有限停止试验：路径、终值与平均费用

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最大次数只是上限，不是每条路径都走满。先在实际停止处结束路径，再记录次数、得分或费用。

知识点

实际停止的叶节点才是完整结果

有限停止试验同时规定最大次数和提前停止条件。每一步分支，首次达到停止条件便成为叶节点；未达到且未碰上限才继续。各完整路径互斥且覆盖全试验，同一终值可对应多个叶节点，其概率相加。

终止次数、最终得分和费用是路径的不同函数，不能互换。一条路径按条件乘法逐步计算，只有给出独立或相应机制时，才可将条件概率换成固定单步率。提前停止使实施次数随机，不代表原单步结果不独立；但不能据最大次数直接将实际终止成功数当固定次数二项。

首次成功即停，最后一档必须合并

设独立同概率试验成功率 $p$ ，失败率 $q=1-p$ ，最多 $N$ 次， $N$ 为正整数。实际实施次数 $T$ 的分布为

P(T=t)=q^{t-1}p\quad(1\le t<N),\qquad P(T=N)=q^{N-1}p+q^N=q^{N-1}.

前一部分要求首次成功；到上限处，无论最后成功或失败都停止，必须合并。 $N=1$ 时 $T=1$ 必然； $p=0$ 时 $T=N$ ， $p=1$ 时 $T=1$ ，直接判常量，不必除 $p,q$ 。

平均费用与每次更便宜不同

单价 $c$ 、无额外费用时 $Y=cT$ ；若有返款、赠送、变价，要对每条路径计算真实净费用，不机械沿用这个式。按完整费用分布加权才是平均花费，预算硬上限或最坏费用是另一个准则。

也可将 $T$ 写成“至少实施第1次”至“至少实施第 $N$ 次”的指标之和，得到

E(T)=\sum_{t=1}^NP(T\ge t)=1+q+\cdots+q^{N-1}.

不要求这些指标独立。 $p=0$ 时和为 $N$ ， $p=1$ 时为1，不能为了套等比和而无条件除 $p$ 。

考点

终止得分：先列路径，再合并同值

读取停止条件，确定变量记录什么。
每次达到条件就结束，剩余分支在上限前继续。
沿路径乘条件概率，同终值路径相加。
核所有真实叶节点恰覆盖一次，概率和1。
期望加权全部终值，通过概率只加通过路径；比较新方案要重新列其路径。

2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队 $1:2$ 不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为 $\frac{1}{3}$ ，在B处射门的命中率为 $\frac{4}{5}$ .

(1)若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望 $E\left( X\right)$ ；

(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.

答案与解析

解析

（1）方案1中首个A球进即得3分并停止；A球不进才继续两个B球。用“成、败”记录相应位置结果：

终止路径	最终得分	概率
A成	3	$1/3$
A败、B败、B败	0	$2/75$
A败、B成、B败	2	$8/75$
A败、B败、B成	2	$8/75$
A败、B成、B成	4	$32/75$

每条路径按题给独立性乘对应命中率。合并两条得2分路径后，

$X$	0	2	3	4
概率	$2/75$	$16/75$	$1/3$	$32/75$

概率和 $(2+16+25+32)/75=1$ ，故

E(X)=\frac{0+32+75+128}{75}=\frac{47}{15}.

（2）方案1通过概率为 $1/3+32/75=19/25$ 。方案2的通过路径是B成成、B败成成、B成败成，概率分别 $16/25,16/125,16/125$ ，和 $112/125$ 。差 $112/125-19/25=17/125>0$ ，按通过概率应选方案2。

不能出现方案1的5分、7分，因为A球成功后不再踢。预先想象生成独立结果序列可辅助算达到阈值的事件，但未实施结果不计入实际得分。

本题结论

（1）分布见表，E(X)=47/15；（2）方案2。

首次成功费用：上限档先问是否仍付钱

先核独立同概率条件，单盒边际等可能并不自动保证多盒独立。到上限时，最后成功与最后失败是否都付最后一笔费用，要按题给规则判断。均值只用于平均成本比较，不保证任意一次费用都较低。

例题 02 两种获得玩偶的方式

题目

近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为 $A$ 款､ $B$ 款､ $C$ 款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.

(1)若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个 $A$ 款玩偶的概率；

(2)若小明只想要 $A$ 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出 $A$ 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 $A$ 款玩偶，老板就赠送一个 $A$ 款玩偶给他.为了得到 $A$ 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.

答案与解析

解析

题干明确单盒三款等可能，未显写多盒独立。以下采用不同盒款式相互独立、概率不变的模型。

（1）三盒至少2个A包括恰2个与3个，概率为

\binom32\left(\frac13\right)^2\frac23+\left(\frac13\right)^3=\frac7{27}.

（2）甲商店最多买4盒， $p=1/3,q=2/3$ ，单价1元，费用等于实施次数。前3盒全失败后一定支付第4盒，无论它成功或失败后获赠，因此末档为 $q^3p+q^4=q^3=8/27$ 。

费用 $Y$ （元）	1	2	3	4
概率	$1/3$	$2/9$	$4/27$	$8/27$

总概率为1，平均费用 $E(Y)=(9+12+12+32)/27=65/27$ 元；指标和另给 $1+2/3+4/9+8/27=65/27$ 。它低于乙商店固定3元，所以以平均费用较低为准则选甲。

甲仍可能付4元，均值不是实际的一次付款金额，不能声称每次都更便宜。若另要求绝不超过3元，应改按硬预算条件判断。

本题结论

（1）7/27；（2）独立模型下平均费用65/27元，按平均费用选甲。