比较隐含量：构造同一函数与补足图象依据

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未知量由指数、对数关系间接给出时，不一定需要先求小数近似。把完整表达式认成同一函数，证明它在所用区间严格单调，再由输出反推输入；跨函数比较则要另给可靠界，不能只看手画交点。

一、知识点概念与依据

1. 同构要看整个表达式

若原条件能改写为 $F(u)=A,F(v)=B$ ，或者目标能写成 $U=F(s),V=F(t)$ ，可用同一函数的严格方向比较。关键是表达式所有结构相同：指数底、系数、输入项、分母都要一致；不是两个式子“都含指数”就可记成同一个 $F$ 。

每次改写都说明来源并保留域：指数、对数互化要底正非1与真数正，分式分母须非零。给出包含全部所用输入的同一合法区间，不能只证一段方向，却把另一侧输入也放进结论。

2. 输出顺序反推输入，需要严格方向的依据

$F$ 严格递增时， $F(u)<F(v)$ 推出 $u<v$ ：若 $u=v$ 输出相等；若 $u>v$ 输出反而大，均矛盾。严格递减时输入顺序反过来。严格单调还能由相等输出推出相等输入；仅非减函数的相等输出则不保证输入相等，不能混用。

证明和函数单调，可任取 $p<q$ 比较各项再相加；两项都严格递增，和严格递增。取负倒数则先在同号非零支比较倒数，再取负。分子、分母分别递增不保证整个商递增，应重写整体或作差。

3. 中间输入给一条有依据的桥

若还需把隐含量 $u$ 与另一个量 $w$ 比较，可挑合法的中间输入 $c$ ，精确计算 $F(c)$ ，由输出比较得到 $u$ 与 $c$ 的关系；再用已学性质比较 $w$ 与 $c$ 。每段不等号都须说明依据，不能把三个数同在 $(0,1)$ 当成已经排序。

直接比较 $F(s),F(t)$ 时，先排序真实输入，再按整体函数方向排输出。数值检查能帮助发现抄反，但不能用少数小数点代替任意输入的单调性证明。

4. 示意图只压缩结论，不能制造结论

图上交点被画在右边，不自动证明其横坐标较大；“指数增长快”也未给定适用范围。应先把交点译回原等式、定义域与共同输出，再用可证不等式比较。

正指数输出等于某对数时，可用这个对数输出为正确定真数在1哪一侧；固定共同输出时，也可互化后比较输入。不同函数之间若确要比较值，应给明确适用区间的界，或证明差函数的符号。

题干已给某量满足方程时，可仅对这些给定解推理，不必追加未经证明的“唯一解”。若另要求存在唯一，则应分别核连续性、端点异号和严格单调；两条曲线都递减并不能推出它们的差单调，更不能仅据此断言交点个数。

5. 一个无需导数的指数与对数粗界

下面跨函数题需要对任意 $t>1$ 证明 $e^t>t>\ln t$ 。取整数 $n\ge1$ 使 $n\le t<n+1$ 。先证 $2^n\ge n+1$ ： $n=1$ 成立；若对 $n$ 成立，则 $2^{n+1}\ge2(n+1)\ge n+2$ ，所以逐个正整数都成立。

由 $e>2$ 得 $e^n>2^n\ge n+1$ ，因此

e^t\ge e^n>n+1>t.

另一方面 $t<n+1<e^n$ ，取递增自然对数得 $\ln t<n\le t$ 。这样两段严格关系都有明确范围与依据，不用未讲导数，也不是靠示意图猜两曲线上下。

二、考点方法与例题

1. 从整体表达式到同区间的完整大小链

写清每个输入和输出等式，检查自然域与所用分支。
证明整个函数在包含全部输入的同一区间严格单调。
按下表选比较方向；仍差一段时选合法的中间输入。
连成完整大小链，再检查所有选项，不把不同比例或不同底的式子硬凑成同一个函数。

已知结构	先比较什么	再得到什么
$F(u)=A,F(v)=B$	输出常数 $A,B$	由严格单调反推输入 $u,v$
$U=F(s),V=F(t)$	同一区间中的输入 $s,t$	按函数方向排列输出 $U,V$
还要比较第三个量	选合法的 $c$ 并计算 $F(c)$	逐段连接 $u,c,w$ ，每段都给理由

2. 从原等式定位区间，再用可靠界代替读图

先由正性、底数方向确定每个给定解的范围；随后合法互化或假设反向次序，利用对应范围内的界得矛盾。解答图保留在证明之后供核对，不让图的位置承担证明。选项核对需覆盖整个大小链。

例题 01 指数加输入的两个隐含方程

题目

已知实数 $a,b,c$ 满足 ${2}^{a}+a=2$ ， ${2}^{b}+b=\sqrt{5}$ ， $c={\log }_{16}3$ ，则（）

A． $c<a<b$ B． $a<b<c$ C． $a<c<b$ D． $b<c<a$

答案与解析

解析

构造 $F(t)=2^t+t$ ，自然域全部实数。任取 $u<v$ ，指数项与线性项均严格增加，相加得 $F(u)<F(v)$ ，故 $F$ 严格递增。

$F(a)=2<\sqrt5=F(b)$ 推出 $a<b$ 。又 $\sqrt2<3/2$ （两正数平方比较 $2<9/4$ ），所以

F(1/2)=\sqrt2+1/2<2=F(a),

得 $a>1/2$ 。底16递增， $3<4=16^{1/2}$ 给 $c=\log_{16}3<1/2$ 。连接为 $c<1/2<a<b$ ，选A。

B、D都写 $b<c$ ，与已证相反；C写 $a<c$ ，也相反。关键是整个 $2^t+t$ 的严格递增，而不是孤立看两式中的指数项。

本题结论

A，即 $c<a<b$ 。

例题 02 指数减倒数的三个输入

题目

已知 $a=e-1$ ， $b=\sqrt[3]{{e}^{4}}-\frac{3}{4}$ ， $c=\sqrt{\pi }-\frac{2}{\ln \pi }$ ，则（）

A． $b>c>a$ B． $a>c>b$

C． $b>a>c$ D． $c>b>a$

答案与解析

解析

设 $F(t)=e^t-1/t$ ，在 $t>0$ 上。任取 $0<u<v$ ， $e^u<e^v$ ；又 $1/u>1/v$ ，取负得 $-1/u<-1/v$ 。相加得到 $F$ 在同一正支严格递增。

三个数分别为

a=F(1),\qquad b=F(4/3),\qquad c=F(\ln\sqrt\pi).

第三个等式因为 $e^{\ln\sqrt\pi}=\sqrt\pi$ ，且 $1/\ln\sqrt\pi=2/\ln\pi$ ；第二区别只是 $\sqrt[3]{e^4}=e^{4/3}$ 。

由 $1<\pi<4<e^2$ ，得 $0<\ln\sqrt\pi<1<4/3$ ，所有输入在正支且分母非零。因此 $c<a<b$ ，选C。A错在 $c>a$ ，B与D都错在 $c>b$ 。不能省去非零分母与同一正支的说明。

本题结论

C，即 $b>a>c$ 。

例题 03 异底对数改成同一个商函数

题目

已知 $a={\log }_{\frac{2}{5}}\frac{1}{2},b={\log }_{\frac{3}{5}}\frac{3}{4},c={\log }_{\frac{6}{5}}\frac{3}{2}$ ，则（）

A． $a<b<c$ B． $c<b<a$ C． $b<a<c$ D． $a<c<b$

答案与解析

解析

先定位：底2/5、3/5在0与1之间，两个真数各在对应底与1之间，所以 $0<a,b<1$ ；底6/5大于1，真数3/2更大，故 $c>1$ 。还需比较 $a,b$ 。

换成常用对数，写 $a=F(2),b=F(3)$ ，其中

F(t)=\frac{\lg t-\lg4}{\lg t-\lg5}=1+\frac{\lg5-\lg4}{\lg t-\lg5}.

自然域 $t>0,t\ne5$ ，本题两个输入同在 $(0,5)$ 。该支分母随 $t$ 严格递增但始终负。若两个分母 $d_1<d_2<0$ ，则 $1/d_1-1/d_2=(d_2-d_1)/(d_1d_2)>0$ ，所以倒数反而递减；乘正常数 $\lg5-\lg4$ 并加1， $F$ 仍递减。

$2<3$ 得 $a>b$ ，接成 $b<a<c$ ，选C。A把 $a,b$ 反置，B与D都把 $c$ 排在 $b$ 以下，不合。没有根据跨过禁值5宣称整个自然域递减，也没用“分子分母都增”猜商方向。

本题结论

C，即 $b<a<c$ 。

例题 04 相同正输出下的两个输入

题目

若 $a{e}^{a}=b\ln b\left( a>0\right)$ ，则（）

A． $a<b$ B． $a=b$ C． $a>b$ D．无法确定

答案与解析

解析

$a>0$ 使 $ae^a>0$ 。 $\ln b$ 有意义先要求 $b>0$ ，再由 $b\ln b>0$ 得 $b>1$ 。

若 $a\le1$ ，立即 $a<b$ 。否则假设 $a\ge b>1$ ，正数乘法与指数保序给

ae^a\ge be^b.

由前面整数幂建立的界， $e^b>b>\ln b$ ，乘正数 $b$ 得 $be^b>b\ln b$ 。于是 $ae^a>b\ln b$ ，与原等式矛盾。因此只能 $a<b$ ，选A。B、C被 $a\ge b$ 的反证排除，D“不确定”也不成立。

原解设共同正值 $k=ae^a=b\ln b$ ，将方程画成 $e^a=k/a$ 与 $\ln b=k/b$ 的交点。这给直观，但仅说“由图可知”不构成数量证明；上面的不等式已补出适用范围和严格理由。

原资料示意图，仅用于核对已经证明的关系，不用绘图位置代替证明。

本题结论

A，即 $a<b$ 。

例题 05 三条指对关系中的区间与顺序

题目

已知 $a={\left( \frac{1}{2}\right)}^{a},{\left( \frac{1}{2}\right)}^{b}={\log }_{a}b,{a}^{c}={\log }_{\frac{1}{2}}c$ ，则实数 $a,b,c$ 的大小关系为（）

A． $a<b<c$ B． $a<c<b$

C． $c<b<a$ D． $c<a<b$

答案与解析

解析

$a$ 作对数底要求 $a>0,a\ne1$ ，又 $a=(1/2)^a$ 。若 $a\ge1$ ，右侧至多1/2而小于 $a$ ，矛盾，所以 $0<a<1$ 。

原解还可从 $F(t)=(1/2)^t-t$ 连续且严格递减、 $F(0)=1>0,F(1)=-1/2<0$ ，说明这条方程的唯一根位于 $(0,1)$ 。本题已经给出满足方程的 $a$ ，上述直接矛盾足以定位，不需要用示意图额外假定其存在。

$b$ 为真数须正。正数 $(1/2)^b=\log_ab$ 表明对数输出正，而 $0<a<1$ ，因此 $b<1$ 。同时 $b>0$ 给 $(1/2)^b<1=\log_aa$ ，于是

\log_ab<\log_aa\quad\Longrightarrow\quad b>a,

方向反转来自底小于1。

$c$ 为真数须正。 $\log_{1/2}c=a^c>0$ 给 $c<1$ ；由 $0<c<1$ 和 $0<a<1$ ，得到 $a^c>a^1=a$ 。互化并利用底1/2递减：

c=(1/2)^{a^c}<(1/2)^a=a.

综上 $c<a<b$ ，选D。A错在 $b<c$ ，B错在 $a<c$ ，C错在 $b<a$ 。两个原图仅作观察， $b,c$ 的范围已由真数条件与正输出推出，不借两条递减曲线的相对位置声称交点存在或唯一。

原资料示意图，仅用于核对已经证明的关系，不用绘图位置代替证明。

原资料示意图，仅用于核对已经证明的关系，不用绘图位置代替证明。

本题结论

D，即 $c<a<b$ 。