三角函数图象：周期、对称与分支

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正弦和余弦记录单位圆坐标，正切记录两坐标的比值。三种曲线虽都重复，却有不同的周期、定义域和对称位置；看图时要把“在哪个区间”“哪种对称”一起说清。

一、知识点概念与依据

1. 正弦、余弦：同一个圆的两个坐标

这里输入 $x$ 是角的弧度数，输出是无量纲的函数值。单位圆点的纵坐标为 $\sin x$ 、横坐标为 $\cos x$ 。任意实角都可取，故两者定义域均为 $\mathbb R$ ；坐标从 $-1$ 到 $1$ 都能达到，值域均为 $[-1,1]$ 。

$x$	$0$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
$\sin x$	0	1	0	−1	0
$\cos x$	1	0	−1	0	1

五点对应零点和峰谷，连线应光滑，不是折线构成的三角波。五点表也不是只允许五个输入，曲线在它们之间连续变化。

正弦在0处向上过零，在 $\pi$ 处向下过零，到 $2\pi$ 才回到同一阶段。

诱导公式 $\cos x=\sin(x+\pi/2)$ 表明余弦是正弦向左平移 $\pi/2$ 。余弦在0处对应正弦相位 $\pi/2$ ，因此从最高点起步。

实线是余弦，虚线是正弦；不能因值域相同便混用两列五点纵坐标。

2. 周期、奇偶、轴和中心分别描述什么

转一整圈，单位圆点回到原处，两个坐标都重复，所以 $2\pi$ 是正弦、余弦的周期。它还是最小正周期：若正弦有正周期 $T$ ，取 $x=\pi/2$ 得 $\sin(\pi/2+T)=1$ ，故 $T$ 必是 $2\pi$ 的正整数倍；余弦取 $x=0$ 同理。

角 $x$ 与 $-x$ 的终边关于横轴对称，纵坐标变号、横坐标不变，故正弦奇、余弦偶。奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴对称；这不同于任意对称轴或任意对称中心。

性质	正弦 $y=\sin x$	余弦 $y=\cos x$
最小正周期	$2\pi$	$2\pi$
奇偶性	奇函数	偶函数
最大值1的位置	$x=\pi/2+2k\pi$	$x=2k\pi$
最小值−1的位置	$x=3\pi/2+2k\pi$	$x=\pi+2k\pi$
对称轴	$x=\pi/2+k\pi$	$x=k\pi$
对称中心	$(k\pi,0)$	$(\pi/2+k\pi,0)$

表中 $k\in\mathbb Z$ 。轴经过峰谷，中心在横轴零点，二者不能交换；最大值位置只含峰，对称轴还包含谷。

轴 $x=a$ 要求等距两侧函数值相等： $f(a+h)=f(a-h)$ 。例如正弦在 $\pi/2$ 两侧都等于 $\cos h$ 。中心 $(a,b)$ 则要求 $f(a+h)+f(a-h)=2b$ ，并且定义域也对应；正弦用 $\sin(k\pi+h)=(-1)^k\sin h$ 可核中心两侧相反。

3. 单调性来自坐标沿半圈的变化

单位圆右半圈由底向顶，纵坐标上升；左半圈由顶向底，纵坐标下降。横坐标在角从 $-\pi$ 到0时由−1增到1，从0到 $\pi$ 时由1降到−1。按整周平移得到：

函数	最大递增区间	最大递减区间
$\sin x$	$[-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]$	$[\pi/2+2k\pi,3\pi/2+2k\pi]$
$\cos x$	$[-\pi+2k\pi,2k\pi]$	$[2k\pi,\pi+2k\pi]$

不能把整条周期曲线称为增函数或减函数。受限范围求值域，还要检查是否跨过峰谷，不能只比较两个端点。

对 $\sin(\omega x+\varphi)$ 或 $\cos(\omega x+\varphi)$ ，表中限制的是整个相位，不是原 $x$ ；当 $\omega\ne0$ 时，先放入标准区间再反解； $\omega=0$ 时相位固定，是常值情形，结合原定义域单独讨论。负相位系数会反转相位方向，负外系数会反转函数值大小。比如 $2-\cos x$ 是先把余弦上下反射再上移2，峰谷的身份已经交换。

4. 正切：每支递增，不能跨渐近线合并

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad D=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\}.

余弦为0时没有正切值。比值不受 $[-1,1]$ 限制，任意实数都能作为终边斜率，所以正切值域为 $\mathbb R$ ，无最大最小值。基本分支在 $(-\pi/2,\pi/2)$ ，经过 $(-\pi/4,-1),(0,0),(\pi/4,1)$ ；两端竖线是渐近线，不是图象上的点。作图先画两线，再描三点和光滑分支，不能跨无定义处连接。

虚线是渐近线。曲线在每条分支内上升，跨过渐近线后另一个分支从负侧开始。

不用导数也能证明基本分支递增。若 $-\pi/2<u<v<\pi/2$ ，则

\tan v-\tan u =\frac{\sin v\cos u-\sin u\cos v}{\cos u\cos v} =\frac{\sin(v-u)}{\cos u\cos v}>0.

因为 $0<v-u<\pi$ 使分子正，两余弦也都正。周期平移后，每个 $(-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi)$ 内都严格递增，但不能把这些分支的并集当成一个递增区间。

5. 正切中心有时不在图象上

角增加 $\pi$ ，正弦余弦同时变号，比值不变，故正切周期为 $\pi$ ；若正周期为 $T$ ，由 $\tan T=\tan0=0$ 可知 $T$ 必为 $\pi$ 的正整数倍，因此 $\pi$ 最小。又 $\tan(-x)=-\tan x$ ，定义域关于0对称，所以正切为奇函数。

所有对称中心为 $(k\pi/2,0)$ 。偶数 $k$ 给分支零点；奇数 $k$ 给渐近线与横轴的交点，中心本身无函数值，但两侧分支仍可关于它旋转半圈后重合。以 $\pi/2$ 为例，在两边均有定义时，

\tan(\pi/2+h)=-\frac{\cos h}{\sin h},\qquad \tan(\pi/2-h)=\frac{\cos h}{\sin h}.

两值相反，且允许输入成对。这说明中心对称要求整幅图象配对，不要求中心本身属于图象。

对 $\tan(\omega x+\varphi)$ ， $\omega\ne0$ ，先解相位禁值，再反解分支区间；每支在 $\omega>0$ 时递增、 $\omega<0$ 时递减，最小正周期为 $\pi/\lvert\omega\rvert$ 。

6. 复合、平移和绝对值之后重新检验

要检验的性质	零中线正弦型 $A\sin(\omega x+\varphi)$ 的相位条件， $A\omega\ne0$
最小正周期	$2\pi/\lvert\omega\rvert$ ；非零振幅和相位平移不改变它
对称轴 $x=a$	$\omega a+\varphi=\pi/2+k\pi$
对称中心 $(a,0)$	$\omega a+\varphi=k\pi$
奇函数	全实域上 $\varphi=k\pi$
偶函数	全实域上 $\varphi=\pi/2+k\pi$

余弦轴对应相位 $k\pi$ ，中心对应 $\pi/2+k\pi$ ；正切中心对应 $k\pi/2$ 。加竖直常数 $b$ 后，中心的纵坐标随中线变为 $b$ ，轴的横坐标不变。

奇偶性仍须先核定义域关于原点对称。只保留有限区间时，即使解析式满足对称等式，也须检查反射后的输入仍在所保留区间，才是整幅受限图象的对称。

绝对值可能改变最小周期。纯 $|\sin u|$ 、 $|\cos u|$ 因半周变号后绝对值不变，最小相位周期为 $\pi$ ；不能据此把任意含绝对值函数的周期一律减半。带竖直偏移或多个函数组合时，应直接证明重复关系，并核是否还有更小正周期。

二、考点方法与例题

1. 图象限制先来自根号、分母等原条件

根式要求被开方数非负，分母要求非零。化成三角不等式后，在一个完整周期中确定边界和可取部分，再平移成全部解集；等号只给边界，还须判断保留边界之间还是之外。

例题 01 正弦根式的定义范围

题目

函数 $f(x)=\sqrt{2\sin x+1}$ 的定义域为（）

A． $\left[ -\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{7\pi }{6}+2k\pi \right],k\in Z$ B． $\left[ -\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi \right],k\in Z$

C． $\left[ -\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right],k\in Z$ D． $\left[ -\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right],k\in Z$

答案与解析

解析

根号内须非负： $2\sin x+1\ge0$ ，即 $\sin x\ge-1/2$ 。在 $[-\pi/6,11\pi/6]$ 这一闭的完整周期区间内，曲线在 $-\pi/6$ 与水平线 $y=-1/2$ 相交，在 $(-\pi/6,7\pi/6)$ 位于其上方，到 $7\pi/6$ 再次相交；仅在开区间 $(7\pi/6,11\pi/6)$ 位于其下方。周期末端 $11\pi/6$ 又回到水平线上，是下一周期的合法左端点，不能删去。故定义域为

\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left[-\frac\pi6+2k\pi,\frac{7\pi}6+2k\pi\right].

两端被开方数为0，根式有意义，故闭端点。A正确；B包含 $x=-\pi/4$ ，被开方数为 $1-\sqrt2<0$ ；C包含 $-\pi/2$ ，被开方数为−1；D包含 $-\pi/3$ ，被开方数为 $1-\sqrt3<0$ 。后三项均夹入非法输入，也未列出完整合法区间。

$k\in\mathbb Z$ 表示取所有这些区间的并集，不是只留一段。

本题结论

选A，即上述全部闭区间的并集。

2. 五点按实际区间取，纵坐标逐个算

先辨相位起点和一周期长度，不机械从0开始。按函数表达式计算每个纵坐标，特别留意负外系数与竖直平移；题目问“不属于”时，找到不符合坐标关系的一项。

例题 02 余弦反射平移后的关键点

题目

用“五点法”画函数 $y=2-\cos x$ 在 $\left[ -\pi ,\pi \right]$ 的图象时，下列选项中不是关键点的是（）

A． $\left( -\pi ,3\right)$ B． $\left( -\frac{\pi }{2},2\right)$ C． $\left( 0,1\right)$ D． $\left( \pi ,1\right)$

答案与解析

解析

$[-\pi,\pi]$ 恰长一个周期。按这里的起点列五个输入，逐个算纵坐标：

$x$	$-\pi$	$-\pi/2$	$0$	$\pi/2$	$\pi$
$\cos x$	−1	0	1	0	−1
$2-\cos x$	3	2	1	2	3

A、B、C都符合表。D的横坐标虽是关键输入 $\pi$ ，但纵坐标应为3，不是1，因此D不在图象上，更不是关键点。

本题结论

选D。

3. 四种性质用四种条件，不凭函数名判断

先列完整定义域，再决定是否可讨论奇偶与哪些单调分支。
周期看整条曲线重复；轴看等距两边相等；中心看两值之和；奇函数看关于原点的中心对称，偶函数看关于y轴的轴对称。
对连续零中线正弦波，可用中心处非零、轴处非峰谷快速排除，但确认正确项仍应给相位条件或等式。
全称单调结论可用一组反例推翻；验证一两个点不能证明整条曲线的对称。

例题 03 正切相位变化后的性质

题目

已知函数 $f\left( x\right)=\tan \left( 2x+\frac{\pi }{3}\right)$ ，则下列说法正确的是（）

A． $f\left( x\right)$ 在定义域内是增函数 B． $f\left( x\right)$ 图象的对称中心是 $\left( \frac{k\pi }{4}-\frac{\pi }{6},0\right)$ ， $k\in Z$

C． $f\left( x\right)$ 的最小正周期是 $\pi$ D． $f\left( x\right)$ 是奇函数

答案与解析

解析

A：相位不能为 $\pi/2+k\pi$ ，所以定义域排除 $x=\pi/12+k\pi/2$ 。每条递增分支为

\left(\frac{k\pi}2-\frac{5\pi}{12},\frac{k\pi}2+\frac\pi{12}\right).

但跨分支不递增。具体取 $x_1=0,x_2=\pi/6$ ，两者合法且 $x_1<x_2$ ，函数值分别为 $\sqrt3,-\sqrt3$ ，A错误。

B：中心要求相位为 $k\pi/2$ ，解 $2x+\pi/3=k\pi/2$ ，得 $x=k\pi/4-\pi/6$ ，B正确。奇数 $k$ 的中心本身恰在无定义点，不妨碍两侧图象中心对称。

C：相位重复 $\pi$ 对应横坐标增加 $\pi/2$ ，故最小正周期为 $\pi/2$ ，不是 $\pi$ ； $\pi$ 虽也是周期，却不最小。

D：0在域内而 $f(0)=\sqrt3\ne0$ ，已不符合奇函数必要条件。定义域也不关于0对称： $\pi/12$ 被排除，但 $-\pi/12$ 合法，所以原函数既非奇也非偶。

本题结论

只有B正确。

例题 04 区分轴、中心和奇偶性

题目

已知函数 $f\left( x\right)=2\sin \left( 2x-\frac{\pi }{3}\right)$ ，则下列说法正确的是（）

A．函数 $f\left( x\right)$ 的图象关于点 $\left( \frac{\pi }{3},0\right)$ 对称 B．函数 $f\left( x\right)$ 图象的一条对称轴是直线 $x=-\frac{\pi }{12}$

C． $f\left( x+\frac{\pi }{3}\right)$ 是奇函数 D．若 $0<{x}_{1}<{x}_{2}<\pi$ ，则 $f\left( {x}_{1}\right)<f\left( {x}_{2}\right)$

答案与解析

解析

A： $f(\pi/3)=2\sin(\pi/3)=\sqrt3\ne0$ 。连续函数若关于 $(\pi/3,0)$ 中心对称，取中心输入就应为0，故A错。

B：令 $a=-\pi/12$ ，则相位为 $-\pi/2$ 。对任意实 $h$ ，

f(a+h)=2\sin(-\pi/2+2h)=-2\cos2h=f(a-h),

所以 $x=-\pi/12$ 确是对称轴，B对，不只是因为取到了一个最小值便省略对称依据。

C：先将平移量乘相位系数，得到 $g(x)=f(x+\pi/3)=2\sin(2x+\pi/3)$ 。 $g(0)=\sqrt3\ne0$ ，所以不是奇函数，C错。

D：取 $x_1=5\pi/12,x_2=7\pi/12$ ，均在 $(0,\pi)$ 且递增，但 $f(x_1)=2>1=f(x_2)$ ，直接推翻全称不等式，D错。

本题结论

选B。

例题 05 绝对值与最小正周期

题目

下列函数，最小正周期为 $2\pi$ 的是（）

A． $y=\sin \frac{x}{2}$ B． $y=\sin (2x+\frac{\pi }{4})$

C． $y=\left| \cos \frac{x}{2}\right|$ D． $y=\left| \sin2x\right|$

答案与解析

解析

依次分析整条函数，不只判断 $2\pi$ 是否是某个周期：

选项	相位变化规律	最小正周期
A	$x/2$ 增加 $2\pi$ 才回到同阶段	$4\pi$
B	$2x+\pi/4$ 增加 $2\pi$	$\pi$
C	$x/2$ 增加 $\pi$ ，余弦变号而绝对值不变	$2\pi$
D	$2x$ 增加 $\pi$ ，正弦变号而绝对值不变	$\pi/2$

C的相邻峰值位置相隔 $2\pi$ ，任一正周期须把一个峰移到另一个峰，没有更小的正周期。D同理，相邻峰相隔 $\pi/2$ 。B、D虽也以 $2\pi$ 为周期，却不符合“最小”这一限定。

纯正弦、余弦绝对值的减半有半周变号作依据，不能推广为所有带绝对值表达式的通则。

本题结论

选C。