函数图像、导函数与二阶变化

约 3849 字大约 13 分钟

图上的高度取决于所画的对象：原函数图给函数值，导函数图给切线斜率。先识别对象，再比较割线、判断增减；二阶变化与拐点另核条件。

一、知识点概念与依据

1. 导函数的高度是原函数的斜率

记 $g=f^{\prime}$ ，则 $g(x)$ 是原曲线在该横坐标处有限切线的斜率，不是 $f(x)$ 的高度。 $g>0,=0,<0$ 分别给上倾、水平、下倾切线。在区间上可导且导数处处为正（负），足以判断原函数严格递增（减）；孤立的导数零点不自动破坏严格单调。

$g$ 增加意味着切线斜率增加，不意味着 $f$ 恒增；例如斜率可在负值范围内增加，原函数仍在下降。某点 $g=0$ 只给水平切线，极值须另查附近变化。

对称定义域上可导偶函数的导数为奇函数：对 $f(-x)=f(x)$ 求导得 $-f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x)$ 。奇函数同理导数为偶函数，不能遗漏内层 $-1$ 。

2. 割线夹在两端切线之间的条件

割线斜率是 $[f(b)-f(a)]/(b-a)$ ，仅当横距1时等于函数值差。拓展的拉格朗日中值定理说明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、 $(a,b)$ 可导，则存在 $c\in(a,b)$ 使

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c).

若导函数在 $[a,b]$ 严格增，割线斜率严格夹在 $f^{\prime}(a)$ 与 $f^{\prime}(b)$ 之间；严格减则反向。原函数只递增并不保证导函数递增。图像题以题给弯曲趋势作几何依据，不从示意图读取未标明的精确数值。

这也能说明切线怎样支撑曲线。设 $f$ 在区间 $I$ 上可导， $f^{\prime}$ 严格递增，固定内点 $c$ 。对任意 $x\in I$ 、 $x\ne c$ ，中值定理给出位于 $x,c$ 之间的 $\xi$ ，使

f(x)-f(c)=f^{\prime}(\xi)(x-c).

当 $x>c$ 时， $f^{\prime}(\xi)>f^{\prime}(c)$ ；乘回正数 $x-c$ ，不等号不变。
当 $x<c$ 时， $f^{\prime}(\xi)<f^{\prime}(c)$ ；乘回负数 $x-c$ ，不等号反向。

两侧都得到

f(x)>f(c)+f^{\prime}(c)(x-c),\qquad x\ne c.

因此除切点外，曲线都在该切线上方， $x=c$ 时取等。若导函数严格递减，两侧推理反向，曲线在切线下方。若只要求导函数非减或非增，相应结论改用非严格不等号。判断支撑关系依赖整个所论区间的条件，不能只看某一点的二阶导数符号。

3. 二阶导数与通常意义的拐点

这是拓展，考试可用。 $f^{\prime\prime}$ 是导函数再求导，不是导数平方。 $f^{\prime\prime}>0$ 使斜率增加，图像向上弯； $f^{\prime\prime}<0$ 使斜率减小，图像向下弯。不同资料的凹凸名称可能相反，应优先说清符号与弯曲方向。

通常拐点要求函数在点处连续、两侧凹凸发生转变。 $f^{\prime\prime}=0$ 只是候选；二阶导数不存在处也可能转变，须另证。第一导数变号判极值，第二导数变号在可判两侧凹凸的条件下判拐点，不能互换。

题干若明确规定“二阶导数0的点称拐点”，那是本题约定，不能推广。三阶导数存在且 $f^{\prime\prime}(c)=0,f^{\prime\prime\prime}(c)\ne0$ 时，二阶导数在该点以非零斜率穿过0，是常用的充分判据；没有满足此判据并不自动证明没有通常拐点，还须看凹凸。

4. 三次函数中心对称的恒等式

对 $f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$ ， $A\ne0$ ， $f^{\prime\prime}=6Ax+2B$ 的唯一根为 $t=-B/(3A)$ ，且左右变号。平移 $x=t+u$ ，二次项系数 $3At+B=0$ ，得到

f(t+u)=f(t)+Au^3+\left(C-\frac{B^2}{3A}\right)u.

除常数外是 $u$ 的奇函数，故 $f(t+u)+f(t-u)=2f(t)$ ，图像关于 $(t,f(t))$ 中心对称。此恒等式解释了三次结构，不能由任意函数的一个二阶零点直接推出中心对称。

配对求和须核自变量两端和 $2t$ ；奇数项要单留中心项，不能把“半个数目”当成实际配对数。

二、考点方法与例题

方法一：读对象、翻译斜率、逐项排图

先读标签是 $f$ 还是 $f^{\prime}$ ，不要把高度与斜率互换。
比较切线与割线时写出三个斜率，保留横距。用角度比较正切须在同一单调分支，不能跨 $\pi/2$ 盲排。
公式选导函数图先完整求导，再核定义域、奇偶、零点与特殊点符号。
只使用题设和图示支持的范围，不将局部趋势外推至全实轴。

例题 01 函数图像与三种斜率

题目

已知函数 $f\left( x\right)$ 的部分图象如图所示， ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 为 $f\left( x\right)$ 的导函数，则（）

A． $f\left( 1\right)-f\left( 0\right)>{f}^{\prime}\left( 1\right)>{f}^{\prime}\left( 0\right)$ B． ${f}^{\prime}\left( 1\right)>{f}^{\prime}\left( 0\right)>f\left( 1\right)-f\left( 0\right)$

C． ${f}^{\prime}\left( 0\right)>f\left( 1\right)-f\left( 0\right)>{f}^{\prime}\left( 1\right)$ D． ${f}^{\prime}\left( 1\right)>f\left( 1\right)-f\left( 0\right)>{f}^{\prime}\left( 0\right)$

答案与解析

解析

$f^{\prime}(0),f^{\prime}(1)$ 是端点切线斜率， $f(1)-f(0)$ 因横距1正是割线斜率。题图在 $[0,1]$ 向上弯，切线斜率增加，所以

f^{\prime}(0)<f(1)-f(0)<f^{\prime}(1).

选D。定理表述是中值定理给割线斜率 $f^{\prime}(c)$ ， $0<c<1$ ，再用导数严格增加夹逼。依据是图示斜率趋势，不只是 $f$ 的高度上升。

本题结论

D。

例题 02 切线与割线的排序

题目

函数 $f\left( x\right)$ 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）

A． $0<f^{\prime}\left( 1\right)<f^{\prime}\left( 2\right)<f\left( 2\right)-f\left( 1\right)$ B． $0<f^{\prime}\left( 2\right)<f\left( 2\right)-f\left( 1\right)<f^{\prime}\left( 1\right)$

C． $0<f^{\prime}\left( 2\right)<f^{\prime}\left( 1\right)<f\left( 2\right)-f\left( 1\right)$ D． $0<f\left( 2\right)-f\left( 1\right)<f^{\prime}\left( 1\right)<f^{\prime}\left( 2\right)$

答案与解析

解析

取 $A=(1,f(1)),B=(2,f(2))$ 。两端分别作切线，割线 $AB$ 的斜率为 $[f(2)-f(1)]/(2-1)=f(2)-f(1)$ 。

题图显示斜率均正且从1至2减小，故

0<f^{\prime}(2)<f(2)-f(1)<f^{\prime}(1).

选B。这里三条线倾斜角都在 $(0,\pi/2)$ ，正切严格增，角度比较亦成立；不能跨竖直方向照搬。所用是分别在A、B处的切线，不是任意经过这两点的直线。

本题结论

B。

例题 03 由导函数自身性质选择图像

题目

函数 $f\left( x\right)=x\sin x+\cos x$ 的导数 ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 的部分图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

答案与解析

解析

乘积与加法完整求导：

f^{\prime}(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x=g(x).

定义域为实数， $g(-x)=-g(x)$ ，是奇函数。A、C关于纵轴对称，排除；B在 $x=\pi$ 为正，而 $g(\pi)=-\pi<0$ ，排除。D同时满足奇对称、 $g(0)=0$ 和 $g(\pi)<0$ ，选D。原函数为偶函数，不意味导函数仍偶。

本题结论

D。

方法二：逐点核二阶变号，再使用三次结构

先分清题内定义与通常定义。列全部合法二阶零点及必要的二阶不可导候选，核两侧凹凸。参数题令 $h=f^{\prime\prime}$ ，再研究 $h^{\prime}$ 、实际最值与两端趋势，证明每个候选是否变号。三次求和另证平移恒等式，再数配对和中心项。三幅参数示意图不能替代完整分类证明。

给出定义：设 ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 是函数 $y=f\left( x\right)$ 的导函数， ${f}^{\prime\prime}\left( x\right)$ 是函数 $y={f}^{\prime}\left( x\right)$ 的导函数，若方程 ${f}^{\prime\prime}\left( x\right)=0$ 有实数解 $x={x}_{0}$ ，则称 $\left( {x}_{0},f\left( {x}_{0}\right)\right)$ 为函数 $y=f\left( x\right)$ 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 $f\left( x\right)=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d\left( a\ne 0\right)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y=f\left( x\right)$ 的图像的对称中心，若函数 $f\left( x\right)={x}^{3}-3{x}^{2}$ ，则 $f\left( \frac{1}{2021}\right)+f\left( \frac{2}{2021}\right)+f\left( \frac{3}{2021}\right)+\cdot \cdot \cdot +f\left( \frac{4040}{2021}\right)+f\left( \frac{4041}{2021}\right)=$ （）

A．8082 B．2021 C．-8082 D．-2023

答案与解析

解析

本题给出的命名规则是 $f^{\prime\prime}=0$ 。对 $f=x^3-3x^2$ ， $f^{\prime\prime}=6x-6$ ，根为1且变号， $f(1)=-2$ 。直接展开 $f(1+u)=-2-3u+u^3$ ，所以 $f(1-u)+f(1+u)=-4$ 。

共有4041项，第 $j$ 项与第 $4042-j$ 项自变量和为2，函数值和 $-4$ 。共2020对，另有第2021项 $f(1)=-2$ ，总和

2020(-4)-2=-8082.

选C。不能称有 $4041/2$ 对；这个分数乘法虽可得到同一数值，却没有说明奇数中项如何处理。

本题结论

C， $-8082$ 。

例题 05 拐点候选与指数参数分类

题目

设函数 $f(x)$ 的导函数为 ${f}^{\prime}\left( x\right)$ ， ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 的导函数为 ${f}^{\prime\prime}\left( x\right)$ ， ${f}^{\prime\prime}\left( x\right)$ 的导函数为 ${f}^{\prime\prime\prime}\left( x\right)$ ．若 ${f}^{\prime\prime}\left( {x}_{0}\right)=0$ ，且 ${f}^{\prime\prime\prime}\left( {x}_{0}\right)\ne 0$ ，则点 $\left( {x}_{0},f\left( {x}_{0}\right)\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点．

(1)已知函数 $f(x)=\frac{3}{5}{x}^{5}+{x}^{4}$ ，求曲线 $y=f(x)$ 的拐点；

(2)已知函数 $g(x)={e}^{x}-\frac{1}{6}a{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}$ ，讨论曲线 $y=g(x)$ 的拐点个数．

答案与解析

解析

（1） $f^{\prime}=3x^4+4x^3$ ， $f^{\prime\prime}=12x^2(x+1)$ ， $f^{\prime\prime\prime}=36x^2+24x$ 。二阶零点为0、 $-1$ 。在0两侧二阶导数均正，无凹凸转变；在 $-1$ 两侧变号，且三阶值12非0。 $f(-1)=2/5$ ，唯一拐点 $(-1,2/5)$ 。

（2）记 $h=g^{\prime\prime}=e^x-ax-1$ ， $h^{\prime}=e^x-a$ ，固定根 $h(0)=0$ 。逐类证明如下。

$a\le0$ ： $h^{\prime}>0$ ， $h$ 严格增，唯一根0且穿过0， $h^{\prime}(0)=1-a>0$ ，恰有1个拐点 $(0,1)$ 。图示为负斜率的代表； $a=0$ 则是水平线，也已由同一导数证明覆盖。

$a=1$ ： $h=e^x-x-1$ 在0左减右增，最低值0，仅在0为0且两侧为正，没有凹凸转变，所以0个拐点。这不是只凭三阶导数0就排除。

$a>0,a\ne1$ ： $h$ 在 $\ln a$ 左减右增，最低值 $K(a)=a-a\ln a-1$ 。 $K^{\prime}=-\ln a$ ，故 $K$ 在1左增右减且 $K(1)=0$ ，所以此时严格负。 $x\to-\infty$ 时因 $a>0$ ， $h\to+\infty$ ； $x\to+\infty$ 时指数占优，仍趋向 $+\infty$ 。两支连续严格单调，各恰一根；两根都不在最低点，故 $h^{\prime}\ne0$ ，各自变号，恰有2个拐点。其中一个是 $(0,1)$ 。

两根的非0斜率也符合题给三阶判据。因此全部参数已覆盖，二阶零点数不能在相切分支直接当作拐点数。

本题结论

（1） $(-1,2/5)$ ；（2） $a\le0$ 时1个， $a=1$ 时0个， $a>0,a\ne1$ 时2个。