检验前提与后续抽样：三层条件分开

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公式有定义、参考分布可近似、结论可推广，是三个问题；后续抽样另按自己的机制建模。

知识点

能算、能近似、能推广

层次	要检查的条件	不能用什么替代
四格公式有定义	四个行列边际都正	不必要求每个观察格都正
卡方参考分布可用	合理随机抽样设计、观察单位依赖结构、足够大的期望格	只因能算出一个数就承诺名义风险
结论向总体推广	选样范围、代表性及必要总体权重	只因样本量大或两组一样多就认为代表全体

四格 $a,b,c,d$ 、总数 $n$ ，独立模型下拟合期望为“行合计×列合计/ $n$ ”。四边际正使期望格都正，但不保证它们足够大；整个一行或一列为0，则缺少该变量两类比较，常用闭式无定义，不能靠删掉单格解决。

近似来自抽样波动，不只是公式

参考卡方分布是在 $H_0$ 下对抽样波动的近似。重复记录、成团或时间相关的观察单位可能改变波动规模；很小的期望格会使离散计数分布与连续近似差异较大。四个观察格全正，也不代表期望格足够大。

通常需要独立随机观察单位，或足以支持相应近似的设计。有限总体不放回抽样本来不严格逐个独立，抽样比例不可忽略时须考虑设计影响；不能把每个课内“随机抽取”都伪称已满足严格独立。

题目给公式和表，可以按题完成计算并写“按题给近似检验”；若前提未核，名义显著性水平不自动成为实际严格误拒风险。不在条件不足时强套结论或凭空另造替代算法。

抽样范围与权重

随机抽样有助于代表性，不等于随机分配处理的因果试验；观察关联仍可能受共同背景影响，也不自动向未来外推。

固定从两组各取同样人数，不代表总体两组也各占一半。若估总体合并比例，应按实际总体组权重加权，不能无条件把等额样本的合并比例当无误差总体概率。样本描述、固定名单抽取的精确概率和总体概率估计，必须分别注明研究对象。

同一对象的分类与两次抽取

$H_0$ 讨论同一学生的性别与成绩、同一消费者的年龄与意向。后续 $A_1,A_2$ 是第1、第2次抽中目标，是否满足 $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$ ，由后续随机机制决定，不由是否拒绝前半的 $H_0$ 决定。

后续机制	概率处理
固定名单等可能取1人	目标人数/名单总数，精确有限模型
同一固定总体独立抽取并放回	组成不变且结果独立，可用同一 $p$ 的乘积
不放回抽取	跟踪组成变化，用组合或条件概率
用样本频率替未知总体概率	标为估计结果，不冒称精确总体值

放回本身只保持组成，不排除人为依前次结果选人；独立随机机制才给乘积理由。每小问重定范围、条件和放回与否，不能用分类变量的独立代替抽样独立。

考点

计算前后核六项

观察单位成对且分类互斥穷尽，核频数和边际。
写研究总体与 $H_0$ ，算期望格，不仅看观察格。
查随机性、重复记录、成团、时间依赖与抽样比例。
按题给公式表完成计算，再区分近似决策与实际风险保证。
外推时核代表性与总体组权重，不推因果。
后续抽样另建模型，区分放回、不放回与估计概率。

例题 01 钢索分组与二分类检验

题目

（2025·陕西·模拟预测）某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现从 $A,B$ 机器内随机选取了40组（ $A,B$ 各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表：

米数组别	0～20	21～50	51～80	81～100	$>100$
A	1	2	3	8	6
B	0	3	7	8	2

米数超过 $80 cm$ 被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”．

(1)利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过 $100 cm$ 的概率；

(2)根据题意完成下面的 $2\times 2$ 列联表，并据此判断能否有 $90\%$ 的把握认为“评定类型”与“组别”有关？

	优质	备选	总计
A
B
总计

附： ${χ}^{2}=\frac{n{\left( ad-bc\right)}^{2}}{\left( a+b\right)\left( c+d\right)\left( a+c\right)\left( b+d\right)}$ ，其中 $n=a+b+c+d$ ．

$P\left( {χ}^{2}\ge k\right)$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

答案与解析

解析

（1）按原表超过100的样本数为 $6+2=8$ ，合并样本频率 $8/40=1/5$ 。按原题的样本估计口径报告 $1/5$ ，但A、B固定各抽20组，整个工厂的两机器权重未知。若A的总体占比为 $w$ ，用两组频率估计合并概率应为

w\frac6{20}+(1-w)\frac2{20}=0.1+0.2w.

只有等权 $w=1/2$ 或其他已满足相应代表性条件时，该口径给0.2；题未给权重，不能把1/5当已知真实工厂概率。

（2）按题给“超过80”，将81～100和>100两组并为优质。A优质 $8+6=14$ 、备选 $1+2+3=6$ ；B优质 $8+2=10$ 、备选 $0+3+7=10$ 。

机器	优质	备选	总计
A	14	6	20
B	10	10	20
总计	24	16	40

令 $H_0$ 为总体评定类型与机器组别独立。期望两行均为 $(12,8)$ ，且

\chi^2=\frac{40(14\times10-6\times10)^2}{20\times20\times24\times16}=\frac53\approx1.667<2.706.

按 $\alpha=0.1$ 不拒绝 $H_0$ ，即没有题称“90%的把握”认为有关。不能把未拒绝改写为“零假设已成立、证明无关”；数据只是证据不足。

原题标题称“米数”，阈值却写cm，单位措辞混用，不能自行猜改为一个已经核验的工程标准。0～20、21～50等分组可按题给整数记录理解；若实际连续测量，则20到21等间隙需另补明确边界。本题仅合并原表已给的计数，不让未知或未分类数据悄悄消失。

本题结论

（1）按题给等额样本口径 $1/5$ ，总体权重另核；（2） $\chi^2=5/3$ ，不拒绝独立

例题 02 购车意向检验与两阶段抽样

题目

为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍．

(1)完善 $2\times 2$ 列联表，请根据小概率值 $\alpha =0.05$ 的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；

年龄段	购车意向
	愿意购买新能源车	愿意购买燃油车
青年
中老年
合计

(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数 $X$ 的分布列和期望．

附： ${χ}^{2}=\frac{n{\left( ad-bc\right)}^{2}}{\left( a+b\right)\left( c+d\right)\left( a+c\right)\left( b+d\right)}$ ， $n=a+b+c+d$ ．

$\alpha$	0.05	0.01	0.001
${x}_{\alpha }$	3.841	6.635	10.828

答案与解析

解析

（1）青年125人，新能源:燃油为4:1，分别 $125\times4/5=100$ 、25。中老年 $200-125=75$ 人，2:1给50、25。

年龄段	新能源	燃油	合计
青年	100	25	125
中老年	50	25	75
合计	150	50	200

令 $H_0$ 为所研究消费者总体中购车意向与年龄类别独立。按题给公式，

\chi^2=\frac{200(100\times25-25\times50)^2}{125\times75\times150\times50}=\frac{40}{9}\approx4.444>3.841.

在给定0.05水平按题给规则拒绝独立，得到关联证据。原题仅称问卷调查200人，未明示随机样本；外推总体须核调查代表性，不能由检验得出年龄导致偏好。

（2）范围换成愿买新能源的150人，不是全部200人。青年100、中老年50，按题意作比例分层抽6人，固定分配4名青年、2名中老年。若采用不等比例分配，须另给分配方案，不能仍默认4和2。

再从这固定6人等可能不放回取2人，总组合 $\binom62=15$ ，青年数 $X$ 的取值为0、1、2：

$X$	0	1	2
有利组合数	$\binom22=1$	$\binom41\binom21=8$	$\binom42=6$
$P(X)$	$1/15$	$8/15$	$2/5$

概率和为 $(1+8+6)/15=1$ ，

E(X)=0\cdot\frac1{15}+1\cdot\frac8{15}+2\cdot\frac25=\frac43.

两青年概率也可用 $(4/6)(3/5)=2/5$ ，不能用 $(4/6)^2$ ，因为不放回后组成改变。前半拒绝年龄与意向独立，不改变后半固定名单的组合规则。

本题结论

（1）按题给0.05水平拒绝独立；（2）分布 $1/15,8/15,2/5$ ，期望 $4/3$