组合向量的模与夹角：平方、点积、非零检查

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模不满足普通加法，但模平方能按数量积分配律展开。把已知条件变成基本点积，再计算真正目标向量的模和夹角；参数方程给出的候选，还要代回检查几何意义。

一、知识点概念与依据

1. 三个基本数决定组合向量的模平方

设 $A=|\vec a|^2,B=|\vec b|^2,C=\vec a\cdot\vec b$ 。将组合向量与自身作数量积，分配展开得到

|\lambda\vec a+\mu\vec b|^2 =\lambda^2A+2\lambda\mu C+\mu^2B.

交叉项由 $\lambda\mu\vec a\cdot\vec b$ 与 $\lambda\mu\vec b\cdot\vec a$ 相加，系数2不能漏。已知模与夹角时， $C=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ ；两者垂直时C为0。单位向量只保证A、B为1，不保证C为0。

已知组合模也能反求C。例如

|\vec a+\vec b|^2=A+2C+B,\qquad |\vec a-\vec b|^2=A-2C+B.

2. 平方何时等价，开方取什么

原条件或目标	合法处理	必须保留的条件
$\lvert\vec u\rvert=\lvert\vec v\rvert$	两边平方等价	两边天然非负
$\lvert\vec u\rvert=k$	先检查k，再平方	$k\ge0$ ；若k为负，直接无解
求参数	解模平方方程，再代回	保留全部实根，按题目额外范围筛选
求模	对非负模平方开方	只取算术平方根，不写正负两个模

参数可以为负，表示数乘时方向改变，不是出现“负长度”。对参数不能擅加正数限制；对模却必须坚持非负。

3. 目标向量一致，才可用夹角公式

若所求为u、v的夹角，先写清它们。例如求a与b−a的角，分子必须是 $\vec a\cdot(\vec b-\vec a)$ ，分母也必须是 $|\vec a||\vec b-\vec a|$ 。

确认u、v均非零后，使用

\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|},\qquad0\le\theta\le\pi.

两模都正才可作分母，结果应落在 $[-1,1]$ 。余弦在 $[0,\pi]$ 上严格递减，一个余弦值只对应一个向量夹角，不能写所有同余角。若计算值越界，应复查条件、点积与模的对象。

平移两向量到共同起点，不改变夹角；将其中一个反向，会把夹角θ变成π−θ。图中三角形某内角的两条射线方向，未必与题目箭头方向一致。

4. 点积为零与直角夹角的边界

u、v均非零时，由定义 $\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta$ ，约去两个正模，点积为零等价于cosθ=0，在夹角范围内就是90°。

若有一个向量为零，点积为零来自规定，但夹角没有定义。即使采用“零向量与任意向量垂直”的代数约定，也不能给它填90°。真实两直线的垂直关系必须选非零方向向量。

原a、b非零，不能保证组合也非零，例如相等的两个非零向量之差为零。求垂直参数后，应将每个候选代入目标组合，用模平方大于0或坐标不全为0确认它有方向。

二、考点方法与例题

1. 用组合模反求点积，再定夹角

先记录两模平方，平方组合模并展开求点积；确认真正目标非零，再用对应两模归一化，最后在 $[0,\pi]$ 内定角。不要将组合中的系数误带进最后的原向量模。

例题 01 由和向量的模求原夹角

题目

已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|{a}^{\to }|=2,|\vec{b}|=1$ ， $\left| \vec{a}+3\vec{b}\right|=\sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A． $\frac{\pi }{6}$ B． $\frac{\pi }{3}$ C． $\frac{2\pi }{3}$ D． $\frac{5\pi }{6}$

答案与解析

解析

a、b的模分别为2、1，均非零。组合模平方为7，按分配律展开：

7=|\vec a+3\vec b|^2=4+6\vec a\cdot\vec b+9,

故 $\vec a\cdot\vec b=-1$ 。目标为原a、b的夹角，所以

\cos\theta=\frac{-1}{2\times1}=-\frac12.

在 $[0,\pi]$ 内， $\theta=2\pi/3$ ，选C。A、B的余弦均正，D的余弦为 $-\sqrt3/2$ ，都不符合。分母是a、b的模之积，不能误用a、3b的模之积。

本题结论

选C， $\theta=2\pi/3$ 。

2. 垂直列点积为零，求根后再查方向

先列基本点积，再将目标组合的点积完整展开求参数。得到候选不代表已得到几何角度：最后代回目标向量检查非零，才能说存在90°夹角。

例题 02 原向量与线性组合垂直

题目

已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\left| \vec{a}\right|=1$ ， $\left| \vec{b}\right|=2$ ， $<\vec{a},\vec{b}>=\frac{\pi }{3}$ ， $\vec{a}\perp \left( \vec{a}+\lambda \vec{b}\right)$ ，则实数 $\lambda =$ （）

A． $-1$ B．1 C． $\frac{1}{2}$ D． $-\frac{1}{2}$

答案与解析

解析

先由定义算 $\vec a\cdot\vec b=1\times2\cos(\pi/3)=1$ 。垂直条件给

0=\vec a\cdot(\vec a+\lambda\vec b)=|\vec a|^2+\lambda\vec a\cdot\vec b=1+\lambda,

故λ=−1。此时第二个目标为a−b，模平方 $1+4-2\times1=3>0$ ，两个目标均非零，确实有直角夹角。选A。

将B、C、D的λ分别代入1+λ，得到2、3/2、1/2，均不为0。不要漏掉自身项 $|\vec a|^2$ 或将交叉项系数算错。

本题结论

选A， $\lambda=-1$ 。

例题 03 组合向量的平行与垂直

题目

已知向量 $\vec{a}=\left( -2,3\right),\vec{b}=\left( k,2-k\right)$ ．

(1)若 $\vec{a}//\vec{b}$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)若 $\vec{a}+2\vec{b}$ 与 $2\vec{a}-\vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值．

答案与解析

解析

（1）共线交叉差 $(-2)(2-k)-3k=-4-k=0$ ，得 $k=-4$ 。代回 $\vec b=(-4,6)=2\vec a$ ，满足非零共线。

（2）设 $\vec u=\vec a+2\vec b=(2k-2,7-2k)$ ， $\vec v=2\vec a-\vec b=(-4-k,4+k)$ 。由点积为0：

0=(2k-2)(-4-k)+(7-2k)(4+k)=-4k^2-7k+36,

即 $(k+4)(4k-9)=0$ ，得 $k=-4$ 或 $9/4$ 。候选的几何意义不同：

参数	代回两个目标向量	能否使用夹角公式
$k=-4$	$\vec u=(-10,15),\vec v=(0,0)$	不能，分母为0，夹角未定义
$k=9/4$	$\vec u=(5/2,5/2),\vec v=(-25/4,25/4)$	能，两者非零且点积为0，夹角90°

题目没有明确零向量垂直约定。按点积为零的代数约定，第二问两根均可；若要求两个非零方向成直角，只有9/4。保留代数解不等于可以把未定义的夹角写成90°。

本题结论

（1） $k=-4$ ；（2）按点积为零的代数约定， $k=-4$ 或 $9/4$ ；若要求确定的直角夹角，仅 $k=9/4$ 。

3. 相等的模平方，解全实数参数

模相等先平方，用同一组基本点积展开左右两边。非正交单位向量的交叉项保留，方程全部实根都代回；没有正数限制时，不能仅因一个根为负就删去。

例题 04 非正交单位向量的模相等

题目

已知 $\vec{{e}_{1}},\vec{{e}_{2}}$ 是单位向量，且它们的夹角是 ${60}^{∘}$ .若 $\vec{a}=\vec{{e}_{1}}+2\vec{{e}_{2}},\vec{b}=\lambda \vec{{e}_{1}}-\vec{{e}_{2}}$ ，且 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，则 $\lambda =$ （）

A．2 B． $-2$ C．2或 $-3$ D．3或 $-2$

答案与解析

解析

两基向量均为单位向量，但夹角60°，故 $\vec e_1\cdot\vec e_2=1/2$ ，不是0。由平方公式，

|\vec a|^2=1+4\times\frac12+4=7,

|\vec b|^2=\lambda^2-2\lambda\times\frac12+1=\lambda^2-\lambda+1.

两个模都非负，相等当且仅当平方相等，因此

\lambda^2-\lambda+1=7\iff(\lambda-3)(\lambda+2)=0.

得λ=3或−2。代回均有 $|\vec b|^2=7=|\vec a|^2$ ，而原题不限制λ正负，两根都保留，选D。

A的2不满足方程；B只保留一个合法根，漏3；C的2与−3都不满足。负参数只反转相应向量项的方向，不代表模为负。两模本身都是 $\sqrt7$ ，不能写 $\pm\sqrt7$ 。

本题结论

选D， $\lambda=3$ 或 $-2$ 。