向量证垂直：区分三个目标

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数量积零、方向共线与位置验证，分别承担不同任务。

一、知识点理解概念

1. 线线、线面、面面分别选什么向量

设直线方向 $\vec u,\vec v$ 非零，平面法向量 $\vec n,\vec m$ 非零且确实有效。

两线方向垂直： $\vec u\cdot\vec v=0$ 。数量积定义给方向夹角 $90^\circ$ ，但没有位置数据，两线可相交，也可异面；要判完整位置须再查交点。
线面垂直： $\vec u=\lambda\vec n,\lambda\ne0$ 。直线方向垂直所有面内方向；等价地，可直接验证它与两个不共线面内方向的数量积都为零。只验一个不够。
面面垂直： $\vec n\cdot\vec m=0$ 。法向量要分别垂直各自面内的两个不共线方向，不是任取两向量点积为零。

2. 两个垂直判据背后的几何理由

线方向沿法向量，便垂直面内每个方向。设直线过 $A$ 、平面过 $Q$ ，方向 $\vec u=\lambda\vec n$ ，线上点满足平面方程时

\vec n\cdot(\vec{QA}+t\vec u)=0\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{\vec n\cdot\vec{QA}}{\lambda|\vec n|^2}.

分母非零，故有唯一交点；有效对象下线面垂直本身就排除了包含，不必额外从图上猜交点。

若两个法向量互垂， $\vec m$ 属于第一平面的方向。在第一面内作方向为 $\vec m$ 的直线，它垂直第二面，故两面垂直。反之，在垂直于两面交线的截面中，两面交成的两条迹线互垂，各自法向量与对应迹线垂直，因而两个法向量也互垂。

二、考点方法与例题

1. 点积为零后，再检查是否相交

正方体可统一缩放取方便棱长，保持所有位置和角。求两方向点积后，再联立两线参数式；不相交且不平行才是异面，不把画面上的交叉当空间交点。

例题 01 正方体中的两条连线

如图，在正方体 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $CD$ ， $C{C}_{1}$ 的中点，则直线 ${A}_{1}M$ 与 $DN$ 的位置关系是（）

A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直

答案与解析

统一缩放取棱长 $2$ ，以 $D$ 为原点，沿 $DA,DC,DD_1$ 为三个轴正方向。这三方向由正方体性质确实互垂。

$A_1=(2,0,2),M=(0,1,0),D=(0,0,0),N=(0,2,1)$ ，所以

\vec u=\vec{A_1M}=(-2,1,-2),\quad \vec v=\vec{DN}=(0,2,1),\quad \vec u\cdot\vec v=0.

二方向非零，确为方向垂直。再查位置：两线参数式分别为 $(2-2s,s,2-2s)$ 和 $(0,2t,t)$ 。若相交，第一项得 $s=1$ ，第三项得 $t=0$ ，第二项却要 $1=0$ ，矛盾。因此不相交；两方向不共线，故不平行，完整位置是异面垂直。

也可用几何位置： $DN$ 在平面 $DCC_1D_1$ 内， $A_1M$ 与该面只交于 $M$ ，而 $M\notin DN$ ，所以两线异面。坐标中 $M=(0,1,0)$ 若在 $DN$ 上，由第三项 $t=0$ 即与第二项矛盾。

原解取 C 表示完整位置。选项口径须说明：一般空间“垂直”允许异面，所以原 B 的“垂直”与 C 有覆盖，并非严格互斥。若 B 指相交垂直则不符；不能为了唯一选 C 而把空间垂直错误定义成必相交，也不改写原选项。

2. 线面垂直用共线倍率，而非零点积

把方向写成非零法向量的同一倍率，一个分量定倍率，再核另两项，最后计算题目真正所求。若坐标含零，这种写法仍可用。

例题 02 直线方向中的两个参数

已知 $\vec{u}=\left( 3,a+b,a-b\right)\left( a,b\in R\right)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n}=\left( 1,2,3\right)$ 是平面 $\alpha$ 的法向量，若 $l\perp \alpha$ ，则 $a+2b=$ （）

A． $\frac{15}{2}$ B． $-\frac{3}{2}$ C． $6$ D． $\frac{9}{2}$

答案与解析

$l\perp\alpha$ 要求 $\vec u=\lambda\vec n$ 。第一分量 $3=\lambda$ ，继而 $a+b=6,a-b=9$ ，相加、相减得

a=\frac{15}{2},\qquad b=-\frac32,\qquad a+2b=\frac92.

选 D。代回 $\vec u=(3,6,9)=3(1,2,3)$ ，两方向均非零，条件成立。A 只取了 $a$ ，B 只取了 $b$ ，C 把 $a+b$ 误当所求。

3. 先求有效法向量，再连回面面垂直

三角形坐标由给定边长和几何关系推出，不从像素量取。分别验证两个非零法向量，最后用它们的数量积判断两面；图中同侧配置也须说清。

例题 03 正三角形底面上方的两个平面

如图所示， $\triangle ABC$ 是一个正三角形， $EC\perp$ 平面 $ABC$ ， $BD//CE$ ，且 $CE=CA=2BD=2$ ．

(1)求平面 $DEA$ 的法向量；

(2)求证：平面 $DEA\perp$ 平面 $ECA$ ．

答案与解析

$EC\perp$ 底面，取 $C$ 为原点，沿 $CB$ 为 $y$ 正轴、沿 $CE$ 为 $z$ 正轴， $x$ 轴在底面内垂直 $CB$ ，正方向朝 $A$ 一侧。

正三角形边长为 $2$ ， $A$ 在 $CB$ 上的投影为中点，底面内高为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ ，所以

C=(0,0,0),A=(\sqrt3,1,0),B=(0,2,0),E=(0,0,2).

按题图所示 $D,E$ 在底面同侧的配置， $BD=1$ 且平行于 $CE$ ，故 $D=(0,2,1)$ 。仅有无向直线 $BD\parallel CE$ 本身并不推出正高度；这里使用了完整含图题的位置。

(1) $\vec{EA}=(\sqrt3,1,-2),\vec{ED}=(0,2,-1)$ 不共线。设法向量 $(a,b,c)$ ，双约束为 $\sqrt3a+b-2c=0,2b-c=0$ 。取 $b=1$ ，得

\vec n=(\sqrt3,1,2).

回代点积分别为 $3+1-4=0,2-2=0$ ，且 $|\vec n|^2=8>0$ ，所以这是平面 $DEA$ 的一个有效法向量，任意非零倍数也可。

(2) 对平面 $ECA$ ， $\vec{EA}$ 与 $\vec{CE}=(0,0,2)$ 不共线。设法向量 $(x,y,z)$ ，得 $\sqrt3x+y-2z=0,2z=0$ 。取 $x=1$ ，得 $\vec m=(1,-\sqrt3,0)$ ，它与两面内方向点积都为零，且 $|\vec m|^2=4>0$ 。

\vec n\cdot\vec m=\sqrt3-\sqrt3=0.

两有效法向量互垂，故平面 $DEA\perp$ 平面 $ECA$ 。几何解释是在 $DEA$ 中可作方向为 $\vec m$ 的直线，它垂直 $ECA$ ，由面面垂直判定得到结论。