方差与标准差：先定对象，再量离散

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平方偏差要取平均，标准差再取非负根。比较之前先核对象、单位、均值和题目关注的指标。

一、知识点概念与依据

偏差为什么平方再平均

同一变量、同一单位的非空实际数据 $x_1,\ldots,x_n$ ， $\bar x=\sum_ix_i/n$ 。偏差是到均值的有向距离， $\sum_i(x_i-\bar x)=\sum_ix_i-n\bar x=0$ ，直接平均会正负抵消，不能量散布。

s^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2,\qquad s=\sqrt{s^2}\ge0.

平方使每项非负，较大偏差贡献更大；除 $n$ 得平方距离平均，开非负根还原变量尺度。方差、标准差越小，围绕各自均值越集中，不自动意味着成绩更高、产品更好。原单位为小时，方差为小时平方，标准差为小时；无单位分数仍须区别平方与原尺度。

三种等价计算形式

原资料把该式的求和下限误写为 $n=1$ ，但项含 $x_i$ ，应改为按 $i=1$ 到 $n$ 求和；以下采用规范记号。

展开并代入 $\sum_ix_i=n\bar x$ ：

\begin{aligned} s^2&=\frac1n\sum_i(x_i^2-2x_i\bar x+\bar x^2)\\ &=\frac1n\sum_ix_i^2-\frac{2\bar x}{n}\sum_ix_i+\bar x^2\\ &=\frac1n\sum_ix_i^2-2\bar x^2+\bar x^2 =\frac1n\sum_ix_i^2-\bar x^2. \end{aligned}

数据形式	方差计算	检查
每个实际值	$\sum_i(x_i-\bar x)^2/n$	均值与分母属于同一组
实际值 $c_j$ 及频数 $f_j$	$\sum_j f_j(c_j-\bar x)^2/n$	$\sum_j f_j=n$
实际值及频率 $p_j=f_j/n$	$\sum_jp_j(c_j-\bar x)^2$	已含除 $n$ ，不再除一次

展开式是“平方的平均减平均的平方”，不是倒过来。数值接近时直接用偏差可减少大数相减。连续分组中点不是实际逐值数据，代入只给估计，不能声称精确方差。

分母与零值边界

$s^2,s\ge0$ ，等于0当且仅当所有数据相等，因为非负平方和为0要求每项为0。 $n=1$ 的描述方差为0； $n=0$ 无均值，不能用公式。

本页用分母 $n$ 描述给定数据。分母 $n-1$ 的校正方差是另一明确约定，要求 $n>1$ ，不能只见“样本”就更换。若已知完整总体 $N$ 项，改用 $N$ 得有限总体真实方差；抽样所得则仅估计总体离散，未必等于真值。

合并组还包括中心差异

两组人数 $n_1,n_2$ 、均值 $\bar x_1,\bar x_2$ 、描述方差 $s_1^2,s_2^2$ ，整体均值 $\bar x=(n_1\bar x_1+n_2\bar x_2)/(n_1+n_2)$ 。对第 $j$ 组值写

x-\bar x=(x-\bar x_j)+(\bar x_j-\bar x).

平方相加时交叉项为 $2(\bar x_j-\bar x)\sum(x-\bar x_j)=0$ ，因本组偏差和0。于是

s^2=\sum_{j=1}^2\frac{n_j}{n_1+n_2}\left[s_j^2+(\bar x_j-\bar x)^2\right].

只加权组内方差会漏掉组中心到整体中心的平方距离；均值相同时该项才为0。

二、考点方法与例题

五步确定比较对象

写明哪些观测参与，先按区间及端点筛选子样本，再定容量与单位。
各组分别求自身均值，不拿门槛或另一组均值当中心；未知值先由 $n\bar x$ 补全。
算平方偏差并求和，重复值可按频数合并；偏差和0只用于核均值。
除同一对象的容量，必要时开非负根并注明单位。
同尺度下平方根递增，比较方差即可比较标准差；“更好”还须核平均水平、达标比例及其他目标。

极端值影响均值，平方偏差更放大它；先查记录与情境，不能为显得稳定而擅自删数。小方差只描述这组波动，不保证未来、所有个体或因果关系。

例题 01 补全数据后的离散程度

题目

已知一组样本数据16， $x$ ，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（）

A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4

答案与解析

解析

均值15给总和75，已知项和58， $x=17$ 。偏差为 $1,2,-1,0,-2$ ，和0；平方和 $1+4+1+0+4=10$ ，方差 $10/5=2$ ，选A。B、C、D均非此平方偏差平均，标准差为 $\sqrt2$ 。

再核平方和 $16^2+17^2+14^2+15^2+13^2=1135$ ， $1135/5-15^2=227-225=2$ 。分母用于描述五个值，不改为4；平方和10不是方差，方差2也不是标准差。

本题结论

A，方差2

例题 02 两组射击环数的频率

题目

已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：

令 ${\overline{x}}_{\text{甲}}$ ， ${\overline{x}}_{\text{乙}}$ 分别表示甲、乙射中环数的均值； ${s}_{\text{甲}}^{2}$ ， ${s}_{\text{乙}}^{2}$ 分别表示甲、乙射中环数的方差，则（）

A． ${\overline{x}}_{\text{甲}}<{\overline{x}}_{\text{乙}}$ ， ${s}_{\text{甲}}^{2}>{s}_{\text{乙}}^{2}$ B． ${\overline{x}}_{\text{甲}}>{\overline{x}}_{\text{乙}}$ ， ${s}_{\text{甲}}^{2}<{s}_{\text{乙}}^{2}$

C． ${\overline{x}}_{\text{甲}}={\overline{x}}_{\text{乙}}$ ， ${s}_{\text{甲}}^{2}>{s}_{\text{乙}}^{2}$ D． ${\overline{x}}_{\text{甲}}={\overline{x}}_{\text{乙}}$ ， ${s}_{\text{甲}}^{2}<{s}_{\text{乙}}^{2}$

答案与解析

解析

图中7、8、9是实际离散取值，不是区间中点；每组10次，频率可还原完整取值次数。

环数	甲次数	乙次数	到均值8的平方距离
7	3	4	1
8	4	2	0
9	3	4	1

两均值均8。甲方差 $(3+3)/10=0.6$ ，乙 $(4+4)/10=0.8$ ，故D正确。A、B错判均值，C倒置方差次序。用频率直接算 $0.3\times1+0.4\times0+0.3\times1$ 已含除10，不再除。只能比较本次十次射击的波动，不能断言乙以后每次都差。

本题结论

例题 03 两组评委的评分

题目

在重庆复旦中学“复旦好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：

小组A：85 86 92 87 89 95 82 91 85

小组B：95 93 51 88 90 89 91 92 94

(1)分别求两组评委打分的平均分．

(2)判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由.

答案与解析

解析

（1）A总分792、B总分783，各9人，所以均值分别88、87。

（2）各自中心下的偏差与平方和：

小组	偏差	平方偏差和	方差
A	$-3,-2,4,-1,1,7,-6,3,-3$	134	$134/9\approx14.9$
B	$8,6,-36,1,3,2,4,5,7$	1500	$1500/9\approx166.7$

A本次更集中。B中51分单项贡献 $(-36)^2=1296$ ，相近均值并未显示这部分波动，不能不查原因便删51。

若采用“专业组通常给分较一致”的情境假设，A更像专业人士组。但一次对同一位选手评分不能证明职业身份，也不能证明职业身份导致低方差；没有更多评分、身份机制或因果对照。小数是近似值，不能用精确等号写14.9、166.7。

本题结论

（1）88、87；（2）A本次评分更集中，在题设情境假设下更像专业组。

例题 04 轮胎宽度的分组比较

题目

为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位： $mm$ ）记录下来并绘制出折线图：

(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；

(2)轮胎的宽度在 $\left[ 194,196\right]$ 内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?

答案与解析

解析

（1）逐点读图，甲为 $195,194,196,193,194,197,196,195,193,197$ ；乙为 $195,196,193,192,195,194,195,192,195,193$ 。和分别1950、1940，除10得195 mm、194 mm。

（2）闭区间 $[194,196]$ 包括两端，筛出标准轮胎：

工厂	标准轮胎宽度（mm）	容量	均值（mm）	方差（mm²）
甲	195，194，196，194，196，195	6	195	$4/6=2/3$
乙	195，196，195，194，195，195	6	195	$2/6=1/3$

方差分母随子样本改为6，标准差分别 $\sqrt{2/3}$ mm与 $\sqrt{1/3}$ mm。按题目限定的标准轮胎样本平均水平与波动，乙均值相同而更稳定。

原解末句“所有乙厂……”按语境是“所以”的文字误写，比较也须限于本题样本及指标。两个原样本达标比例均 $6/10$ ，筛选后方差不能证明乙厂所有产品全面更好，更不能确定未来批次。第一问全体10件与第二问6件子样本，不可混用均值或分母。

本题结论

（1）甲195 mm，乙194 mm；（2）标准轮胎样本方差甲2/3、乙1/3 mm²，乙子样本更稳定。

例题 05 合并两个兴趣小组的成绩

题目

某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差为115，B组平均成绩为110分，方差为215，则在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（）

A．120分， 105 B．120分， 265 C．115分， 105 D．115分， 265

答案与解析

解析

全班40人，均值 $(10\times130+30\times110)/40=115$ ，A、B的120按层等权，先排除。

组内方差加权 $(10\times115+30\times215)/40=190$ ，还须加组间项 $(10\times15^2+30\times(-5)^2)/40=75$ ，整体方差265，选D，C的105不符。

也可直接还原整体平方偏差和：A为 $10(115+225)=3400$ ，B为 $30(215+25)=7200$ ，总和10600除40为265。交叉项因各组到本组均值的偏差和0而消失。

统计量准确描述这班全部40人。但没有补习前数据或对照，不支持把成绩或差异归因为补习。

本题结论

D，均值115分，方差265分²