变量变换：同值合并与阈值事件

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把每个旧值送到新值，再合并概率。变换不是只改表头，求不等式事件也不是把连续区间长度当作概率。

知识点

变换前先检查函数有定义

给定实值函数 $g$ ，定义 $Y=g(X)$ ，要求 $g$ 在 $X$ 的全部实际取值上有定义，才能给每个样本点唯一实数。即使某实际样本点概率为0，也不能在其赋值未定义时不加说明便声称有了整个样本空间上的函数。

零概率列可为概率计算保留或删去，但“算概率时无影响”不同于“函数已处处定义”。分式在某值分母为0时，需要补定义该处取值；若只是求不等式事件，则明确限制分母非零。

同一个新值，合并所有原像

事件 $\{Y=y\}$ 是所有满足 $g(x_i)=y$ 的 $\{X=x_i\}$ 互斥相并，因此

P(Y=y)=\sum_{i:g(x_i)=y}P(X=x_i).

映射特征	新分布如何处理
在旧取值集合上单射	每个新值对应一个旧值，搬移其概率
多个旧值映到同值	将这些旧概率全部相加，新值只列一次
常函数	全部归为一个值，概率1
$g(x)=ax+b$	$a\ne0$ 时不合并； $a=0$ 时成为常量 $b$

新值个数不会超过旧值个数。非线性变换可能改变次序，排序时连概率一起移动；平方按正负同幅分组，周期函数要逐值核，不能只看相邻旧值。

不等式概率来自筛值，不来自区间长度

求 $P(g(X)<t)$ ，既可先求新分布再筛值，也可直接在旧表筛出满足 $g(x_i)<t$ 的列，两法基于同一事件原像。不能只变换区间端点就当成等价事件。

严格阈值 $Y<t$ 在 $t$ 等于某个值时还不包含这一列，略大于它才包含；若改成 $Y\le t$ ，端点归属也改变。零概率列不会造成累积概率跳跃，不能机械把每个列值当作新台阶。

考点

逐列计算，再按同值归组

依次完成：核定义域 → 列旧值到新值映射 → 合并同值概率 → 排列新值及对应概率 → 核非负与和1。只改第一行留下重复值，还不是按不同取值写出的规范分布列。

例题 01 正弦函数的数值记录

题目

已知随机变量X的分布列为

\begin{array}{c|cccccc} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ P & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} & \frac{1}{32} \end{array}

求随机变量 $Y=\sin \frac{\pi }{2}X$ 的分布列．

答案与解析

解析

逐值计算，不按旧表次序猜新值：

$X$	1	2	3	4	5	6
$\sin(\pi X/2)$	1	0	-1	0	1	0

所以

P(Y=1)=\frac12+\frac1{32}=\frac{17}{32},\qquad P(Y=0)=\frac14+\frac1{16}+\frac1{32}=\frac{11}{32},\qquad P(Y=-1)=\frac18.

按新值排序后的分布为

$Y$	-1	0	1
概率	$1/8$	$11/32$	$17/32$

三项总和 $(4+11+17)/32=1$ 。同值组内旧值不等概率，因此不能只数有几个旧值。

本题结论

Y取-1、0、1，对应概率1/8、11/32、17/32。

分布变换后反求阈值

先得到不同新值的分布，再分段累计。每个临界点都代回原来的严格或非严格条件核对，不只报两个相邻数。

例题 02 平方记录与概率阈值

题目

已知随机变量 $X$ 的分布列如表所示．

\begin{array}{c|cccccc} X & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ P & \frac{1}{12} & \frac{1}{4} & \frac{1}{3} & \frac{1}{12} & \frac{1}{6} & \frac{1}{12} \end{array}

(1)求随机变量 $Y={X}^{2}$ 的分布列；

(2)若 $P\left( Y<x\right)=\frac{11}{12}$ ，求实数 $x$ 的取值范围．

答案与解析

解析

（1） $X=-1,1$ 合为 $Y=1$ ； $X=-2,2$ 合为 $Y=4$ 。

$Y$	0	1	4	9
对应旧值	0	-1、1	-2、2	3
概率	$1/3$	$1/4+1/12=1/3$	$1/12+1/6=1/4$	$1/12$

（2）严格事件 $Y<x$ 的全部台阶为：

阈值 $x$	$x\le0$	$0<x\le1$	$1<x\le4$	$4<x\le9$	$x>9$
$P(Y<x)$	0	$1/3$	$2/3$	$11/12$	1

因此所求为 $4<x\le9$ 。 $x=4$ 时 $Y=4$ 未计入，只有 $2/3$ ； $x=9$ 时 $Y=9$ 仍未计入，恰为 $11/12$ 。

本题结论

（1）分布见表；（2）x∈(4,9]。

分式条件先排零分母

先写定义域，再移项、按分子分母符号求解，最后与离散取值集合相交。同乘负分母要反向，不可以无条件同向乘。未定义处不是一个可随便参与比较的数。

例题 03 分布表中的分式条件

题目

设随机变量 $ξ$ 的分布列如下表，则 $P\left( \frac{2ξ-5}{ξ-4}<1\right)=$ （）

\begin{array}{c|cccc} ξ & 1 & 2 & 3 & 4 \\ P & \frac{1}{12} & a & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}

A． $\frac{5}{12}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\frac{7}{12}$ D． $\frac{1}{6}$

答案与解析

解析

先归一得 $a=1-1/12-1/3-1/3=1/4$ 。分式只在 $\xi\ne4$ 时有意义；移项得

\frac{2\xi-5}{\xi-4}<1 \iff \frac{\xi-1}{\xi-4}<0 \iff 1<\xi<4.

与取值集合 $\{1,2,3,4\}$ 相交只剩2、3。 $\xi=1$ 时原分式等于1，不满足严格小于； $\xi=4$ 时未定义。因此在“分母非零且不等式成立”的事件口径下，概率为 $1/4+1/3=7/12$ ，选C，其余选项不等于该和。

必须说明： $\xi=4$ 具有正概率 $1/3$ ，因此题写分式不是整个样本空间上已定义的实值随机变量。若要把它当变换变量，需另给此处取值；这里求的是明确排除未定义值的事件概率，并没有暗给该处赋值。

本题结论

按分母非零且不等式成立的事件理解，C，7/12。