点、直线与椭圆的位置关系

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点的位置看标准式左边，直线的位置看联立后的实根；竖直方向与额外范围必须单独照顾。

一、知识点理解概念

对真椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ，记 $F(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2$ 。点 $Q$ 在椭圆上、内部、外部分别对应 $F(Q)=1,F(Q)<1,F(Q)>1$ 。

原因是可逆坐标缩放 $u=x/a,v=y/b$ 把椭圆变成单位圆 $u^2+v^2=1$ ，内外相应由到原点距离小于或大于 $1$ 判定。内部不等于在曲线上，题目说“在椭圆上”就必须取等号。

完整直线可能有两个不同交点、一个交点或无交点，分别称相交、相切、相离。“一个”按不同点计，不按代数根的重数计；相切不是无公共点。若对象是射线、线段或部分椭圆，必须另筛范围，不能直接把完整直线的交点数当最终结论。

将 $y=kx+d$ 代入标准式并乘正数 $a^2b^2$ ，得

(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kdx+a^2(d^2-b^2)=0.

二次项 $b^2+a^2k^2>0$ ，不会降成一次。每个实数根 $x$ 唯一对应线上点 $(x,kx+d)$ ，所以实根数就是交点数。判别式化为

\Delta=4a^2b^2(b^2+a^2k^2-d^2).

因此 $\Delta>0,=0,<0$ 分别对应两个、一个、零个不同实交点。 $\Delta=0$ 时二次式仅在顶点处为零，直线在该点接触椭圆而不穿过其内部，正是相切。

竖直直线 $x=h$ 不能用有限斜率表示。代入得 $y^2=b^2(1-h^2/a^2)$ ，所以 $|h|<a$ 有两点， $|h|=a$ 在一个顶点相切， $|h|>a$ 无点。水平直线 $y=h$ 同理比较 $|h|$ 与 $b$ ，也可取斜率 $0$ 。

若用 $P=P_0+t(u,v)$ ，要求方向 $(u,v)\ne(0,0)$ 。代入椭圆后的二次项为 $u^2/a^2+v^2/b^2>0$ ，且参数与线上点一一对应，可直接用关于 $t$ 的判别式，统一覆盖竖直线与水平线。

先核真椭圆、有效直线与原参数域。点就计算 $F(Q)$ ；直线选覆盖所需方向的方程，联立时写明二次项非零和根与点的一一对应。根据要求取 $\Delta>0,=0,<0$ ，解不等式时核所有乘除因子的符号，再与原范围取交集。相切端点与可能的方程退化要逐个检查；若还有限段或半椭圆限制，求根后继续筛选。

不要以坐标看起来小就判断，要代入规范化的左边。

点 $\left( 1,1\right)$ 与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$ 的位置关系为（）

A．点在椭圆上 B．点在椭圆内

C．点在椭圆外 D．不确定

答案与解析

代入得 $F(1,1)=1/25+1/9=34/225<1$ ，所以点在椭圆内部，选 B。它不满足等式，不能选“在椭圆上”；也不在外部，且条件足以确定，不存在不确定性。

“没有”意味着严格无实根，切线对应的等号必须排除。

若直线 $l$ ： $y=x+m$ 与椭圆 $C$ ： $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$ 没有公共点，则 $m$ 的取值范围为（）

A． $\left( -2,2\right)$ B． $\left( -\infty ,-2\right)\cup \left( 2,+\infty \right)$

C． $\left( -\sqrt{14},\sqrt{14}\right)$ D． $\left( -\infty ,-\sqrt{14}\right)\cup \left( \sqrt{14},+\infty \right)$

答案与解析

代入 $y=x+m$ 并乘 $45$ ，得 $5x^2+9(x+m)^2=45$ ，即

14x^2+18mx+9m^2-45=0.

二次项 $14>0$ ，一个实数根对应唯一的直线交点。没有公共点等价于

\Delta=(18m)^2-4\cdot14(9m^2-45)=2520-180m^2<0,

即 $m^2>14$ ，所以 $m<-\sqrt{14}$ 或 $m>\sqrt{14}$ ，选 D。

$m=\pm\sqrt{14}$ 时有一个切点，不可取。C 所列中间区间反而有两个不同交点；A 也是其中一部分；B 所列范围还混入了如 $m=3$ 这样的相交情形，阈值错误。