三组常用面积是参考近似，不是绝对界。次数问题还要核方差记号、平方条件以及最小整数边界。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

常用中央区间及其尾部

$X\sim N(\mu,\sigma^2),\sigma>0$，将 $|X-\mu|<k\sigma$ 标准化为 $|Z|<k$，所以中央概率只依 $k$，不依具体均值标准差。常用参考如下：

中央区间	中央概率约值 $c$	合计外尾约值	单尾约值
$\mu\pm\sigma$	0.6827	0.3173	0.15865
$\mu\pm2\sigma$	0.9545	0.0455	0.02275
$\mu\pm3\sigma$	0.9973	0.0027	0.00135

这些值来自标准曲线面积参考计算，课内按题给表使用，无需积分。题目也可能给0.6826、0.9544、0.9974等精度，应按该题数据。中央半区为 $c/2$，单尾为 $(1-c)/2$；不对称区间需拆面积或标准化，不能硬套中央表。

高概率范围仍有尾部

正态模型取值遍及实轴，三倍标准差以外不是不可能。“只在三倍标准差范围内取值”只能理解为高概率近似口径，不能当数学绝对边界。约0.9973也不是1000人必有997人入区间，人数只是模型估计。

对于 $k\ge0$，中央概率随 $k$ 严格增加，因为扩大区间新增两个正宽度、正密度的边带。误差控制可将阈值换成标准化距离，与参考 $k$ 比较；若 $\sigma$ 含参数，必须继续核参数正性、整数限制及近似精度。

考点

误差控制的整数流程

1. 写出误差模型和次数 $n$ 的合法范围，记号第二参数若为方差须开根。
2. $L>0$ 时，$P(|X|\ge L)\le\alpha$ 转为 $P(|X|<L)\ge1-\alpha$；只有中心为0才直接是中央误差区间，非零中心另看 $|X-\mu|$ 或原区间。
3. 标准化后用中央概率的严格增加找 $L/\sigma(n)$ 所需倍数，按题给参考数先求候选界。
4. 平方前核两边非负，乘除参数前核其正性，将实数界取到合法整数。
5. 最少次数须核前一个整数失败。近似参考值卡临界时不能冒称精确等式，可另核相邻两个整数的实际模型尾概率，再以单调性覆盖其他整数。

例题 01 测量误差与次数

题目

现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差$X$通常被认为服从正态分布.若某物理量做$n$次测量，测量结果的误差$X\sim N\left( 0,\frac{2}{n}\right)$，要控制$\left| X\right|\ge \frac{1}{2}$的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ）

（参考数据：$P\left( \mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)=0.9973)$

A．288 B．188 C．72 D．12

答案与解析

解析

$n$ 为正整数，$\sigma=\sqrt{2/n}>0$。目标等价于 $P(|X|<1/2)\ge0.9973$，按题给三倍标准差参考面积与严格单调性，求候选条件

$$\frac{1/2}{\sqrt{2/n}}\ge3\quad\Longleftrightarrow\quad3\sqrt{\frac2n}\le\frac12.$$

两边非负，平方得 $2/n\le1/36$，乘正数 $36n$ 得 $n\ge72$，候选最少72次，选C。A、B过大而非最小，D不达要求。

参考数0.9973本身是近似。边界再核标准正态真实尾概率：$n=71$ 时约0.002891，大于0.0027；$n=72$ 时约0.002699796，小于0.0027。标准化阈值随正整数 $n$ 增加而增加，尾概率随之减少，故72确为最小整数，不是只凭两次试值猜结论。

本题结论

C，至少72次

坑点

方差、界限和取整要分三步

$2/n$ 是方差，不能直接当标准差；$N(\mu,100)$ 的 $3\sigma=30$，不是300。先读参数，再解非负不等式，最后取整数。小尾概率不等于误差绝不越界，近似人数也不等于真实精确计数。

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