椭圆焦半径与焦点三角形

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定义给出距离和，焦轴决定正负号；求角和面积时，还要认清第三边、顶点与非退化条件。

一、知识点理解概念

1. 两个焦半径与第三边

在横焦轴真椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 上， $a>b>0$ ，令 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ 、 $e=c/a$ ，左、右焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 。对椭圆点 $P(x,y)$ ，记 $p=PF_1,q=PF_2$ ，它们叫焦半径，都严格为正，并有 $p+q=2a$ 。

若三点不共线，第三边为 $F_1F_2=2c$ ，焦点三角形的周长是 $2a+2c$ ，不是 $2a$ 。 $P$ 在焦轴上时只可能是两个长轴顶点，此时三点共线、面积为零，不能当作非退化三角形使用角的公式。

2. 焦半径的坐标公式

坐标展开给出 $p^2-q^2=4cx$ ，与正的和 $p+q=2a$ 联立，得

p-q=2ex,\qquad p=a+ex,\qquad q=a-ex.

标准式保证 $|x|\le a$ ，故两个表达式都至少为 $a-c>0$ ，确实是距离。左焦点对应加号，右焦点对应减号；纵焦轴时，下焦点对应 $a+ey$ ，上焦点对应 $a-ey$ ，不能只背正负而不核焦点位置。

3. 拓展：相应焦点与准线

横焦轴椭圆的两准线为 $x=\pm a/e$ 。因为 $0<e<1$ ，右准线满足 $a/e>a\ge x$ ，点到右准线距离为 $a/e-x$ ，乘 $e$ 得 $a-ex=q$ ，恰是到右焦点的距离。左准线同理给 $e(x+a/e)=a+ex=p$ 。

因此点到焦点的距离等于 $e$ 乘点到同侧相应准线的距离。纵焦轴交换 $x,y$ ，准线为 $y=\pm a/e$ 。这些是有条件的拓展结论：点线距离本有绝对值，上面先证明了符号； $e=0$ 的圆不能套有限准线公式。

4. 焦点三角形的积与面积

对非退化三角形，设 $\theta=\angle F_1PF_2$ ， $0<\theta<\pi$ 。余弦定理与距离和给出

4c^2=p^2+q^2-2pq\cos\theta =4a^2-2pq(1+\cos\theta).

由 $a^2-c^2=b^2$ ，得 $4b^2=2pq(1+\cos\theta)$ 。因 $1+\cos\theta>0$ ，所以

pq=\frac{2b^2}{1+\cos\theta},\qquad S=\frac{pq\sin\theta}{2}=b^2\tan\frac\theta2.

也可取焦距作底、到焦轴的距离作高，横焦轴时 $S=c|y|$ ，纵焦轴时 $S=c|x|$ 。底高公式能直接处理共线的零面积，不必为退化三角形强套含角公式。

二、考点方法与例题

1. 距离、角度与面积分别选方法

先读出 $a,b,c$ ，记三边 $p,q,2c$ ，用定义 $p+q=2a$ 配合已知的差、比、积或角。三角形问题先核非退化；角在 $P$ 时用 $4c^2=p^2+q^2-2pq\cos\theta$ ，其他顶点的角应把它自己的对边平方放到左侧。直角用勾股，面积可用两边夹角或底高，也可在条件齐全时用上面的拓展面积式。

问最大角时先比较三边，最长边所对的角最大，不一定在 $P$ 。由余弦值求角，要在三角形角的 $(0,\pi)$ 内确定。

2. 已知一个焦半径

只有距离和信息时，先用定义，没必要为求另一个距离而解坐标。

例题 01 椭圆点到两个焦点的距离

如果椭圆 $\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$ 上一点P到焦点 ${F}_{1}$ 的距离为6，那么点P到另一个焦点 ${F}_{2}$ 的距离是（）

A．26 B．10 C．4 D．14

答案与解析

较大分母为 $100$ ，所以 $a=10$ ，两焦半径和为 $2a=20$ 。已知一个为 $6$ ，另一个就是 $20-6=14$ ，选 D。A 把已知距离加到总和上，B 把半长轴当目标，C 也未满足两距离和为 $20$ 。

题设距离确可实现： $c=8,e=4/5$ ，若把给定焦点记作左焦点，则 $6=10+(4/5)x$ 给 $x=-5$ ，椭圆上相应 $y=\pm3\sqrt3$ 存在；若给定焦点在右侧，由对称性同理。求答案本身不需要假设 $P$ 位于某一半平面。

3. 直角的位置决定勾股式

先确认直角顶点，再判断哪条边是斜边。

例题 02 指定顶角的焦点三角形

已知椭圆 $C:\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$ 的左、右焦点分别为 ${F}_{1}$ ， ${F}_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上.若 $\angle {F}_{1}P{F}_{2}=90^{\circ}$ ，则 $\triangle {F}_{1}P{F}_{2}$ 的面积为（）

A．2 B．4 C．8 D．9

答案与解析

$a=3,b=2,c=\sqrt5$ ，故焦距为 $2\sqrt5$ 。设 $p=PF_1,q=PF_2$ ，由定义 $p+q=6$ 。直角在 $P$ ，所以焦距是斜边，勾股定理给 $p^2+q^2=20$ 。

由 $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq$ 得 $36=20+2pq$ ，故 $pq=8$ 。两直角边为 $p,q$ ，面积为 $pq/2=4$ ，选 B。A、C、D 不符合此计算，尤其 $8$ 是两直角边之积而非面积。

条件也可实现： $p,q$ 为 $t^2-6t+8=0$ 的正根 $2,4$ 。例如 $P(3/\sqrt5,4/\sqrt5)$ 满足椭圆方程，且 $(F_1-P)\cdot(F_2-P)=x^2+y^2-5=0$ 。原图仅示意焦点与动点连接，不从图形比例读取数值。

4. 最大角先找最长边

焦半径的和与差能直接给出两边，再与焦距比较。

例题 03 焦半径之差与最大角

椭圆 $C:\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$ 的焦点为 ${F}_{1}$ 、 ${F}_{2}$ ，若点 $P$ 在 $C$ 上且满足 $\left| P{F}_{1}\right|-\left| P{F}_{2}\right|=8$ ，则 $\triangle {F}_{1}P{F}_{2}$ 中最大角为（）

A． ${60}^{\circ}$ B． ${90}^{\circ}$ C． ${120}^{\circ}$ D． ${150}^{\circ}$

答案与解析

$a=10,b^2=75,c=5$ ，焦距为 $10$ 。由 $p+q=20,p-q=8$ 得 $p=14,q=6$ 。三边为 $6,10,14$ ，且 $6+10>14$ ，确为非退化三角形。

最长边 $PF_1=14$ 对着 $F_2$ 处的角，不是 $P$ 处的角。余弦定理给

\cos\angle PF_2F_1=\frac{6^2+10^2-14^2}{2\cdot6\cdot10}=-\frac12.

该角在 $(0,\pi)$ 内，因此最大角为 $120^\circ$ ，选 C。其他选项的余弦值分别为 $1/2,0,-\sqrt3/2$ ，都不符。若将 $F_1$ 记作左焦点， $p-q=2ex=x=8$ ，对应 $y=\pm3\sqrt3$ 确在椭圆上，取点与非退化条件一致。