个密码减首位零的 $4\times3\times2=24$ 个，得 $96$ 。同样四个数字换位会改变密码或数，不因“无重复”再除排列数。

本题结论

（1）首位零可用时 $120$ 个；（2） $96$ 个。

2. 必须重复：直接分类与补集互相核验

总范围先同时满足数字池、位数和奇偶；求其中“至少重复”，可减同一总范围里的全异数。直接法可先按末位分零与非零，再按首末位是否相同分类，避免三位全同被重复列入。

例题 02 三位偶数中至少一对相同

题目

用数字 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（）

A． $76$ B． $38$ C． $36$ D． $30$

答案与解析

解析

允许任意重复的三位偶数，百位五种、十位六种、个位三种，共 $5\times6\times3=90$ 。

数其中全异的：个位为 $0$ ，百位五种、十位排除已用两数后四种，有 $20$ 个；个位为 $2$ 或 $4$ ，百位排除零和个位后四种，十位再四种，分别 $16$ 个。因此全异共 $20+16+16=52$ ，有重复的为 $90-52=38$ 。

直接检查：个位 $0$ 时，十位必须等于百位或等于零，得 $5\times2=10$ 。个位 $2$ 时，百位也是 $2$ 则十位任取六种；百位非 $2$ 则四种百位各有两种十位，得 $6+4\times2=14$ 。个位 $4$ 同理，合计 $10+14+14=38$ 。 $222,444$ 已在首末位相同的一类里，不能再加。

本题结论

选 B， $38$ 个。

3. 区域内整点：逐行与对称的两条路线

解截距、写区域不等式，分清内部与边上；逐行数是稳妥基准。若用外接矩形对称配对，需同时核映射与分界线点数。辅助矩形属于解法，放在解析中。

例题 03 三角形内部和边上的整点

题目

在直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $\triangle AOB$ 三边所在直线的方程分别为 $x=0,y=0,2x+3y=30$ ，则 $\triangle AOB$ 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）

A．95 B．91 C．88 D．75

答案与解析

解析

两轴交点分别为 $(15,0)$ 与 $(0,10)$ ，所求为 $x,y\in\mathbb Z$ 且 $x\ge0,y\ge0,2x+3y\le30$ 的点。

逐行取 $y=0,1,\ldots,10$ ，行点数依次为

16,14,13,11,10,8,7,5,4,2,1,

相加为 $91$ 。

再用对称法核对。将三角形补成宽 $15$ 、高 $10$ 的矩形：

矩形含边整数点数为 $16\times11=176$ 。斜边方程 $2x+3y=30$ 要求 $y$ 为偶数，点恰为 $(15,0),(12,2),(9,4),(6,6),(3,8),(0,10)$ ，共六个。

映射 $T(x,y)=(15-x,10-y)$ 保整数与矩形，且施行两次回到原来的点。因为

2(15-x)+3(10-y)=60-(2x+3y),

它把斜边一侧的非边界点一一映到另一侧。除去共享的六点后，两侧各 $(176-6)/2=85$ ，所求包含斜边，故 $85+6=91$ 。

原资料勘误：来源解析曾把 $y$ 轴交点写为 $(10,0)$ ；令 $x=0$ 得 $y=10$ ，应为 $(0,10)$ 。本轮据方程及题图核正，不据此声称重读了来源所提到的原始文档。

本题结论

选 B， $91$ 个。

三、坑点辨析与纠错

1. 两种总范围不能相减

常见错法：用“首位可零的所有串”减“首位非零的全异整数”，想得到有重复整数。留下的结果仍含非法首位零串。

检查：将总数与被减数的数字池、位数、首位规则、末位规则逐一写在同一行比较。至少重复还包含全同；零不许出现在首位，不代表其他位也禁零。两种不同概念已在三位偶数题中同时体现。

2. 严格边界与闭边界只差符号，点数却会改变

常见错法：把 $x<t$ 的最大允许整数仍写成 $\lfloor t\rfloor$ 。当 $t$ 恰为整数时，会多收边界上的点；正确最大整数为 $\lceil t\rceil-1$ ，其中 $\lceil t\rceil$ 是不小于 $t$ 的最小整数。

辨析 01 自编辨析：严格不等式与严格内部

题目

在例题 03 的区域中，分别求：

（1） $x,y$ 为非负整数且 $2x+3y<30$ 的点数；

（2）三角形严格内部的整点数。

这两个数是否相同？

答案与解析

解析

（1）只排除斜边的六个点，坐标轴上的其余点仍保留，所以 $91-6=85$ 。

（2）严格内部还要求 $x>0,y>0$ 。三条边上的整点共 $16+11+6-3=30$ 个，减去三顶点各被重复计一次，故严格内部为 $91-30=61$ 。

也可直接逐行取 $y=1,\ldots,9$ ，计正整数 $x<(30-3y)/2$ ，得到 $13,11,10,8,7,5,4,2,1$ ，总和 $61$ 。

本题结论

分别为 $85$ 与 $61$ ，不相同。

3. 对称图形不自动给出整点的一一对应

对称性须由实际坐标映射核验。中心含半整数不一定出错：例题的中心是 $(7.5,5)$ ，但映射 $(15-x,10-y)$ 仍保整数；反过来，若映射把整数点送成非整数点，就不能拿它平分整点数量。坐标交换也必须保住题目全部边界条件。

子集的成员次序、质因数的乘法书写顺序只是编码表达方式，不是新的结果；数位位置交换却通常给出新整数。最后回到“是否能唯一恢复对象”检查，不把不同模型的交换规则互相套用。