命题、量词与否定

约 5262 字大约 18 分钟

先分清一句话是否作了明确判断，再辨它对哪些对象、多少对象提出要求。量词决定证明需要什么证据，否定则要完整描述原判断失败的情形，而不是把每个符号机械反转。

一、知识点概念与依据

1. 可判真假，不等于已经知道真假

在对象、范围和语境明确后，能判断真假的陈述句称为命题。正确的叫真命题，错误的叫假命题，二者都算命题。尚未查明一个客观事实，不等于这个事实没有真假。

“ $-1<2$ ”为真；“方程 $x^2-1=0$ 有一个根为 $0$ ”为假，因为代入 $0$ 得 $-1\ne0$ ，但仍是命题。“三角形的内角和等于 $180^\circ$ ”在平面欧氏几何语境中是真命题；“3 是偶数吗？”是问句。“请计算结果”是要求行动的命令，不作真假断言。只有“高二年级的学生”这个对象名称，没有断言；“有最小的质数吗？”在提问，也没有陈述真假。“数学真有趣”“今天天气好热”在本题语境中表达感受，未给客观判断标准。

“上海的空气质量越来越好”若未说明时间、指标与比较方式，语义尚未固定。不能仅以“没有空气数据”判它不是命题；限定明确后，即使我们暂不知道事实，它仍可有真假。

2. 自由变量、条件与省略量词

通常用 $p,q$ 给命题或条件命名， $P(x)$ 表示真假依赖于对象 $x$ 的性质，不是一个固定数。孤立的 $x>2$ 或 $x>3$ 未指定 $x$ ，也未说明对全部还是某个 $x$ 断言，只是一个带自由变量的条件。不是“不等式一律不能成为命题”：指定 $x=4$ 后可判，或加上明确量词后也可判。

教材中的 $a^2+1>0\ (a\in\mathbb R)$ 常补读成“对任意实数 $a$ 都成立”。此时由 $a^2\ge0$ 得 $a^2+1\ge1>0$ ，是真命题。必须说明这一语境约定，不能将“写了实数范围”在形式上直接等同于“已经写了全称量词”，更不能临时给自由变量代一个方便的数来改变原题。

本手册自然数集含 $0$ ，所以“ $0$ 是自然数”和双重否定“ $0$ 不可能不是自然数”均为真。 $91=7\times13$ ，故“ $91$ 不是素数”也真。“素数都是奇数”具有完整判断，却被偶素数 $2$ 反驳，是假命题，不能在命题计数中删除。

3. 全称与存在：类型先于真假

\forall x\in M,\ P(x)\qquad\exists x\in M,\ P(x).

前者要求 $M$ 内每一个对象满足性质，后者要求至少一个对象满足，不要求唯一。量词与范围要一起读取，参数则保持参数身份。“任意、所有、每个”通常是全称，“存在、有的、有一个”通常是存在。

“偶数的平方是偶数”省略了“所有”，仍是全称。任取整数 $k$ ， $(2k)^2=2(2k^2)$ 且 $2k^2\in\mathbb Z$ ，证明覆盖全部偶数。“存在一个菱形的四条边不相等”虽然为假，仍是存在命题；“有一个数不能作除数”用 $0$ 作见证；“有一个偶数是素数”用 $2$ 作见证。存在不等于“只有一个”。 $\exists x\in\mathbb R,x^2>\sqrt2$ 也是存在命题，取 $x=2$ 时 $4>\sqrt2$ ，给出了真命题的见证。 $\forall x\in\mathbb R,\lvert x\rvert+1\ge1$ 是全称真命题，由绝对值非负直接得到；“任意一个无理数的平方仍无理”也是全称，但被 $\sqrt2$ 反驳。

“所有能被 $3$ 整除的整数都是奇数”被 $6$ 反驳，类型仍是全称。“每个四边形的顶点都在同一圆上”也是全称，是否为真是另一问题。“有的三角形是等边三角形”是存在；“任意两个等边三角形都相似”检查每一对图形，是全称，出现“两个”不使它变成存在。

$\forall x,y\in\mathbb R$ 检查所有实数配对，不能只固定一个变量后试另一个。混合量词还要看后一个对象是否依赖前一个：例如“每个实数 $x$ 都能另选一个比它大的 $y$ ”与“先选同一个实数 $y$ ，让它比所有 $x$ 都大”不同，不能随意交换顺序。

4. 四种真假要求，四种证据

要说明什么	需要的证据	什么不够
全称真	任取合法对象证明；有限范围也可穷尽	只试几个都成功
全称假	一个范围内却失败的反例	范围外的反例
存在真	一个范围内且满足性质的见证	只给数而不验范围
存在假	排除全部可能见证	试了几个没找到

反驳“每个无理数的平方都无理”，用 $\sqrt2$ 就够：其平方为有理数 $2$ ；这不证明“所有无理数的平方都有理”。见证和反例都必须满足分母、根号及几何非退化等合法条件。

当 $M=\varnothing$ ，存在命题为假，因为没有见证；全称命题为真，因为没有违反性质的成员。因此全称真不能无条件推出存在真，另需 $M\ne\varnothing$ 。含参范围在空集、单点、非退化区间之间变化时，量词定义不变。

5. 否定：换量词，留范围，反性质

命题 $p$ 的否定 $\neg p$ 表示 $p$ 不成立。在同一合法语境中二者恰一真一假。

\neg(\forall x\in M,P(x))\iff\exists x\in M,\neg P(x),

\neg(\exists x\in M,P(x))\iff\forall x\in M,\neg P(x).

第一式两向：若不是每个都通过，就有一个失败者；若有一个失败者，每个都通过便不成立。第二式两向：找不到任何满足者，即每个都失败；每个都失败，也就没有满足者。空范围时两式仍成立，不会自动添加“范围非空”。

原性质	直接否定
$u>v$	$u\le v$
$u\ge v$	$u<v$
$u=v$	$u\ne v$
$u\in A$	$u\notin A$

$x>1$ 若是量词范围，否定后仍留 $x>1$ ；量词后的 $x^2-m>1$ 才改成 $x^2-m\le1$ 。 $m$ 仍是原参数，不额外变号。 $x_0$ 仅是见证的名字，换名不改变性质。

分母非零、实数根号等合法条件若属于对象范围，取否定时也保留。无意义的式子不是一个“假性质”，不能拿零分母作否定见证。原资料步骤曾在已将存在改全称后又说把“存在”改“没有”，容易重复否定量词；应换量词一次，再只否定内层性质。

6. 且、或与多层“都”的否定

“且”要两项都真，“或”只需至少一项真，允许两项都真。“恰有一个真”才排除两真。

$p$	$q$	$p$ 且 $q$	$p$ 或 $q$	恰一真
真	真	真	真	假
真	假	假	真	真
假	真	假	真	真
假	假	假	假	假

两项同时成立失败，只需至少一项失败；至少一项成立失败，则必须两项都失败。因此

\neg(p\land q)\iff(\neg p)\lor(\neg q),\qquad \neg(p\lor q)\iff(\neg p)\land(\neg q).

“并非全真”包括两假及两种一真一假；“恰一真”为假包括两真、两假。不能把这些说法混同。数值短例： $5>2$ 且 $7>8$ 为假， $3>4$ 或 $3<4$ 为真， $9\le7$ 为假； $x^2-3x+4=0$ 的判别式为 $9-16=-7$ ，所以“有实根”为假。

“所有三角形的三个内角都是锐角”有两层全称。整体否定是：存在一个三角形，其中至少一个内角不是锐角。后层角属于前层选定的三角形，不能改变依赖对象。

二、考点方法与例题

1. 先读所问标准，再逐句核对象与证据

问“是不是命题”时不删假命题；问“哪句是真命题”时才继续验真。量词类型与真假分别判断，数对或图形配对保留完整范围。

例题 01 假命题也进入命题计数

题目

有下列语句，其中是命题的个数为（）

（1）数学真有趣

（2）0是自然数

（3） ${a}^{2}+1>0\left( a\in R\right)$

（4） $x>3$

（5）素数都是奇数.

A．2 B．3 C．4 D．5

答案与解析

解析

（1）“有趣”在此仅表达主观感受，未给明确数学判断。（2）本手册自然数含 $0$ ，为真命题。（3）按教材省略全称的语境，指任意实数 $a$ ，由 $a^2+1\ge1>0$ 得真命题。（4） $x$ 未指定，也没有量词，只是条件。（5）对所有素数断言，属于命题； $2$ 是偶素数，说明它是假命题。

因此命题为（2）（3）（5）共三个。A 少计；C、D 多计了缺少明确判断或量词的句子。不是因为（3）“计算正确”才成为命题，而是先有明确断言，随后证明它真。

本题结论

B，3 个。

例题 02 对全部实数配对作判断

题目

将 ${x}^{2}+{y}^{2}\ge 2xy$ 改写成全称命题，下列说法正确的是（）

A． $\forall x, y\in R$ ，都有 ${x}^{2}+{y}^{2}\ge 2xy$

B． $\exists x,y\le R$ ，都有 ${x}^{2}+{y}^{2}\ge 2xy$

C． $\exists x>0, y>0$ ，都有 ${x}^{2}+{y}^{2}\ge 2xy$

D． $\exists x>0, y>0$ ，都有 ${x}^{2}+{y}^{2}\le 2xy$

答案与解析

解析

A 明确对所有实数配对保留原性质，符合要求。其真实性也可另证： $(x-y)^2\ge0$ ，展开并移项即 $x^2+y^2\ge2xy$ ，不需要 $x,y$ 为正。

B、C、D 都使用存在量词，不能作为全称改写。B 的原选项还将范围写为 $x,y\le R$ ，数与数集不能这样作大小比较；原题文字保留，不能静默改写成另一选项。C、D 缩成正数范围，D 还改变原不等号。

原解析起始式误写 $2xy^2$ ，后面恢复 $2xy$ ；应始终保留原题 $2xy$ ，不能让转写笔误改变待证性质。

本题结论

A。

例题 03 反例、奇偶性与合法无理数见证

题目

下列命题中为真命题的是（）

A． $\forall x\in R,{x}^{2}>0$ B． $\exists x,y\in Z,2x+4y=3$

C． $\forall a>b,{a}^{2}>{b}^{2}$ D． $\exists a\in {∁}_{R}Q,{a}^{3}\in Q$

答案与解析

解析

A 为假：实数 $x=0$ 使平方等于 $0$ ，反驳严格正。C 为假： $a=0,b=-2$ 满足 $a>b$ ，但 $a^2=0<4=b^2$ 。

B 为假需要排除全部整数配对，而非只试数。整数 $x,y$ 保证 $x+2y$ 为整数，故 $2x+4y=2(x+2y)$ 总为偶数，不可能等于 $3$ 。

D 取 $a=\sqrt[3]2$ ，则 $a^3=2\in\mathbb Q$ 。还须证明 $a$ 无理，才是合法见证。若 $a=p/q$ 为互素正整数表示的最简分数，则 $p^3=2q^3$ ，所以 $p$ 偶，写 $p=2r$ ；代入得 $q^3=4r^3$ ，故 $q$ 也偶，与互素矛盾。因此 $a\notin\mathbb Q$ ，D 为真。

这里用一个数证明存在成立，却用覆盖全部整数的奇偶理由证明另一存在不成立，证据要求不同。

本题结论

D。

2. 标出量词、范围与性质，再独立判断否定真假

先按结构写否定，再按题意判断真假。原命题若真，正确否定必假；“选否定”不是“选真命题”。多小问逐问保留范围，不只处理最显眼的一问。

例题 04 参数不变，范围也不取反

题目

命题 $\forall x>1,{x}^{2}-m>1$ 的否定是（）

A． $\exists x>1,{x}^{2}-m\le 1$ B． $\exists x\le 1,{x}^{2}-m\le 1$

C． $\forall x>1,{x}^{2}-m\le 1$ D． $\forall x\le 1,{x}^{2}-m\le 1$

答案与解析

解析

原句结构为：量词 $\forall$ ；范围 $x>1$ ；性质 $x^2-m>1$ 。否定为 $\exists x>1,x^2-m\le1$ ，所以 A 正确。

B 改了范围，C 未换量词，D 两处都错。等号也让原严格大于失败，必须收入。参数 $m$ 没有被量词选取，否定时既不改成 $-m$ ，也不擅自增加参数范围。

同法， $\forall x\in\mathbb R,x^2>x+1$ 的否定为 $\exists x_0\in\mathbb R,x_0^2\le x_0+1$ ；见证改叫 $x_0$ 不改变含义，若只写严格小于就漏了等号。

本题结论

A。

例题 05 直接否定不等于猜一个真陈述

题目

命题“ $\exists x\in R,{x}^{2}+x+2=0$ ”的否定是（）

A． $\exists x\in R,{x}^{2}+x+2\ne 0$ B． $\exists x\in R,{x}^{2}+x+2>0$

C． $\forall x\in R,{x}^{2}+x+2\ne 0$ D． $\forall x\in R,{x}^{2}+x+2=0$

答案与解析

解析

存在实数使等式成立的否定是：全部实数都不使等式成立，即 $\forall x\in\mathbb R,x^2+x+2\ne0$ ，选 C。

A 仍只声称某个输入不为零，不能排除别的输入为零。B 同样保留存在量词，又将不为零加强为正。D 只换量词未反性质。

若另验真假，可配方：

x^2+x+2=\left(x+\frac12\right)^2+\frac74\ge\frac74>0.

因此原命题假、否定真。对这个表达式，“处处大于零”也确实成立，但依赖额外正性证明，不能将等式的直接否定普遍写成“大于零”。

相反， $\exists x\in[0,+\infty),x^2+x\le0$ 由 $x=0$ 证真，其正确否定 $\forall x\in[0,+\infty),x^2+x>0$ 为假，仍是正确的否定形式；不能为选真而改成 $\ge0$ 。

本题结论

C。

例题 06 整数分式、配方与两层全称

题目

写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假：

(1) $\exists n\in {N}^{\ast }$ ， $\frac{1}{n}\in {N}^{\ast }$ ；

(2) $\forall x\in R$ ， ${x}^{2}+x+1>0$ ；

(3)所有三角形的三个内角都是锐角.

答案与解析

解析

（1）否定为 $\forall n\in\mathbb N^*,1/n\notin\mathbb N^*$ ，是假命题。合法反例 $n=1$ 给 $1/n=1\in\mathbb N^*$ 。原范围已经保证分母非零，否定后不加入 $0$ 。

（2）否定为 $\exists x\in\mathbb R,x^2+x+1\le0$ ，是假命题。对全部实数有

x^2+x+1=x^2+x+\frac14+\frac34=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0,

所以排除了所有可能见证，不能只靠试几个数。

（3）否定为“存在一个三角形，至少一个内角不是锐角”，是真命题；任一直角三角形的直角就是见证。不能改为“三个内角都不是锐角”，后者要求内角和至少 $270^\circ$ ，与非退化三角形的 $180^\circ$ 矛盾。

本题结论

（1）假；（2）假；（3）真。各完整否定如上。

例题 07 五种范围下的否定与证明

题目

写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：

(1) $p:\forall x\in R,{x}^{2}\ge -1$ ；

(2) $q:\forall x\in \{2,3,4,5\},\frac{1}{x}<x$ ；

(3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形．

(4) $\forall x\in R,\left| x\right|+2-x\ne 0$ ，

(5) $\forall x\in [-2,3),{x}^{2}<9$

答案与解析

解析

（1）否定为 $\exists x\in\mathbb R,x^2<-1$ ，假。实数平方非负，排除全部见证。

（2）否定为 $\exists x\in\{2,3,4,5\},1/x\ge x$ ，假。四个成员均满足 $x>1$ ，同乘正数 $x$ 后，原不等式 $1/x<x$ 等价于 $1<x^2$ ，四者都成立。

（3）否定为“所有直角三角形都是等腰三角形”，假。边长 $3,4,5$ 满足三角形不等式且 $3^2+4^2=5^2$ ，为非退化直角三角形；三边不同，故不是等腰，构成合法反例。

（4）否定为 $\exists x\in\mathbb R,\lvert x\rvert+2-x=0$ ，假。 $x\ge0$ 时 $\lvert x\rvert=x$ ； $x<0$ 时 $\lvert x\rvert=-x>x$ ，因此全部实数都满足 $\lvert x\rvert-x+2\ge2>0$ 。

（5）否定为 $\exists x\in[-2,3),x^2\ge9$ ，假。平方至少 $9$ 要求 $x\le-3$ 或 $x\ge3$ ，两支都与原范围无交集。原全称严格小于 $9$ 为真，并非因为它有一个小于 $9$ 的最大值。这个范围实际上没有最大平方值，见下方坑点。

本题结论

五个否定均为假；完整形式与各自证据如上。

y=\frac{\lvert x\rvert+3}{2}.

因 $\lvert x\rvert<3$ ，有 $\lvert x\rvert<y<3$ 且 $y\ge3/2>-2$ ，所以 $y$ 仍合法。由

y^2-x^2=(y-\lvert x\rvert)(y+\lvert x\rvert)>0,

任何已取到的平方都能再增大，因此没有最大值。全称判断检查所有实际输入，存在判断要求真实见证，两者都不能偷偷使用范围外端点。