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平行平面的判定与性质

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一条平行线控制一个方向，两条相交且分别平行于目标面的直线才能控制平面方向。面面平行之后，再用交线把空间问题降为平面问题。

一、知识点 理解概念

1. 两个相交方向才控制整个平面

两个不同平面 α∥β\alpha\parallel\beta 的定义是无公共点。判定定理为：

a,b⊂α,a∩b={P},a∥β,b∥β⟹α∥β.a,b\subset\alpha,\quad a\cap b=\{P\},\quad a\parallel\beta,\quad b\parallel\beta\quad\Longrightarrow\quad\alpha\parallel\beta.

为什么足够： 若两面相交于 ll，由线面平行性质，在 α\alpha 中的 a,ba,b 都须平行 ll，从而 a∥ba\parallel b，与它们相交矛盾。两面也不可能重合，否则 a,ba,b 就包含在 β\beta 内而非平行它。因此只可能平行。

只给一条线，或无数条互相平行的线，都只有一个方向，不能产生上述矛盾。两个不同平面内各有两条相交直线分别对应平行，也可推出两面平行；这里“不同”必须写明，只确定方向还不能排除两面位置重合。

上传知识资料已指出该对应平行推论需要补足“两平面不同”的条件。同一平面内也可以作两组对应平行的相交直线，却不能把重合平面称为平行；这里依据资料的文字澄清保留完整前提。

2. 平行平面给出的线面与线线性质

  • α∥β\alpha\parallel\beta 时，α\alpha 中任一直线都与 β\beta 无公共点，所以都平行于 β\beta。但两面内任意两条直线未必互相平行。
  • 若第三面 γ\gamma 分别截两面于 a,ba,b，则 a,ba,b 同在 γ\gamma 内，且不能相交，否则交点会成为 α,β\alpha,\beta 公共点，所以 a∥ba\parallel b。
  • 两个不同平面分别平行于同一个第三平面，也互相平行；若不强调不同，还可能重合。

3. 平行截线与等长截段

两条不同平行直线都与两平行面相交时，四个交点组成平行四边形，两面之间截出的两段等长。理由是两条平行截线确定一个平面，它与原来两平行面交出的线也平行，四边形两组对边分别平行。

使用等长性质前须确认四个交点存在，不能把平行于两面的直线也算作“穿过两面”。已知面面平行求量时，可用同一个辅助面截出平行线，再回到平面相似或平行四边形。

二、考点 方法与例题

1. 数量多不等于方向够

不只数给了几条线，更要检查它们是否同在待证平面且相交。反例可选两个相交平面，再在其中一面作平行于交线的直线。

例题 01 两平面平行的充分条件

已知α,β\alpha ,\beta是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α\alpha与平面β\beta平行的是（ ）

A．平面α\alpha内有一条直线与平面β\beta平行 B．平面α\alpha内有两条直线与平面β\beta平行

C．平面α\alpha内有无数条直线与平面β\beta平行 D．平面α\alpha内有两条相交直线与平面β\beta平行

答案与解析

D 具备同在 α\alpha 内的两条相交线、且都平行 β\beta，符合判定，故选 D。

A、B、C 均可出现在两面相交时：设 α∩β=l\alpha\cap\beta=l，在 α\alpha 中取与 ll 平行但不重合的直线。这条线若与 β\beta 有公共点，该点也在 α\alpha 内，就只能在 ll 上，与平行矛盾。因此它平行 β\beta；这样的直线可以是一条、两条乃至无数条，但两面仍相交。

例如 α\alpha 为 z=0z=0、β\beta 为 y=0y=0，交线为 xx 轴。在 z=0z=0 内，所有 y=c≠0y=c\ne0 的直线都平行于 β\beta，而 α,β\alpha,\beta 并不平行。

2. 中位线和平行四边形提供两个方向

在一个待证平面里选两条相交线。逐条找到另一面内对应平行线，分别核对面外条件，再写出两线交点合并结论。

例题 02 矩形底四棱锥中的两平面

如图所示，已知四棱锥P−ABCDP-ABCD的底面ABCDABCD为矩形，EE，FF，HH分别为ABAB，CDCD，PDPD的中点．求证：平面AFH//AFH//平面PCE．

原资料配图
原资料配图
答案与解析

在 △DCP\triangle DCP 中，F,HF,H 分别为 CD,PDCD,PD 中点，所以 FH∥PCFH\parallel PC。

面 PCEPCE 与底面交于 CECE。FF 不在 CECE 上：底面内直线 CDCD 与 CECE 只交于 CC，而 F≠CF\ne C。所以 FH⊄FH\not\subset 面 PCEPCE。结合 PC⊂PC\subset 面 PCEPCE，得 FH∥FH\parallel 面 PCEPCE。

矩形底面中，AE∥CFAE\parallel CF 且 AE=CF=AB/2AE=CF=AB/2，因此四边形 AECFAECF 为平行四边形，AF∥CEAF\parallel CE。又 A∉CEA\notin CE，所以 AF⊄AF\not\subset 面 PCEPCE；结合 CE⊂CE\subset 面 PCEPCE，得 AF∥AF\parallel 面 PCEPCE。

最后，AF,FHAF,FH 同在面 AFHAFH 内并相交于 FF，两个不同方向齐全，由判定得

平面 AFH∥平面 PCE.\text{平面 }AFH\parallel\text{平面 }PCE.

这里两线确实不同：AFAF 在底面，HH 在 PDPD 内部而不在底面，所以 FHFH 不可能与 AFAF 重合。

三、坑点 辨析与纠错

1. 两条线不是两条相交线

“有无数条线与另一面平行”仍可能全是同方向。充分条件例题给出了满足这些条件但两面相交的反例。缺失的是第二个相交方向，不是数量。若两条线各在不同面中，也不能冒充同在待证面内的两条相交线；实际书写应给出归属与交点。

2. 交线性质不能反向当判定

两平行面被第三面所截，交线平行；反过来，仅两条截得的交线平行，并不足以排除原两面相交。也不要把“两面分别平行同一面”或“两组相交线对应平行”的结论用于重合两面。使用推论时，检查两个平面确实不同。