值域不是“算出的两个界之间所有数”的自动填空。每个结论都须说明输出不会越界，也说明所写集合里的每个数确有合法输入。本章把常用代数方法连成这两项检查，不依赖尚未建立的连续性或导数。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 值域要求两方向都成立

函数的值域为 $R_f=\{f(x)\mid x\in D_f\}$，是全部合法输入的实际输出；目标集只要求容纳这些输出，不一定被取遍。输入范围先确定，不能把定义域的端点、字母或括号照抄成值域。

声称值域为 $S$，须同时证明：任何合法 $x$ 都有 $f(x)\in S$；任意 $y\in S$ 都存在合法 $x$ 使 $f(x)=y$。第一项排除额外输出，第二项排除内部缺口。有限输入逐项代入后去重，不能在离散输出间补实数。

最大值、最小值是实际取到的输出。一个上界或下界即使可无限接近，没有合法输入取等也不是最值。已有最大最小值仍不能自动断言中间全有，例如只在 $\{0,2\}$ 上的 $f(x)=x$ 只有两个输出。

2. 配方既查顶点，又查允许距离

由完全平方公式，$ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）。平方非负决定全实数上的界，但只有 $h$ 是合法输入才能取到顶点值 $k$。输入受区间、删点或离散条件限制时，先求实际距离 $|x-h|$，再平方，不能扩大成任意实数输入。

例如 $(x-2)^2+2$ 在 $[1,5]$ 上，距离可取遍 $[0,3]$。任意 $0\le u\le3$ 取 $x=2+u\in[2,5]$，便证明可达；因此平方部分取遍 $[0,9]$。只算原两端会漏掉内部的最小值。原端点删去时，还要看同一输出是否有另一个合法输入，不能只删对应输出。

3. 换元须同时恢复全部新变量

令 $t=u(x)$，先求真实集合 $T$ 并证明取遍，再把原目标恒等改写为 $F(t)$。每个原输入产生一个 $T$ 中的新量；每个 $T$ 中的新量又有原输入见证，所以在 $T$ 上研究 $F$ 才与原值域相同。

根号换元保留非负条件；平方或多次换元逐层写范围及回解。平方前辨两边符号，退回原等式时不能随意选正负。不同原输入产生同一新量并不妨碍求值域，只要目标已真正化为同一 $F(t)$。

若新量只能在顶点一侧，配方顶点值不属于原题。指数、对数换元也要遵守相同逻辑，但另需其合法性与取遍范围，不能预用尚未讲的性质。

4. 相反目标与同一换元结构

原练习 $f(x)=\sqrt{x-1}-2x$，先有 $x\ge1$。令 $t=\sqrt{x-1}\ge0$，逆向 $x=t^2+1$，则

$$f=t-2(t^2+1)=-2(t-\tfrac14)^2-\tfrac{15}8.$$

$t=1/4$ 合法，对应原输入 $x=17/16$，确取最大值 $-15/8$。任意 $y\le-15/8$，取 $t=1/4+\sqrt{-(y+15/8)/2}$，再回代 $x=t^2+1$，得到该 $y$。故值域 $(-\infty,-15/8]$。

原候选上界 $-5/2$、$-2$ 太低而漏值，$-7/4$ 太高而多值；只有 $-15/8$ 正确。这与下方例05第（2）问是整式相反数的同一换元结构，保留方向反转与原输入取等检查，不另重复一张题卡。

5. 分离常数前后都保留分母范围

若分子能写成 $A d(x)+c$，则在原分母非零处

$$\frac{A d(x)+c}{d(x)}=A+\frac c{d(x)}.$$

须逐项核恒等；余项仍含变量时，不是单一常数倍倒数，不能强套本式的范围。$c=0$ 得常函数，但原分母禁值仍在；$c\ne0$ 时永远不取输出 $A$。

若分母确实取遍 $[d_0,+\infty)$ 且 $d_0>0$，倒数取遍 $(0,1/d_0]$。一方面 $0<1/d\le1/d_0$；另一方面任取该范围内的 $r$，令 $d=1/r\ge d_0$，再找实现这个分母的原输入。有限非零分母不可能产生倒数零。

对 $0<d_1<d_2$，$1/d_1-1/d_2=(d_2-d_1)/(d_1d_2)>0$，所以两端大小交换。乘负 $c$ 再反向，开闭随实际是否取到而变，不只交换数字。负分母在同一负段也有此差号，但含正负两段时须分别映射，不能跨禁值零拼成一段。

6. 把输出是否可达改写为输入方程

固定一个待检验输出 $y$，从 $f(x)=y$ 解合法输入。这时 $y$ 是参数，未知数仍是 $x$。分式去分母必须在原禁值之外等价进行；得到

$$A(y)x^2+B(y)x+C(y)=0$$

后，先分类 $A(y)=0$：若 $B(y)\ne0$ 是一次方程；若 $B(y)=0$，常数为零则恒等，否则无解。真二次分支才用 $\Delta=B^2-4AC\ge0$。

原域是全实数且分母处处非零时，实根就是合法输入，判别式可以给充要条件。另有输入区间或禁值时，还须至少一个根通过它们；不能只凭实根就认定输出可达。重根只提供一个输入也足够，值域没有要求两个不同输入。

7. 分段与参数问题仍以“实际输出”统领

分段时分别求各段在自己范围上的完整输出，再取并集；一个输出被任意一段产生即可。两段端点之间有无缺口须实际验证，不凭图线看似相接。参数变动时先查降次、域改变与取等点是否合法；只有部分输入的关系，不能补造其余输入上的值。

完整范围反求条件与输入选择继续区分值域包含、值域相等、完整自然定义域和人为选择的定义域。

二、考点 方法与例题

方法一：范围、变形、取等、取遍四项连写

先写自然域及题设限制。按结构选有限代入、配方、根式换元或分离常数；每次替换保留新范围。先得到全体输出的界，再找取等输入。最后任取目标反解并回代，确认内部不漏、边界不多。

方法二：输出方程先降次，后判根合法

设 $f(x)=y$，在分母非零前提下逐项移项。把使最高次项消失的 $y$ 单独检查，再处理真二次的判别式与根的原限制。并入合法退化输出，端点用原输入验证，区分“存在一个输入”与“每个输入都满足”。

例题 01 有限输入、根式、平方与分式

题目

求下列函数的值域：

(1)$y=2x+1$，$x\in \left\{ 1,2,3,4,5\right\}$；

(2)$y=\sqrt{x}+1$；

(3)$y={x}^{2}-4x+6$，$x\in [1,5]$；

(4)$y=\frac{3x+2}{x-1}$．

答案与解析

解析

（1）有限输入直接列出。 代入 $1,2,3,4,5$ 得 $3,5,7,9,11$，故值域为 $\{3,5,7,9,11\}$，不是 $[3,11]$；如 $4$ 没有来源。

（2）先定域，再反解。 $x\ge0$，故 $\sqrt x+1\ge1$，$x=0$ 取等。任意 $y\ge1$ 取 $x=(y-1)^2\ge0$，因 $y-1\ge0$，回代输出就是 $y$，值域 $[1,+\infty)$。

（3）保留原区间配方。 $x^2-4x+6=(x-2)^2+2$，$x\in[1,5]$ 时 $x-2\in[-1,3]$。平方在 $[0,9]$；任意 $s\in[0,9]$ 取 $x=2+\sqrt s\in[2,5]$，使平方为 $s$，所以取遍。值域为 $[2,11]$，最小值在 $x=2$，最大值在 $x=5$。$x=1$ 仅给 $3$，只比两端不足。

（4）保留禁值分离。 $x\ne1$，$3x+2=3(x-1)+5$，故 $y=3+5/(x-1)\ne3$。反之对任意 $y\ne3$，取 $x=1+5/(y-3)$，它不等于 $1$，代回给目标。因此所有其他实数都可取，值域 $\mathbb R\setminus\{3\}$。不能把“不会等于3”单独当作“其他数全可取”的证明。

本题结论

（1）$\{3,5,7,9,11\}$；（2）$[1,+\infty)$；（3）$[2,11]$；（4）$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$。

例题 02 根式换元后的允许范围

题目

函数$y=1-x+\sqrt{1-2x}$的值域为（    ）

A．$\left( -\infty ,\frac{1}{2}\right]$ B．$\left[ 0,+\infty \right)$ C．$\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$ D．$\left( \frac{1}{2},+\infty \right)$

答案与解析

解析

原根式要求 $x\le1/2$。令 $t=\sqrt{1-2x}\ge0$，则 $x=(1-t^2)/2$；每个 $t\ge0$ 都给这样一个合法原输入，故新范围恰为 $[0,+\infty)$。

$$y=1-\frac{1-t^2}{2}+t=\frac{t^2+2t+1}{2}=\frac{(t+1)^2}{2}.$$

$t+1\ge1$ 给 $y\ge1/2$，$t=0$ 即 $x=1/2$ 取等。不能使用扩展式的顶点 $t=-1$ 得 $0$，因为该新输入不允许。

对任意 $y\ge1/2$ 取 $t=\sqrt{2y}-1\ge0$，再取上述 $x$，回代确为目标，完整值域 $[1/2,+\infty)$。A 多收较小值并漏大值；B 多收 $[0,1/2)$；D 漏掉可达下端。选 C。

本题结论

C，值域为 $[1/2,+\infty)$。

例题 03 两个新变量与根号和

题目

函数$f(x)=\sqrt{2x-{x}^{2}}-\sqrt{x}-\sqrt{2-x}$的值域为（    ）

A．$[-\sqrt{2},-1]$ B．$[\sqrt{2},2]$ C．$[-\sqrt{2},2]$ D．$[-\frac{3}{2},-\sqrt{2}]$

答案与解析

解析

三个根号同时要求 $2x-x^2\ge0,x\ge0,2-x\ge0$，交为 $[0,2]$。令

$$q=\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}\in[0,1].$$

任取 $q\in[0,1]$，取 $x=1-\sqrt{1-q^2}\in[0,1]$ 可还原，故取遍。不能直接拆并根号；先算

$$(\sqrt x+\sqrt{2-x})^2=2+2\sqrt{x(2-x)}=2+2q.$$

左侧原和非负，因此 $\sqrt x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2+2q}$，原输出为 $q-\sqrt{2+2q}$。再令 $w=\sqrt{1+q}\in[1,\sqrt2]$，逆向 $q=w^2-1$，该范围也取遍。

$$f=w^2-\sqrt2\,w-1=(w-\tfrac{\sqrt2}{2})^2-\tfrac32.$$

顶点 $\sqrt2/2<1$ 不允许。对 $1\le u<v\le\sqrt2$，两输出之差为 $(v-u)(u+v-\sqrt2)>0$，所以在允许范围内随输入增大而增大；端值为 $-\sqrt2,-1$。前者 $q=0$ 对应 $x=0$ 或 $2$；后者 $q=1$ 对应 $x=1$，均合法。

还须确认内部取遍。对 $y\in[-\sqrt2,-1]$，取 $w=\sqrt2/2+\sqrt{y+3/2}\in[1,\sqrt2]$，再取 $q=w^2-1$、$x=1-\sqrt{1-q^2}$，逐层回代得到该 $y$。

A 完整；B 全为不可能的正数；C 多收 $-1$ 以上；D 错把不允许顶点的 $-3/2$ 收入，又漏掉 $-1$。选 A。

本题结论

A，值域为 $[-\sqrt2,-1]$。

例题 04 二次分母与倒数范围

题目

函数$y=\frac{3{x}^{2}-3x+4}{{x}^{2}-x+1}$的值域为（    ）

A．$\left( -\infty ,\frac{13}{3}\right]$ B．$\left( 3,\frac{13}{3}\right]$ C．$\left( 0,\frac{13}{3}\right]$ D．$\left[ 3,\frac{13}{3}\right]$

答案与解析

解析

分母 $d=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0$，原域为全部实数；任意 $d\ge3/4$ 取 $x=1/2+\sqrt{d-3/4}$，故分母取遍 $[3/4,+\infty)$。

分子确为 $3(x^2-x+1)+1$，所以 $y=3+1/d$。由正倒数范围得到 $0<1/d\le4/3$，即 $3<y\le13/3$。上端在 $x=1/2$ 实际取得；有限分母倒数永不为零，下端 $3$ 不能取得。

对任意 $3<y\le13/3$，令

$$x=\frac12+\sqrt{\frac1{y-3}-\frac34}.$$

根号非负，代回分母为 $1/(y-3)$，输出恰为 $y$，取遍已证。A 多收 $3$ 及更小值，C 多收 $(0,3]$，D 多收 $3$；B 正确。$13/3$ 是最大值，$3$ 不是最小值。

本题结论

B，值域为 $(3,13/3]$。

例题 05 三种结构与输出方程

题目

求下列函数的值域：

(1)$y=\frac{2x+1}{x-3}$；

(2)$y=2x-\sqrt{x-1}$

(3)$y=\frac{2{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x+1}$

答案与解析

解析

（1）一次分式。 原域 $x\ne3$，$2x+1=2(x-3)+7$，故 $y=2+7/(x-3)\ne2$。任意 $y\ne2$ 取 $x=3+7/(y-2)\ne3$，回代成立，完整值域为 $\mathbb R\setminus\{2\}$。

（2）根式换元。 原域 $x\ge1$，令 $t=\sqrt{x-1}\ge0$，逆向 $x=t^2+1$，新量取遍非负实数。逐步配方：

$$y=2(t^2+1)-t=2(t^2-\tfrac12t)+2=2(t-\tfrac14)^2+\tfrac{15}8.$$

$t=1/4$ 在范围内，原 $x=17/16$，确取最小 $15/8$。任意 $y\ge15/8$ 取 $t=1/4+\sqrt{(y-15/8)/2}\ge0$，再回 $x$，便可取到。因此值域 $[15/8,+\infty)$。

原解析图的横轴明确为新变量 $t$；顶点横坐标 $1/4$ 不是原输入 $x$，纵坐标为 $15/8$。图只辅助理解，范围结论已由配方与反解证明。

（3）固定输出，检查合法实根。 分母 $x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0$，所有实输入合法。等式依次为

$$y(x^2+x+1)=2x^2-x+2,$$

$$yx^2+yx+y-2x^2+x-2=0,$$

$$(y-2)x^2+(y+1)x+(y-2)=0.$$

先看 $y=2$，变成 $3x=0$，输入 $x=0$ 合法且原输出为 $2$。$y\ne2$ 时才是二次式，实根存在当且仅当

$$\begin{aligned} \Delta&=(y+1)^2-4(y-2)^2\\ &=y^2+2y+1-4y^2+16y-16\\ &=-3y^2+18y-15=3(5-y)(y-1)\ge0, \end{aligned}$$

即 $1\le y\le5$。这些实根在本题全部合法，回代即实现目标。并入退化输出 $2$，完整值域 $[1,5]$。

端点 $y=1$ 给 $-(x-1)^2=0$，输入 $1$；$y=5$ 给 $3(x+1)^2=0$，输入 $-1$。重根合法，所以两端都收入。原解“恒有实数根”在这里应读为“对当前被检验的输出，存在至少一个输入”，不是对所有实数输出都成立，更不是任意输入都解方程。

本题结论

（1）$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$；（2）$[15/8,+\infty)$；（3）$[1,5]$。

三、坑点 辨析与纠错

1. 扩大新变量范围，会制造原题不存在的最值

错误常不在配方，而在“平方项可取零”这一句。须给顶点属于新范围的依据，再回解原输入。例02顶点在范围外，例05第（2）问在范围内，例03两层换元后的顶点又在范围外；不能凭二次式外观一概取顶点。

2. 界与完整输出集合不是同一份结论

倒数非零只排一个值，并没证明其他值都可达；上下界只排外部，也没排内部缺口。反解目标、逐层回代或已证明的取遍关系，才补足另一方向。最值必须给合法取等输入，无穷远不是输入。

3. 判别式前后都必须检查原条件

最高次系数为零，先处理退化；有实根后再查禁值和原区间。若变形把分母零点变成解，只是方程有根，不是函数有该输出。合法重根则不能因“只有一个根”删除。目标 $y$ 的允许范围是计算结果，不是起步时假定全部实数输出都成立。

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