内切球与外接球

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外接看顶点等距，内切看面间垂距。先证明球心在哪里，再把空间条件化成等距方程或同高体积分割。

一、知识点理解概念

对象	条件	检查重点
多面体的外接球	全部顶点在同一球面上	同一中心到每个顶点距离均为 $R$
几何体的内切球	球在内部，并与每个面相切	到各面的垂距均为 $r$ ，切点属于实际面

多面体也分别称为球的内接多面体、外切多面体。到棱等距不是到面等距；经过几个顶点也不等于经过全部顶点。

任意多面体未必有内切球或外接球。边长 $a,b,c>0$ 的长方体有外接球，球心在体对角线中点， $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}/2$ 。但与六个面均相切要求中心到每对相对面都为同一个半径，因而必须 $a=b=c$ ，这时 $r=a/2$ 。

等距于两点的点位于连线的中垂面。等距于底面三个不共线顶点的球心，在底面外心 $H$ 的垂线上；正棱锥顶点也在该轴线上，因此可在轴上设球心。

设底面外接圆半径为 $\rho$ ，锥高 $h>0$ ，以 $H$ 为起点向锥顶方向的球心有向坐标为 $t$ ，则

R^2=t^2+\rho^2=(h-t)^2.

相减得 $2ht=h^2-\rho^2$ ，所以

t=\frac{h^2-\rho^2}{2h},\qquad R=h-t=\frac{h^2+\rho^2}{2h}>0.

若 $t<0$ ，球心在底面另一侧，仍是合法外接球心。不能预先要求它在锥体内，也不能对一般非正棱锥直接套此轴心模型。

凸多面体若确有内部球与全部面相切，连接球心与各顶点，得到以各面为底、球心为顶点的小锥。各锥的高均为 $r$ ，所以

V=\sum\frac13S_{\text{面}}r=\frac13S_{\text{全}}r,\qquad r=\frac{3V}{S_{\text{全}}}.

这是存在内切球之后的半径关系，不能反过来单凭所得正数宣称内切球存在。

圆锥内切球的球心在轴上。过轴平面也过球心，截球得到大圆；这个圆与轴截面等腰三角形的三边相切，故球半径等于三角形内切圆半径，即“三角形面积÷半周长”。不经过球心的平面截出的圆不能这样等同。

先用中垂面、底面外心垂线或已证明的对称关系定位球心，再设有向位置，列球心到顶点等距方程。解后核对全部顶点，取正半径，再求球面面积或体积；不以图中球心位置代替证明。

已知正三棱锥 $S-ABC$ 的底面是边长为 $2\sqrt{3}$ 的正三角形，侧棱长为 $2\sqrt{5}$ ，则该正三棱锥 $S-ABC$ 的外接球 $O$ 的表面积为（）

A． $10\pi$ B． $25\pi$ C． $100\pi$ D． $125\pi$

答案与解析

底面是边长 $2\sqrt3$ 的正三角形，外接圆半径 $\rho=2$ 。顶点 $S$ 到底面中心 $H$ 的高满足 $h^2=(2\sqrt5)^2-2^2=16$ ，故 $h=4$ 。

球心到三个底顶点等距，必在 $H$ 的垂线上。令其有向坐标为 $t$ ，则 $t^2+4=(4-t)^2$ ，解得 $t=3/2$ 。于是 $R=4-t=5/2$ 。代回 $t^2+4=25/4$ ，与到锥顶的距离平方一致，全部四个顶点均符合。

所以球面面积 $4\pi R^2=25\pi$ ，选 B；A、C、D 的 $10\pi,100\pi,125\pi$ 均与此不同。

圆锥优先找过轴、过球心的截面三角形；凸多面体先求总表面积与体积，再用同高小锥求半径。明确球在内部且切全部面，检查切点与正根的合法性。

已知经过圆锥的高的平面截该圆锥所得的截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（）

A． $4\sqrt{3}\pi$ B． $6\sqrt{3}\pi$ C． $12\pi$ D． $36\pi$

答案与解析

轴截面等边三角形边长为 $6$ ，高为 $3\sqrt3$ ，面积为 $9\sqrt3$ ，半周长为 $9$ 。

截面经过球心，截圆半径就是球半径。由三角形面积等于半周长乘内切圆半径，得 $r=\sqrt3$ ，球面面积 $4\pi r^2=12\pi$ ，选 C。A、B 分别含 $\sqrt3$ ，D 为 $36\pi$ ，均不等于 $12\pi$ 。这里求的是内切圆而不是三角形外接圆。

已知正三棱锥 $P-ABC$ 的高为2， $AB=4\sqrt{6}$ ，其内部有一个球与它的四个面都相切，求：

(1)正三棱锥 $P-ABC$ 的表面积；

(2)正三棱锥 $P-ABC$ 内切球的表面积与体积．

答案与解析

（1）设底面中心为 $O$ ， $D$ 为 $AC$ 中点。底面等边三角形边长 $4\sqrt6$ ，故中心到边的距离 $OD=2\sqrt2$ 。锥高 $PO=2$ ，侧面斜高

PD=\sqrt{PO^2+OD^2}=2\sqrt3.

三个侧面总面积为 $3\times\frac12\times4\sqrt6\times2\sqrt3=36\sqrt2$ ；底面积为 $\frac{\sqrt3}{4}(4\sqrt6)^2=24\sqrt3$ 。所以

S_{\text{锥}}=36\sqrt2+24\sqrt3.

（2）原锥体积 $V_{\text{锥}}=\frac13\times24\sqrt3\times2=16\sqrt3$ 。球在内部且切四个面已由题目保证。连接球心与四个顶点，分成四个高均为 $r$ 的小锥，因此

r=\frac{3V_{\text{锥}}}{S_{\text{锥}}}=\frac{4\sqrt3}{3\sqrt2+2\sqrt3}=2(\sqrt6-2)>0.

展开可核对 $r^2=40-16\sqrt6$ 、 $r^3=144\sqrt6-352$ ，于是

S_{\text{球}}=32(5-2\sqrt6)\pi,\qquad V_{\text{球}}=\frac{64}{3}(9\sqrt6-22)\pi.

半径 $r<2$ ，与内部位置相容；总表面积必须包括底面，不能只用三个侧面。