圆的中心对称与轴对称

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反射保持距离。求像圆先找到像圆心，反求对称轴先区分两心不同与重合。

一、知识点理解概念

1. 反射圆心，保持半径

原圆的圆心为 $C$ 、半径为 $r>0$ 。关于点 $S$ 中心对称时，对任意圆点 $Q$ ，有 $Q'-C'=-(Q-C)$ ，长度仍为 $r$ 。轴反射时，差向量沿轴的分量不变、法向分量变号；这两个分量垂直，平方和不变，长度也仍为 $r$ 。

因此像点落在以像圆心 $C'$ 为心、 $r$ 为半径的圆上。反射自身就是逆变换，把任意新圆点反射回去也在原圆上，所以不是仅得到部分点，而是整个圆恰映为整个圆。若原对象只是一段弧，还须反射其范围，不能擅自扩成完整圆。

2. 圆心的点反射与轴反射公式

先配方读出真正圆心 $C(a,b)$ ，确认半径平方为正。关于点 $S$ ，有 $C'=2S-C$ ，可用 $CC'$ 的中点为 $S$ 核验。

关于直线 $Ax+By+C_0=0$ ，要求 $A^2+B^2>0$ 。记

t=\frac{Aa+Bb+C_0}{A^2+B^2},\qquad C'=(a,b)-2t(A,B).

常数用 $C_0$ 区别于圆心名称。中点 $H=C-t(A,B)$ 在轴上， $C'-C$ 沿轴的法向；若圆心在轴上， $t=0$ ，圆心保持不动，不必给零差向量指定方向。最后写 $(x-a')^2+(y-b')^2=r^2$ ，原半径平方不变。

3. 两个不同圆心的等半径圆

反射保持半径，所以两个圆互为反射像首先要求半径相等。圆心 $C\ne C'$ 时，中心对称的中心唯一，为两心中点；轴对称的轴唯一，为两心的垂直平分线。用非零向量 $C'-C$ 作轴的法向，比斜率法更能统一处理水平、竖直情况。

4. 同心时不能硬求唯一垂直平分线

同心且等半径其实是同一个圆：中心对称的中心只能为该圆心，轴对称的轴可以是任何经过圆心的直线。同心但半径不同则不能互为反射像。上传 KB 所记“两圆的对称轴是两心垂直平分线”的说法，需要补上半径相等且两心不同的适用条件；两心重合时，零长度连线不能确定唯一轴。

二、考点方法与例题

1. 求像圆与反求对称轴的步骤

先把原式化成标准式并检验真圆，若题目先由三个点求圆，必须先完成这一问。求像圆就反射圆心、保留半径；反求中心或轴就先核两个半径是否相等，再按圆心不同或重合分类。最后用中点在轴、两心差向量沿法向，或中心是中点进行回核。

2. 已知反射轴，求圆的像

可用法向公式；采用斜率法时要先确认相关分母不为零。

例题 01 圆关于给定直线的像

已知圆M： ${\left( x+1\right)}^{2}+{\left( y+2\right)}^{2}=1$ ，求圆M关于直线l： $2x-y-5=0$ 的对称圆方程（）

A． ${\left( x-4\right)}^{2}+{\left( y+3\right)}^{2}=1$ B． ${\left( x+4\right)}^{2}+{\left( y+3\right)}^{2}=1$

C． ${\left( x-3\right)}^{2}+{\left( y-4\right)}^{2}=1$ D． ${\left( x-3\right)}^{2}+{\left( y+4\right)}^{2}=1$

答案与解析

原圆心为 $C(-1,-2)$ ，半径为 $1$ 。轴的法向为 $(2,-1)$ ，圆心代入 $2x-y-5$ 得 $-5$ ，故 $t=-5/5=-1$ ，

C'=(-1,-2)-2(-1)(2,-1)=(3,-4).

像圆为 $(x-3)^2+(y+4)^2=1$ ，选 D。

保留中点与斜率的解法：设像圆心 $(a,b)$ ，则

2\frac{a-1}{2}-\frac{b-2}{2}-5=0,\qquad \frac{b+2}{a+1}=-\frac12.

解得 $a=3,b=-4$ ，其中 $a+1=4\ne0$ ，斜率式合法。回核中点 $(1,-3)$ 在轴上，差向量 $(4,-2)$ 平行于法向 $(2,-1)$ 。A、B、C 的圆心分别为 $(4,-3),(-4,-3),(3,4)$ ，都不是正确像圆心。

3. 给定两个圆，反求反射轴

先检查半径相同，再用两心中点与非零差向量确定轴。

例题 02 两个圆之间的对称关系

已知圆 $M:{(x+1)}^{2}+{(y+2)}^{2}=1$ 与圆 $N:{(x-3)}^{2}+{(y+4)}^{2}=1$ 关于直线 $l$ 对称，则 $l$ 的方程为（）

A． $x+2y+5=0$ B． $x-2y-5=0$

C． $2x+y+5=0$ D． $2x-y-5=0$

答案与解析

两圆半径都是 $1$ ，圆心分别为 $(-1,-2)$ 与 $(3,-4)$ ，不同。中点为 $H(1,-3)$ ，差向量为 $(4,-2)$ ，所以唯一对称轴满足

4(x-1)-2(y+3)=0\iff2x-y-5=0.

选 D。原斜率法同样可用：两心连线斜率为 $(-4+2)/(3+1)=-1/2$ ，垂直平分线斜率为 $2$ ，过 $H$ 得 $y+3=2(x-1)$ 。这里分母 $4$ 非零。

A 虽过中点，但法向 $(1,2)$ 不平行于两心差向量，不能是垂直平分线；B、C 连中点条件也不满足。只有圆心不同才这样确定唯一轴；若两个圆完全重合，所有过圆心的直线都是对称轴。

4. 先求原圆，再作反射

三个给定点决定原圆的步骤，是后一问反射所需的基础，不能跳过。

例题 03 过三点的圆及其对称圆

已知圆C过点 $(4,1),(0,1),(2,3)$ .

(1)求圆C的方程；

(2)求圆C关于直线 $y=x+2$ 对称圆的方程.

答案与解析

（1）求原圆。设 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ ，代入三个给定点得

\begin{cases}17+4D+E+F=0,\\1+E+F=0,\\13+2D+3E+F=0.\end{cases}

第一式减第二式得 $D=-4$ ；第三式减第二式得 $12+2D+2E=0$ ，所以 $E=-2,F=1$ 。原圆为

x^2+y^2-4x-2y+1=0\iff(x-2)^2+(y-1)^2=4.

三点不共线，代回均成立，半径平方为 $4>0$ ，圆心为 $(2,1)$ 。

（2）求对称圆。轴 $y=x+2$ 即 $x-y+2=0$ ， $t=(2-1+2)/2=3/2$ ，像圆心为

(2,1)-3(1,-1)=(-1,4).

半径保持为 $2$ ，故所求圆为 $(x+1)^2+(y-4)^2=4$ 。

保留原中点与斜率法：设像圆心 $(a,b)$ ，有

\frac{b+1}{2}=\frac{a+2}{2}+2,\qquad\frac{b-1}{a-2}=-1.

解得 $a=-1,b=4$ ，分母 $a-2=-3\ne0$ 。两心中点 $(1/2,5/2)$ 在轴上，差向量 $(-3,3)$ 沿轴法向，验证完成。