真圆条件、点圆位置与参数范围

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先保证方程表示正半径圆，再谈点在内、上、外；两类端点分别核对。

一、知识点理解概念

1. 配方结果的三种实点集

在实平面中， $(x-a)^2+(y-b)^2=R$ 的左侧非负： $R>0$ 是圆心 $(a,b)$ 、半径 $\sqrt R$ 的真圆； $R=0$ 只有一点 $(a,b)$ ； $R<0$ 没有实点。后两者不称本章的圆。题目写“圆”，已经包含正半径要求，不需要另写一句才检查。

2. 二次结构、归一化与半径条件缺一不可

一般实二次式

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

表示真圆，须先有 $A=C\ne0,B=0$ 。整体除以 $A$ ，记 $d=D/A,e=E/A,f=F/A$ ，再配方：

\left(x+\frac d2\right)^2+\left(y+\frac e2\right)^2=R,\qquad R=\frac{d^2+e^2-4f}{4}>0.

所以圆心 $(-d/2,-e/2)$ ，半径 $\sqrt R$ 。充分性由配方立即得到；必要性也有几何根据：把真正圆心平移为原点，在圆上代 $(\pm r,0),(0,\pm r)$ ，迫使平移后的两个一次项为零且 $A=C$ ；再代 $(r/\sqrt2,r/\sqrt2)$ ，迫使 $B=0$ 。若此时 $A=0$ ，整个多项式恒为零，点集是全平面而非圆，故还须 $A\ne0$ 。

系数含参数时先核是否为零，不能先除再补漏值。例如 $t(x^2+y^2-1)=0$ 在 $t\ne0$ 时是单位圆， $t=0$ 时却是整个平面。只看某个“半径判别式”，不能绕过结构条件。

3. 先确认真圆，再比较圆心距平方

给定真圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=R>0$ 与 $P(x_0,y_0)$ ，算

s=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2.

$s,R$ 都非负，开平方不改变大小次序，因此 $s<R$ 为圆内， $s=R$ 为圆上， $s>R$ 为圆外。不在内部包括圆上与圆外，是 $s\ge R$ ；无需先把圆心距和半径开根号。

4. 代入一般式看符号，要先统一二次系数

对归一化一般式，配方恒等式为

x_0^2+y_0^2+dx_0+ey_0+f=\left(x_0+\frac d2\right)^2+\left(y_0+\frac e2\right)^2-R=s-R.

所以代入值负、零、正分别对应内、上、外。若未归一化的二次系数 $A<0$ ，原式代入值为 $A(s-R)$ ，符号相反。例如 $-x^2-y^2+1=0$ 的原点在圆内，原式代入值却为正；除以 $-1$ 后才恢复统一口径。

二、考点方法与例题

1. 圆存在的参数范围先独立列出

先核二次项结构及可除系数，再完整配方；两边同时补半系数的平方，读圆心并列严格 $R>0$ 。解完回核退化端点，若题目还有其它参数范围也要取交集。

例题 01 含参数的二次方程

若方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+4mx-2y+4{m}^{2}-m=0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A． $m<0$ B． $m<\frac{1}{2}$

C． $m>-1$ D． $m\ge 2$

答案与解析

分别配方： $x^2+4mx=(x+2m)^2-4m^2$ ， $y^2-2y=(y-1)^2-1$ 。原式的 $4m^2$ 与配方产生的 $-4m^2$ 抵消，得到

(x+2m)^2+(y-1)^2=m+1.

圆心 $(-2m,1)$ ，真圆要求 $m+1>0$ ，即 $m>-1$ ，选 C。

原解用一般式判据同样得到 $(4m)^2+(-2)^2-4(4m^2-m)=4+4m>0$ 。 $m=-1$ 时只有点 $(2,1)$ ，不取； $m<-1$ 无实点。A、B都包含不成圆的参数；D只是成圆范围的一部分，而题目问全部取值范围，不能用它替代C。

2. 含参数点的位置，寻找统一比较而非见参数就分类

确认圆心与正半径后，算 $s-R$ 或直接比较平方。若能给出对所有参数成立的严格上界或下界，就能统一确定位置；否则再解等式与不等式，不凭“含参数”断言位置一定改变。

例题 02 参数点与固定圆的位置

点 $M(a,a+1)$ 与圆 $C:{(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$ 的位置关系是（）

A． $M$ 在 $C$ 外 B． $M$ 在 $C$ 上 C． $M$ 在 $C$ 内 D．不确定，与 $a$ 的取值有关

答案与解析

圆心 $C=(1,0)$ ， $r^2=1$ 。距离平方为

MC^2=(a-1)^2+(a+1)^2=2a^2+2\ge2>1.

因此任意实数 $a$ 时都在圆外，选 A。保留原解的距离比较： $MC=\sqrt{2a^2+2}\ge\sqrt2>1$ ，同样成立。

没有参数能使距离平方等于或小于 $1$ ，所以 B、C不成立；D把“点含参数”误认为“位置必随参数改变”，统一下界已经排除了另外两种位置。

3. 点位置与圆存在取交集，端点分开判断

一份条件保证真圆 $R>0$ ，另一份条件规定 $s<R,s=R,s>R$ 或 $s\ge R$ ；两份都满足才是原问题的参数。也可用归一化一般式代点，负系数时先除。最后逐端点检查：圆上等号可能允许，半径零永远不在本章真圆范围内。

例题 03 坐标原点不在圆内部

已知坐标原点不在圆 $C:{x}^{2}+{y}^{2}+x+2y+m=0$ 的内部，则 $m$ 的取值可能为（）

A．1 B． $-1$ C．2 D． $-2$

答案与解析

先配方得

\left(x+\frac12\right)^2+(y+1)^2=\frac54-m.

真圆条件为 $m<5/4$ 。原点到圆心 $(-1/2,-1)$ 的距离平方为 $5/4$ ，“不在内部”要求 $5/4\ge5/4-m$ ，即 $m\ge0$ 。合并得到

0\le m<\frac54.

原解直接代原点也可得归一化式的值 $m\ge0$ ；圆存在则用 $1^2+2^2-4m>0$ ，两种路线一致。

选项 $1$ 在范围内，选 A； $-1,-2$ 使原点在圆内； $2$ 使半径平方为负，根本不是圆。 $m=0$ 时原点在圆上，允许且应保留； $m=5/4$ 时退化为点，必须排除。