从关系恢复函数：换元、联立与系数

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给定函数关系并不总要猜公式。先看能否把内层输入改名、把关联函数值当未知数联立，或利用题设明确的类型设系数。每种方法都要说明它确定了哪些输入上的规则，以及哪些部分仍缺少信息。

一、知识点概念与依据

1. 换元同时交付规则和可达集合

给 $f(u(x))=v(x)$ ，原输入有允许范围 $D$ 。令 $t=u(x)$ ，先找真实可达集合 $T=u(D)$ ，再将右边改写为只含 $t$ 的式子 $F(t)$ ，得到 $f(t)=F(t)$ （ $t\in T$ ）。最后改名为 $x$ 不会消除这个范围。

能唯一反解原 $x$ 时，代入全部右侧，不只替换一部分。不能唯一反解时，可找恒等结构；同一 $t$ 的不同原输入必须给同一个右侧值，否则同一外层输入被分配不同输出，关系本身就不可能定义函数。

要声称 $T=\mathbb R$ ，须证明任意实数 $t$ 都有合法原输入见证，不能用几个取值或示意图代替覆盖全体的证明。得到公式后，再代回原内层检验。

2. 可达部分的规则不等于外函数的全部定义

原练习给 $f(\sqrt x+1)=x+2$ 。原参数 $x\ge0$ ；令 $t=\sqrt x+1$ ，则 $t\ge1$ ，反解 $x=(t-1)^2$ 。每个 $t\ge1$ 都能由这个非负 $x$ 达到，因为 $\sqrt{(t-1)^2}=t-1$ 。因此

f(t)=(t-1)^2+2=t^2-2t+3\qquad(t\ge1).

这保留了原选择题正确式，但题设没试到 $t<1$ ，不能宣称那里的值已知或一定无定义。原候选 $t^2$ 和 $t^2-2t+2$ 在 $t=1$ 给 $1$ ，与原 $f(1)=2$ 冲突； $t^2+1$ 在 $t=2$ 给 $5$ ，与原 $f(2)=3$ 冲突。正确式代回 $\sqrt x+1$ ，对所有原 $x\ge0$ 恰得 $x+2$ 。

完整复合定义域还可反推可达部分的合法输入，只有在充分可达等条件下才恢复全部域；这里只给等式，不能把“未被试到”改成“不合法”。

3. 替换输入，联立的是同一组函数值

关系含 $f(x),f(-x)$ 时，可先记 $U=f(x),V=f(-x)$ 。若 $-x$ 仍在原关系适用范围，替换后两未知数交换；右侧也要全部按 $-x$ 重算。倒数替换则须 $x\ne0$ 且 $1/x$ 仍允许，做两次倒数回到原输入。

两条合法关系同时成立，才能线性消元。写清哪式乘几再相加或相减；除系数前查非零。若消元后是 $0=$ 非零数，条件矛盾；若只是 $0=0$ ，这次消元没有唯一确定未知量，还须检查余下关系或其他条件。

替换固定点处，如相反输入的 $0$ 、倒数输入的 $\pm1$ ， $U,V$ 可能是同一个函数值，不能将它们当可独立选的两个数。最终代回原关系检查。局部不对称范围不允许无依据换成负输入，也不允许把局部结果自动推广到全部实数。

4. 指定类型以后，才可以待定系数

题设说二次函数，才可设 $f(x)=ax^2+bx+c$ 且 $a\ne0$ 。已给分母的分式则保留该结构，只设题目允许的系数。没有类型，不能把抽象函数随意设成二次式。

给若干函数值，逐个代入得到方程；给对全部输入成立的关系，将完整式子代入并展开。例如

f(x+h)-f(x)=a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)=2ahx+ah^2+bh.

这是有限平移作差，不是导数。初值可先定常数，剩余系数由其余条件联立，最后查 $a\ne0$ 和所有原条件。

原差分选择题 $f(0)=2$ 、 $f(x+2)-f(x)=4x$ ，先得 $c=2$ ，再得 $4ax+4a+2b=4x$ 。比较系数或代 $x=0,1$ 相减，给 $a=1,b=-2$ ，所以 $f(x)=x^2-2x+2$ 。原四个候选 $x^2+x+2,x^2-2x+2,x^2-x+2,x^2+2x+2$ 的初值都为 $2$ ，但差分分别为 $4x+6,4x,4x+2,4x+8$ ，只有第二式通过全关系。此短例与下方两问原题共用待定系数方法，保留了“只核初值不足”的独特辨析。

5. 为什么能比较系数，而有限点又不总够

这里代入后只需比较一次或二次多项式。若两式在非退化区间或全实数上恒等，其差处处为零。非零一次式最多一个实根，非零二次式最多两个，不可能在区间处处为零，因此差必为零多项式，各系数相同。

差分后仅剩一次式，也可代两个不同输入求系数，再把求得式子代回验证全体成立。两个点是用于求已知类型中的系数，不是用于证明任意未知规则恰为二次函数。有限点采样而无类型限制，不能直接作恒等式比较。

6. 图象只提供明确标记和题设结构

先列函数类型、输入范围，再读取明确坐标、顶点或界线。一次段可设 $kx+b$ ，过原点则 $b=0$ ；二次段有顶点 $(h,k)$ 可设 $a(x-h)^2+k$ ， $a\ne0$ ，因为平方在中心为零，展开仍是二次式。合法点才可代入该段，接合点的归属按不等号。

若题给 $1/(ax^2+bx+c)$ ，分子恒为 $1$ ，图中明确沿两条不同竖线 $x=r,s$ 无界，这两处对应分母根，可以写成 $a(x-r)(x-s)$ 。这里“竖直渐近线”只描述靠近该线时纵坐标无界，不需先用极限计算。不是每个缺失点都有这性质；一般分式可能约掉因子，不能把所有禁值都当极点。

每条参数方程说明它来自哪一个明确点或结构，数据不够就承认未唯一确定。未标记的比例、角度、曲线上的“看起来整数点”都不作为精确条件。图象若只给半边，不能凭看起来对称补另一边；须等题目另给实际对称性质，并在相应单元完整处理。

二、考点方法与例题

方法一：先还原当前输入，再证明可达与相容

列原关系允许域，记内层为 $t$ ，求范围并反解或配凑右侧。多对一时检查输出只依赖 $t$ 。写清已确定部分后代回，不给未确定域添加规则。

方法二：合法替换或规定类型，随后逐条件回查

抽象关系先检替换仍合法，再联立消元，检查系数退化与固定点。类型明确时设系数，从初值、标点、恒等式列方程；不是只让式子“看上去通过图上的点”，而是回查全部题设。

例题 01 换元、配凑与相反输入联立

题目

求下列函数的解析式.

(1)已知 $f(\sqrt{x}+1)=x-4$ ，求 $f(x)$ ；

(2)已知 $f\left( x-\frac{1}{x}\right)={x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$ ，求 $f(x)$ ；

(3)已知 $2f(x)-f(-x)={x}^{2}$ ，求 $f(x)$ .

答案与解析

解析

三个小问给不同函数条件，不能继承前问的域或系数。

（1）原参数 $x\ge0$ 。令 $t=\sqrt x+1\ge1$ ，反解 $x=(t-1)^2$ ，每个 $t\ge1$ 都可达。于是

f(t)=(t-1)^2-4=t^2-2t-3\qquad(t\ge1).

代回原内层得到 $x-4$ 。这确定了 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 的规则；题设没有试到更小输入，不擅自断言那里无定义，也不指定输出。原答案附的范围应按这个信息边界理解。

（2）原参数 $x\ne0$ 。展开时交叉项为 $-2$ ：

\left(x-\frac1x\right)^2=x^2-2+\frac1{x^2},\qquad x^2+\frac1{x^2}=\left(x-\frac1x\right)^2+2.

记 $t=x-1/x$ ，右侧只依赖 $t$ ，所以不同原输入若同为这个 $t$ ，输出一致。证明 $t$ 取遍实数：任给实数 $t$ ，方程 $x^2-tx-1=0$ 的判别式为 $t^2+4>0$ ，取

x=\frac{t+\sqrt{t^2+4}}2>0.

由于 $\sqrt{t^2+4}>|t|$ ，此根非零，原方程除以它即得 $x-1/x=t$ 。因此每个实数 $t$ 都有合法见证，完整规则为 $f(t)=t^2+2$ 。代回与配凑恒等式相符。

（3）按原题实数恒等关系口径， $x,-x$ 都允许。将全部 $x$ 换成 $-x$ ，得两式

2f(x)-f(-x)=x^2,\qquad 2f(-x)-f(x)=x^2.

第一式乘 $2$ 再加第二式，左边 $4f(x)-2f(-x)+2f(-x)-f(x)=3f(x)$ ，右边 $3x^2$ 。除非零系数 $3$ ，得 $f(x)=x^2$ 。回查 $2x^2-(-x)^2=x^2$ ，所有实数成立；固定点 $x=0$ 原式给 $f(0)=0$ 也吻合。若关系只给不对称局部范围，这个替换要另查合法性。

本题结论

（1） $f(x)=x^2-2x-3$ （已确定部分 $x\ge1$ ）；（2） $f(x)=x^2+2$ （ $x\in\mathbb R$ ）；（3） $f(x)=x^2$ 。

例题 02 线性换元与二次差分

题目

求下列函数的解析式：

(1)已知函数 $f\left( x-1\right)={x}^{2}-4x$ ，求函数 $f\left( x\right)$ 的解析式；

(2)已知 $f\left( x\right)$ 是二次函数，且满足 $f\left( 0\right)=1$ ， $f\left( x+1\right)-f\left( x\right)=2x$ ，求 $f\left( x\right)$ .

答案与解析

解析

（1）原关系取实数输入。令 $t=x-1$ ，反解 $x=t+1$ ，任意实数 $t$ 都能达到。完整代入右边：

f(t)=(t+1)^2-4(t+1)=t^2+2t+1-4t-4=t^2-2t-3.

故改名后 $f(x)=x^2-2x-3$ ，域为实数。回查 $(x-1)^2-2(x-1)-3=x^2-4x$ 。

（2）题设二次类型，设 $f(x)=ax^2+bx+c$ ， $a\ne0$ 。由 $f(0)=1$ 得 $c=1$ ，展开平移差：

\begin{aligned} f(x+1)-f(x)&=a(x+1)^2+b(x+1)+1-(ax^2+bx+1)\\ &=ax^2+2ax+a+bx+b+1-ax^2-bx-1\\ &=2ax+a+b. \end{aligned}

它恒等于 $2x$ 。代 $x=0$ 得 $a+b=0$ ；代 $x=1$ 得 $3a+b=2$ 。相减得 $2a=2$ ，所以 $a=1,b=-1$ ，二次条件符合。

结果 $f(x)=x^2-x+1$ ，初值为 $1$ ，且 $(x+1)^2-(x+1)+1-(x^2-x+1)=2x$ ，原两条件全满足。不能将第一问的函数沿用到第二问。

本题结论

（1） $f(x)=x^2-2x-3$ ；（2） $f(x)=x^2-x+1$ 。

例题 03 倒数输入联立与受限最值

题目

已知函数 $f\left( x\right)$ 满足 $f\left( x\right)+3f\left( \frac{1}{x}\right)=4x+\frac{4}{x}$ ，则 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ 2,+\infty \right)$ 上的最小值是．

答案与解析

解析

原关系至少需 $x\ne0$ ；按原详解的非零实数恒等关系口径， $1/x$ 也合法，替换后可再用原式。记 $U=f(x),V=f(1/x),S=x+1/x$ ，得

U+3V=4S,\qquad V+3U=4S.

第二式乘 $3$ 减第一式： $3V+9U-U-3V=12S-4S$ ，所以 $8U=8S$ ，除非零 $8$ 得 $f(x)=x+1/x$ （ $x\ne0$ ）。 $x=\pm1$ 时 $U=V$ ，直接回原式也一致；零的值不由本关系确定，但本题求 $[2,+\infty)$ 上最值不需要它。

受限范围不能直接取正半轴的基本不等式下界 $2$ ，其取等点 $1$ 不在本区间。对任意 $x_1>x_2\ge2$ ，

f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac1{x_1x_2}\right)>0,

因为两因子都正，尤其 $x_1x_2>4>1$ 。这说明输入越大输出越大，即在本区间严格递增；这里直接以任意两输入作差证明，不预设导数知识。端点 $2$ 收入，所以最小为 $f(2)=5/2$ 。

亦可直接核下界： $f(x)-5/2=(x-2)(1-1/(2x))\ge0$ ，在 $x\ge2$ 仅 $x=2$ 取等。两法与联立后的原关系回代均一致。

本题结论

最小值 $5/2$ ，在 $x=2$ 取得。

例题 04 竖直界线与一个明确点

题目

若函数 $f\left( x\right)=\frac{1}{a{x}^{2}+bx+c}$ 的部分图象如图所示，则 $f\left( 5\right)=$ （）

倒数二次式图象在横坐标2与4有竖直虚线，中央曲线经过辅助线标出的点(3,1)，两外侧分支位于横轴下方

A． $-\frac{2}{3}$ B． $-\frac{1}{12}$ C． $-\frac{1}{6}$ D． $-\frac{1}{3}$

答案与解析

解析

题设已规定分子恒为 $1$ 、分母为二次多项式。图中 $x=2,4$ 的竖直虚线及靠近它们的无界分支，按题意提供两个分母零点；辅助线明确标出曲线上的 $(3,1)$ 。不是仅因某横坐标没画点就猜根，也不是量图猜坐标。

两个不同根保证二次项系数非零，分母可写 $a(x-2)(x-4)$ 。合法输入 $3$ 给

1=f(3)=\frac1{a(3-2)(3-4)}=-\frac1a.

乘非零 $a$ 得 $a=-1$ ，故 $f(x)=-1/[(x-2)(x-4)]$ ，原域排除 $2,4$ 。目标 $5$ 合法，算得 $f(5)=-1/(3\cdot1)=-1/3$ 。

D 与该回算值一致；A、B、C 的三个不同分数不符。展开分母为 $-x^2+6x-8$ ，仍属规定类型，且两根和 $(3,1)$ 全部回查成立。图的缩放或左右高低不另提供系数条件。

本题结论

选 D。