限定范围中的单调、最值与新定义

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先还原相位，再还原自变量，最后与实际定义域相交。求值域则要找允许范围内的端点和峰谷；遇到题设新定义，继续追踪定义域、量词及能否取到的边界，而不是仅凭名称套公式。

一、知识点概念与依据

1. 相位方向与外系数方向分别判断

对 $A\sin(\omega x+\varphi)$ 、余弦型或正切型，先把括号当相位 $u$ 。 $\omega>0$ 时相位随 $x$ 增加， $\omega<0$ 时相位反向；外系数 $A<0$ 又把纵坐标大小反向。只翻转一次就交换增减，两次则恢复基本函数的增减， $A\omega=0$ 时须先检查表达式是否有定义，再单独讨论常值情形；正切的无定义点不能因外乘0而补入定义域。

基本函数	相位递增段	相位递减段
$\sin u$	$[-\pi/2+2k\pi,\pi/2+2k\pi]$	$[\pi/2+2k\pi,3\pi/2+2k\pi]$
$\cos u$	$[-\pi+2k\pi,2k\pi]$	$[2k\pi,\pi+2k\pi]$
$\tan u$	$(-\pi/2+k\pi,\pi/2+k\pi)$	无非退化递减区间

其中 $k\in\mathbb Z$ 。正切端点无定义，不能写闭括号；也不能因每支递增，就把跨渐近线的所有输入视作一个递增区间。

2. 三层范围必须逐层还原

先列相位 $u$ 的范围，再减初相、除系数，得到 $x$ 的范围，最后与原定义域取交集。周期项也要除系数；除负数不等号反向，再按从小到大重排。所有有交集的整数 $k$ 都要考虑，空交集删除，每个剩下的连续段分别写。

正弦、余弦完整一段从峰到谷或从谷到峰，长度为 $T/2$ ；正切一支长度为 $T$ ，两端开口。被定义域截短后长度可以更短，不能为了凑标准长度而越过题给边界。

通常求“单调区间”列出定义域内的最大连续单调段；其任意子区间也有同一单调性。必须区别“没有列全最大段”和“在该段并不单调”，不能把这两句话混为一谈。

3. 有限区间的值域取决于位置，不只取决于长度

把两个输入端点代入相位，保留开闭并按大小排序，再找其中的峰谷。正弦峰在 $\pi/2+2k\pi$ 、谷在 $3\pi/2+2k\pi$ ；余弦峰在 $2k\pi$ 、谷在 $\pi+2k\pi$ 。在这些位置切成单调支，比较实际边界与内部峰谷，不能只代原区间两端。

若基本三角值范围为 $[m,M]$ ，乘正系数后为 $[Am,AM]$ ，乘负系数后为 $[AM,Am]$ ，再将两端同时加 $b$ 。开端点对应的极限值若还能在其他允许点取到，仍可能属于值域；是否取到须检查具体输入。

连续函数在闭区间上的最小值与最大值之间的每个值都能取到。开区间或有无定义点时，要另查可达性与是否存在缺口，不能把只能接近的上界当作最大值。

4. 二次换元先给新变量的实际范围

同角关系与诱导公式可把组合式统一为 $q(t)$ ，如令 $t=\sin x$ 。先由原 $x$ 区间确定 $t$ 的实际范围，再配方、查顶点是否在其中，并比较两端。 $t$ 不自动遍取 $[-1,1]$ ；顶点不在允许范围时，配方中的顶点值也不能作为本题最值。

5. 新定义先看规则与量词

新名称的入口在题干给出的规则，不在名称的字面联想。若定义数值，写清逐项计算顺序；若定义性质，分清“所有输入”“至少一个输入”及最大或最小的界。正切需余弦非零，分母和平均项数不能为零，定义域也须非空。

下界是所有函数值都不低于的常数，下确界是最大的下界，未必能取到。若某个允许输入已达到下界，则任何更大常数都会在该点失效，此时下确界才同时是最小值。开输入端点与参数边界是不同对象，必须把参数代回定义判断，不能机械照抄括号。

二、考点方法与例题

1. 求增减区间，先方向再交集

判相位方向和外系数方向，选相应基本增减段。
三边同步减初相、除系数，包含周期项。
遍历与原定义域有交集的分支，逐段保留。
代回两端相位，核方向、端点与最大连续段口径。

例题 01 限定定义域中的递减区间

题目

函数 $f\left( x\right)=2\sin \left( x+\frac{\pi }{3}\right),x\in \left[ 0,\pi \right]$ 的单调减区间是（）

A． $\left[ 0,\frac{\pi }{6}\right]$ B． $\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right]$ C． $\left[ \frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$ D． $\left[ \frac{\pi }{6},\pi \right]$

答案与解析

解析

原答案D采用“给定定义域内的最大递减区间”口径。题干未明说“最大”，而C也是递减子区间，不能按原详解将C说成“不递减”。

相位随 $x$ 增加，且外系数正，故列

\frac\pi2+2k\pi\le x+\frac\pi3\le\frac{3\pi}2+2k\pi,

得到 $x\in[\pi/6+2k\pi,7\pi/6+2k\pi]$ 。与 $[0,\pi]$ 相交，仅 $k=0$ 留下 $[\pi/6,\pi]$ 。

选项	实际情况
A	从0到 $\pi/6$ 为上升段，不递减
B	跨过 $\pi/6$ 的峰点，先增后减
C	确实递减，是D的真子区间，但不是最大段
D	定义域内的最大递减段

因此按最大区间的常用作答口径选D；若只按“函数在该区间递减”的字面判断，C、D都成立。

本题结论

最大递减区间为 $[\pi/6,\pi]$ ，对应D；C也是递减子区间。

例题 02 相位系数与周期项的同步还原

题目

函数 $f\left( x\right)=2\cos \left( \frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的单调递减区间为（）

A． $\left[ 4k\pi -\frac{5\pi }{2},4k\pi -\frac{\pi }{2}\right],k\in Z$ B． $\left[ 4k\pi +\frac{\pi }{2},4k\pi +\frac{5\pi }{2}\right],k\in Z$

C． $\left[ 4k\pi -\frac{\pi }{2},4k\pi +\frac{3\pi }{2}\right],k\in Z$ D． $\left[ 4k\pi -\frac{3\pi }{2},4k\pi +\frac{\pi }{2}\right],k\in Z$

答案与解析

解析

相位 $u=x/2-\pi/4$ 随 $x$ 增加，外系数2正，因此令 $2k\pi\le u\le2k\pi+\pi$ 。先三边加 $\pi/4$ ，再乘2：

2k\pi+\frac\pi4\le\frac x2\le2k\pi+\frac{5\pi}4,

4k\pi+\frac\pi2\le x\le4k\pi+\frac{5\pi}2.

B正确。区间长度 $2\pi=T/2$ ，而 $T=4\pi$ ，可作复核。

A对应相位 $[2k\pi-3\pi/2,2k\pi-\pi/2]$ ，跨谷点先减后增；C对应 $[2k\pi-\pi/2,2k\pi+\pi/2]$ ，跨峰点先增后减；D对应 $[2k\pi-\pi,2k\pi]$ ，实际递增。

本题结论

选B，区间为 $[4k\pi+\pi/2,4k\pi+5\pi/2]$ ， $k\in\mathbb Z$ 。

2. 求值域，先看可达范围再作外层变化

先把输入区间转换成相位或换元区间，按单调段找端点与内部峰谷，再处理负系数或二次式。每个候选端值都要说明允许的输入能否达到，最后确认中间值是否完整覆盖。

例题 03 负余弦在有限区间的范围

题目

函数 $f\left( x\right)=-\cos \left( x+\frac{\pi }{6}\right),x\in \left[ -\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$ 的值域为（）

A． $\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ B． $\left[ -\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right]$ C． $\left[ -1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ D． $\left[ -\frac{1}{2},1\right]$

答案与解析

解析

令 $u=x+\pi/6$ ，得 $u\in[-\pi/6,5\pi/6]$ 。余弦在 $[-\pi/6,0]$ 递增，在 $[0,5\pi/6]$ 递减；内部点0取到最大值1。左右端值分别为 $\sqrt3/2,-\sqrt3/2$ ，因此

\cos u\in[-\sqrt3/2,1],\qquad -\cos u\in[-1,\sqrt3/2].

最小值−1在 $x=-\pi/6$ 取得，最大值 $\sqrt3/2$ 在右端 $x=2\pi/3$ 取得，连续性保证中间各值也都达到。A、B、D均漏掉实际取得的−1，只有C正确。只代两个原端点会漏掉内部相位0。

本题结论

选C，值域为 $[-1,\sqrt3/2]$ 。

例题 04 统一三角量后的二次函数

题目

函数 $f\left( x\right)=2{\cos }^{2}x+3\cos \left( x-\frac{\pi }{2}\right)$ 在 $\left[ \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的值域为（）

A． $\left[ 3,4\right]$ B． $\left[ 3,\frac{3\sqrt{2}}{2}+1\right]$ C． $\left[ 3,\frac{25}{8}\right]$ D． $\left[ \frac{3\sqrt{2}}{2}+1,\frac{25}{8}\right]$

答案与解析

解析

由 $\cos(x-\pi/2)=\sin x$ 、 $\cos^2x=1-\sin^2x$ ，原式变为 $-2\sin^2x+3\sin x+2$ 。令 $t=\sin x$ ，由给定区间上正弦递增，得 $t\in[\sqrt2/2,1]$ ，不是任意 $[-1,1]$ 。

q(t)=-2t^2+3t+2=-2(t-3/4)^2+25/8.

$\sqrt2/2<3/4<1$ ，前一比较可平方成 $1/2<9/16$ ，所以顶点在允许范围内，最大值 $25/8$ 可取。两端值为 $q(\sqrt2/2)=1+3\sqrt2/2$ 、 $q(1)=3$ ；由 $\sqrt2>4/3$ ，左端值大于3，最小值为3。

换元范围由连续递增的正弦完整覆盖，故顶点与两端对应的值确实可取，原值域为 $[3,25/8]$ 。A的4达不到；B漏内部顶点；D误把左端值当最小值；C正确。

本题结论

选C，值域为 $[3,25/8]$ 。

3. 新定义题逐字转成条件，再回代边界

先列输入与运算顺序，核可定义性；全区间条件要对全部输入成立，不只代一个端点。算出参数或数值后再回到原定义，尤其检查非空区间、开闭端点、分母与量词。

对于函数 $f(x)$ ，在使 $f(x)\ge M$ 成立的所有常数 $M$ 中，我们把 $M$ 的最大值称为函数 $f(x)$ 的“下确界”.若函数 $f(x)=3\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3}\right)+1$ ， $x\in \left[ -\frac{\pi }{6},m\right)$ 的“下确界”为 $-\frac{1}{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A． $\left( -\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ B． $\left( -\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$ C． $\left( -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ D． $\left( -\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right)$

答案与解析

解析

区间先须非空，所以 $m>-\pi/6$ 。左端点在定义域内，且

f(-\pi/6)=3\cos(-2\pi/3)+1=-1/2.

故只要所有允许输入都满足 $f(x)\ge-1/2$ ，任何更大下界都会在左端失败，下确界就是−1/2。本题可以称为最小值，是因为确已取到，不是一般下确界都可取到。

解 $\cos(2x-\pi/3)\ge-1/2$ ，得

x\in[k\pi-\pi/6,k\pi+\pi/2],\quad k\in\mathbb Z.

给定区间从 $-\pi/6$ 连续向右延伸，不能越过后面的不允许区间再接下一支，所以须 $m\le\pi/2$ 。结合非空，得 $-\pi/6<m\le\pi/2$ 。

A正确。 $m=\pi/2$ 时原输入范围仍全部合格，且左端仍达下界，所以B误删此值。C、D允许 $m>\pi/2$ ，区间内便出现余弦小于−1/2的点；即使右端开口，也不能排掉内部禁区。

本题结论

选A， $m\in(-\pi/6,\pi/2]$ 。

例题 06 按指定公式计算正切平方平均

题目

对于集合 $A=\left\{ {\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{n}\right\}$ 和常数 ${\theta }_{0}$ ，定义： $\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n} {\tan }^{2}\left( {\theta }_{i}-{\theta }_{0}\right)$ 为集合 $A$ 相对 ${\theta }_{0}$ 的“正切方差”.若集合 $A=\left\{ \frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{6}\right\},{\theta }_{0}=\frac{\pi }{12}$ ，则 $\mu =$ （）

A． $\frac{2}{3}$ B．1 C． $\frac{5}{3}$ D．2

答案与解析

解析

题设给定参照角 $\theta_0=\pi/12$ ，不是要求另求平均角。共有3项，各差角及函数值如下：

原角	与参照角之差	正切	正切平方
$\pi/3$	$\pi/4$	$1$	$1$
$5\pi/12$	$\pi/3$	$\sqrt3$	$3$
$5\pi/6$	$3\pi/4$	$-1$	$1$

三差角余弦均非零，正切有定义。按规则平方后求和并除项数， $\mu=(1+3+1)/3=5/3$ ，选C；A的 $2/3$ 、B的1、D的2均不等于此平均。

第三项正切为负，只是在本题平方后负号消去；仍应先查象限和正切值，不应由此养成忽略符号的做法。名称虽有“方差”，运算仍按题干规定，不能改用普通统计方差。

本题结论

选C， $\mu=5/3$ 。