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外观

频率表的离散程度：精确取值与中点模型

约 1515 字大约 5 分钟

同样是频率加权，实际离散值可以精确计算，连续区间中点只能提供模型下的估计。

一、知识点 概念与依据

先辨信息类型

已给信息代表值 cjc_j计算性质
实际不同取值及次数真正取值精确描述该样本
连续分组区间及次数常取区间中点丢失组内具体值后的估计

频数先除总容量得到权重 pjp_j；若直方图纵轴为频率/组距，则 pj=hjdjp_j=h_jd_j。宽不同分别乘，端点须每观测只落一组，核 pj≥0p_j\ge0 且 ∑jpj=1\sum_jp_j=1。组距恰为1使柱高与频率数值相同，也不代表任何直方图都能直接读高作比例。

先均值后平方距离

μ=∑jpjcj,v=∑jpj(cj−μ)2=∑jpjcj2−μ2.\mu=\sum_jp_jc_j,\qquad v=\sum_jp_j(c_j-\mu)^2=\sum_jp_jc_j^2-\mu^2.

展开时，交叉项 −2μ∑jpjcj=−2μ2-2\mu\sum_jp_jc_j=-2\mu^2，常数项 μ2∑jpj=μ2\mu^2\sum_jp_j=\mu^2，才得后一式。频率权重已含除容量，不再除一次；不同频率的组中点也不直接等权平均。

标准差取 v≥0\sqrt v\ge0，同单位下比较 vv 即可比较标准差。vv 的单位是原变量单位平方，标准差回到原单位。离散真实值表给精确描述，连续分组给中点估计，不能一律称精确或一律称估计。

同组频率未确定原始离散

同一区间的实际值可能靠左、靠右或分散。中点替代将组内散布压到一个点，也可能改变真实均值；相同组频率可以对应不同实际平方偏差。没有额外信息，不能保证估计方差等于真实方差，也不能凭两个中点估计大小断定原始两组方差一定同样排序。

二、考点 方法与例题

五步频率计算

  1. 明确用实际值还是分组中点，后者写明模型。
  2. 频数除容量，密度乘本组宽，核非负与和1。
  3. 用同一权重先求中心 μ\mu。
  4. 围绕这个中心算加权平方距离，或用二阶矩减中心平方核算。
  5. 需要标准差时开非负根，说明单位、估计假设和精度，不把模型结果冒充原记录的精确统计量。

例题 01 两个班的阅读时长

题目

某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：h），绘制了下面频率分布直方图．根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为x1‾\overline{{x}_{1}}，x2‾\overline{{x}_{2}}，标准差分别为s1{s}_{1}，s2{s}_{2}，则（   ）

原资料配图    甲班频率分布直方图            乙班频率分布直方图

A．x1‾>x2‾\overline{{x}_{1}}>\overline{{x}_{2}}，s1>s2{s}_{1}>{s}_{2} B．x1‾<x2‾\overline{{x}_{1}}<\overline{{x}_{2}}，s1<s2{s}_{1}<{s}_{2}

C．x1‾=x2‾\overline{{x}_{1}}=\overline{{x}_{2}}，s1>s2{s}_{1}>{s}_{2} D．x1‾=x2‾\overline{{x}_{1}}=\overline{{x}_{2}}，s1<s2{s}_{1}<{s}_{2}

答案与解析

解析

组距均为1，柱高这次恰与组频率数值相同。按组中点模型列出：

中点（h）甲频率乙频率到3.5的平方距离
1.50.10.14
2.50.20.31
3.50.40.20
4.50.20.31
5.50.10.14

两列权重均和1，关于3.5对称，成对偏差抵消，估计均值都3.5 h。甲模型方差 4(0.1)+1(0.2)+0(0.4)+1(0.2)+4(0.1)=1.24(0.1)+1(0.2)+0(0.4)+1(0.2)+4(0.1)=1.2 h²；乙为 4(0.1)+1(0.3)+0(0.2)+1(0.3)+4(0.1)=1.44(0.1)+1(0.3)+0(0.2)+1(0.3)+4(0.1)=1.4 h²。标准差估计 1.2<1.4\sqrt{1.2}<\sqrt{1.4}，选D。A、B错判模型均值，C倒置模型离散方向。

直方图没有各人的实际组内时长，不能保证真实原样本均值恰相等，也不能保证真实方差的顺序。题前说“两个班”而后写“两校”，这里按两个班的图例理解，不扩大调查对象。

本题结论

按中点模型选D：均值估计相同，甲标准差估计较小

实际整数频率的对照

实际环数7、8、9的频率图给了逐值计数，与阅读时间区间不是同一种信息。完整题目和计算见射击环数频率题：每人10次，甲次数3、4、3，乙4、2、4，两均值精确为8，方差精确为0.6、0.8。所说精确限于本次样本，不是保证今后的成绩。

三、坑点 边界与纠错

频率已含分母

实际次数需除容量，已经给频率则不再除；直方图密度则先乘宽。三类数字名称不同，不能互换。组距1带来的数值巧合不取消读纵轴的步骤。

模型等式不等于原值等式

中点替代后可精确算模型的 μ,v\mu,v，但对原记录仍属估计。比较结论须带模型与样本范围，不能由区间占比推出所有实际离散细节。