从解集恢复二次式与整数计数

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完整解集不仅告诉哪些数合格，还能反过来确定零点、系数比例与开口方向。恢复二次式后，再求新解集或数整数；每个有限边界和参数端点都必须有来源，不能凭区间形状猜系数或复制括号。

一、知识点概念与依据

1. 只有完整符号解集的分界才直接提供零点

设实际二次式 $P(x)=Ax^2+Bx+C$ ， $A\ne0$ 。两个不同实根把数轴分为三段，因子符号在各开放段内固定；因此，若已知在全实数上的完整正负解集出现两个不同有限分界 $r<s$ ，它们就是零点。

如果只知道若干点合格，或已将解集与某个指定区间相交，看到的边界可能只是原范围端点，不能全部当根。全实数、空集、单点解集也不提供两个不同有限根，不能硬套两根恢复法。

先移项：原式 $Ax^2+Bx+C\le d$ 对应 $P=Ax^2+Bx+(C-d)$ ，要对这个实际多项式找根与系数。原一次项若写作 $-bx$ ，实际一次系数是 $-b$ 。

2. 根给比例，符号给方向，额外数值给尺度

零点为 $r<s$ 时写

P(x)=A(x-r)(x-s)=Ax^2-A(r+s)x+Ars.

所以 $B=-A(r+s),C=Ars$ ，或 $B/A=-(r+s),C/A=rs$ 。内外哪一段为正或负决定 $A$ 的符号，却一般不决定其大小。只有给了某个非零系数数值、函数值或其他条件，才能定出尺度。

例如 $x^2+bx+c\le1$ 的完整解集为 $[-3/2,2]$ ，移项后首项固定为 $1$ ，有

x^2+bx+c-1=(x+3/2)(x-2)=x^2-\frac12x-3.

故 $b=-1/2,c=-2$ ， $b+c=-5/2$ 。若把常数读成 $c$ 而非 $c-1$ ，会错一整项。两端代原式恰为 $1$ ，中间 $x=0$ 给 $-2\le1$ ，可以复核解集；不是随意把一般首项改成 $1$ 。

“不在 $P<0$ 的解集”只说明 $P\ge0$ ，不能直接说 $P>0$ 。要严格正，需再排除零点，或直接代因子得到正积。求另一个系数重新排列的式子时，须展开新式、重认新根及首项，不能照搬原解集。

3. 双边筛选为何可能挖掉中间

真正向上二次式配成 $f(x)=a(x-h)^2+v$ ， $a>0$ ，最小值 $v$ 在 $x=h$ 取得。设 $L<U$ ，且 $L\le f(x)\le U$ 的完整解集是非退化闭区间 $[r,s]$ ， $r<s$ 。

若 $v>U$ ，无解；若 $v=U$ ，只剩一点，都不符合题设。因此 $v<U$ 。若 $v<L$ ，令

\rho=\sqrt{\frac{L-v}{a}},\qquad \sigma=\sqrt{\frac{U-v}{a}},\qquad 0<\rho<\sigma.

上下界同时要求 $\rho\le\lvert x-h\rvert\le\sigma$ ，解为

[h-\sigma,h-\rho]\cup[h+\rho,h+\sigma],

两段均非空且中间有缺口，不可能是单个连续区间。所以必有 $v\ge L$ ，下界不再删点，实际只剩 $f\le U$ 。

此时完整端点来自上水平值 $U$ ：

f(x)-U=a(x-r)(x-s),\quad b=-a(r+s),\quad c=U+ars.

轴为 $h=(r+s)/2$ ，代入得

v=U-\frac{a(s-r)^2}{4}\ge L \iff 0<a\le\frac{4(U-L)}{(s-r)^2}.

右端参数允许，因为顶点恰等于下界 $L$ 仍符合非严格比较； $a=0$ 不是真二次式。反向核验也完整：区间内因子积非正给 $f\le U$ ，最低值给 $f\ge L$ ；区间外因子积正给 $f>U$ ，确实没有别的合格点。

这些结论限定向上、双边非严格、完整单个非退化闭区间。向下、两段、单点、严格边界均须重判，不能把端点自动代入上界或下界。

4. 先解实数区间，再看相邻整数的收入与排除

“恰有 $N$ 个整数解”限制的是未知数 $x$ ，不自动使参数也为整数。先解完整实数不等式，若有不等式组或指定范围，先取交集再计数；未被截断的无界区间有无限多个整数。

若已确定最后应收的整数为 $k$ ，对右端 $U$ ：

右端形式	收入 $k$	排除下一整数 $k+1$
右端开	$k<U$	$U\le k+1$
右端闭	$k\le U$	$U<k+1$

左端同理：开左端 $L$ 收入 $k$ 需 $L<k$ ，排除前一个 $k-1$ 需 $k-1\le L$ ；闭左端收入需 $L\le k$ ，排除前一个需 $k-1<L$ 。这些是成员判断，不是照搬参数括号。

例如正参数 $a>0$ 时， $(2x+1)(x-a)<0$ 解为 $(-1/2,a)$ 。恰三个整数应为 $0,1,2$ ，要求 $2<a$ 且 $a\le3$ ，所以 $a\in(2,3]$ 。 $a=2$ 只有两个整数； $a=3$ 仍只有三个，虽原实数区间两端开，参数右端却闭。题设已知 $a>0$ ，不必额外保留负参数根序分支。

5. 两端都移动时，明确第一个与最后一个整数

$\lfloor t\rfloor$ 是不超过 $t$ 的最大整数， $\lceil t\rceil$ 是不小于 $t$ 的最小整数。它们只是方便计数的记号，仍可直接列整数。

边界	对应允许整数
左端 $L$ 闭	第一个为 $\lceil L\rceil$
左端 $L$ 开	第一个为 $\lfloor L\rfloor+1$
右端 $U$ 闭	最后一个为 $\lfloor U\rfloor$
右端 $U$ 开	最后一个为 $\lceil U\rceil-1$

若第一个为 $p$ 、最后一个为 $q$ ，则个数是 $\max\{0,q-p+1\}$ 。分离区间分别计数后相加；重合部分或共享端点不能重复计。孤立点仅在它是合法整数时贡献 $1$ ；原禁值若是刚计入的整数，再扣掉一次。

$N=0$ 时应要求没有任何合法整数，不能沿用“第 $N$ 个必须收入”的说法。每支的计数条件先与原参数范围、根序分支取交，不同分支最后取并。有限代入只用来复核临界点，整段答案由“应收与相邻排除”保证。

6. 共同题设固定的函数继续有效，量词阈值不自动继承

若共同给定完整解集已唯一确定二次式，后面每问仍用同一个函数，应保留恢复出的系数。若一问额外要求“所有点”而求得阈值范围，另一问改为“存在一点”，前一个阈值答案不成为后问条件。需要继承的是共同对象，不是前问独立要求的所有结果。

二、考点方法与例题

1. 从完整边界恢复原式，再重新判断新式

先查完整性和右端移项，再确定两根、首项方向与尺度。用展开或韦达恢复系数关系；若目标更换系数位置，重新因式分解求解，并逐项检查严格正是否真已排除零点。

例题 01 内外符号与新式系数重新排列

题目

已知不等式 $a{x}^{2}+bx+c<0$ 的解集为 $\{x\mid x<-1$ 或 $x>3\}$ ，则下列结论正确的是（）

A． $a>0$

B． $c<0$

C． $a+b+c>0$

D． $c{x}^{2}-bx+a<0$ 的解集为 $\left\{ x\left| -1<x<\frac{1}{3}\right.\right\}$

答案与解析

解析

原完整负值解集在 $-1,3$ 两侧，故 $a<0$ ，且

f(x)=a(x+1)(x-3)=ax^2-2ax-3a.

得到 $b=-2a,c=-3a$ ，因此 A 的 $a>0$ 错，B 的 $c<0$ 错，实际 $b,c>0$ 。

C： $a+b+c=f(1)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a>0$ ，正确。原解仅以 $1$ 不在负值解集就写严格正，缺少排零依据；直接代因式证明了 $1$ 不是零点且函数值严格正。

D：新式不能沿用原两根，代系数得

cx^2-bx+a=-3ax^2+2ax+a=-a(3x+1)(x-1).

因为 $-a>0$ ，要求该式负等价于 $(3x+1)(x-1)<0$ ，解为 $(-1/3,1)$ ，不是选项的 $(-1,1/3)$ 。

本题结论

C；新式负值解集为 $(-1/3,1)$ 。

2. 根序、整数端点和公共条件一并核验

先按参数求实数解集，列出最靠近固定端点的整数；要求最后一个收入、相邻一个排除。若实数解集有两段，应检查另一段是否开始收整数，不能只盯一侧。原题多小问的共同系数限制也必须保留。

例题 02 两种根序都可能贡献整数

题目

已知关于 $x$ 的不等式 ${x}^{2}-\left( a+1\right)x+a<0$ 恰有四个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A． $\left( 5,6\right]$ B． $\left[ -4,-3\right)$

C． $\left[ -4,-3\right)\cup \left( 5,6\right]$ D． $\left( -4,-3\right]\cup \left[ 5,6\right)$

答案与解析

解析

分解 $x^2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)$ 。 $a=1$ 时平方严格负无解，不能有四个整数。

$a>1$ 时解 $(1,a)$ ，从左端之后的整数依次为 $2,3,4,5,6$ 。恰四个需 $5$ 在内、 $6$ 在外，即 $5<a\le6$ 。

$a<1$ 时解 $(a,1)$ ，从右端向左依次为 $0,-1,-2,-3,-4$ 。恰四个需 $-3$ 在内、 $-4$ 在外，即 $-4\le a<-3$ 。

合并为 $[-4,-3)\cup(5,6]$ 。A 漏负侧，B 漏正侧，D 四个端点开闭都颠倒。代 $a=5,6,-4,-3$ 分别得到 $3,4,4,3$ 个整数，与边界一致。

本题结论

C， $[-4,-3)\cup(5,6]$ 。

例题 03 双边恢复、根序分类与七个整数

题目

已知函数 $f(x)=a{x}^{2}+bx+c(a>0)$ ，关于 $x$ 不等式 $1\le f(x)\le 2$ 的解集为 $\{x\mid 1\le x\le 2\}$ .

(1)解关于 $x$ 的不等式 $a{x}^{2}+(b-1)x+3<0$ ；

(2)关于 $x$ 的不等式 $a{x}^{2}+(b-5)x-2c-1\le 0$ 有且仅有7个整数解，求 $a$ 的取值范围．

答案与解析

解析

先使用共同题设恢复函数。向上二次式的最小值若低于 $1$ ，满足 $1\le f\le2$ 的范围会分为中间有缺口的两段；最小值若等于或高于 $2$ ，只有一点或无解。完整解集为 $[1,2]$ ，故最小值在 $[1,2)$ ，下界不删点， $f\le2$ 的端点为 $1,2$ 。

所以 $f-2=a(x-1)(x-2)$ ，得 $b=-3a,c=2a+2$ 。轴 $3/2$ 处的最小值为 $2-a/4$ ，由 $2-a/4\ge1$ 和 $a>0$ 得共同条件 $0<a\le4$ 。

反向也核验：对这些参数，区间内 $f\le2$ 且全域 $f\ge1$ ；区间外 $a(x-1)(x-2)>0$ 使 $f>2$ ，确实是完整解集。

（1）代入后

ax^2+(b-1)x+3=a(x-3)(x-1/a).

除正 $a$ 后需乘积负。 $0<a<1/3$ 时 $3<1/a$ ，解 $(3,1/a)$ ； $a=1/3$ 时正平方严格负，无解； $1/3<a\le4$ 时解 $(1/a,3)$ 。各分支仍保留共同范围 $0<a\le4$ 。

（2）代入另一目标，逐项得

ax^2+(b-5)x-2c-1=ax^2-(3a+5)x-4a-5 =a(x+1)(x-4-5/a).

由于 $a>0$ 且 $4+5/a>-1$ ，非正解集是 $[-1,4+5/a]$ 。恰七个整数应为 $-1,0,1,2,3,4,5$ ，故

5\le4+5/a<6\iff 5/2<a\le5.

再与共同条件 $0<a\le4$ 取交，得到 $5/2<a\le4$ 。 $a=5/2$ 会收入整数 $6$ ，共有八个，故排除； $a=4$ 上端为 $5.25$ ，恰七个，故收入。不能因为实数区间闭，就把两个参数端点也都闭。

本题结论

（1） $0<a<1/3$ ： $(3,1/a)$ ； $a=1/3$ ： $\varnothing$ ； $1/3<a\le4$ ： $(1/a,3)$ 。（2） $5/2<a\le4$ 。

例题 04 不等式组先取交，另一侧也要排整数

题目

已知关于x的不等式组

\left\{ \begin{aligned}{x}^{2}-2x-8>0\\2{x}^{2}+\left( 2k+7\right)x+7k<0\end{aligned}\right.

仅有一个整数解，则k的取值范围为（）

A． $\left[ -5,3\right)$ B． $\left[ 2,3\right)$

C． $\left[ 2,3\right)\cup \left[ 4,5\right)$ D． $\left[ -5,3\right)\cup \left( 4,5\right]$

答案与解析

解析

第一条 $(x-4)(x+2)>0$ ，解 $x<-2$ 或 $x>4$ 。第二条 $(2x+7)(x+k)<0$ ，解在 $-7/2,-k$ 两根之间，根不收入。

$k=7/2$ 时第二条为正平方严格负，空集，不符合。

$k>7/2$ 时第二条解 $(-k,-7/2)$ ，已全在第一条左支。最靠右的可能整数为 $-4$ ，要收入它而排除 $-5$ ，需 $-k<-4$ 且 $-k\ge-5$ ，即 $4<k\le5$ 。

$k<7/2$ 时第二条解 $(-7/2,-k)$ 。取交后左支唯一可能的整数为 $-3$ ，收入需 $-k>-3$ ；右支最先可能收入 $5$ ，排除需 $-k\le5$ 。合起来为 $-5\le k<3$ 。中间的 $0,1,2,3,4$ 即使在第二条范围内，也被第一条删去。若 $-3$ 都没收入，右支更不可能有整数；若 $k<-5$ ，则 $-3,5$ 至少两个同时收入。

并集是 $[-5,3)\cup(4,5]$ 。A 漏 $(4,5]$ ；B 漏 $[-5,2)$ 和 $(4,5]$ ；C 漏 $[-5,2)$ ，错收 $k=4$ 、漏 $k=5$ ；D 完整。直接代 $k=-5,3,4,5$ ，整数个数依次为 $1,0,0,1$ ，对应唯一整数分别在合格两端为 $-3,-4$ 。

本题结论

D， $[-5,3)\cup(4,5]$ 。

3. 用恢复出的同一函数区分全称与存在

共同解集恢复的函数保持不变；每一小问重新看量词。全称要求最难通过的点也通过，存在只需找到有利点。先用配方的距离或直接作差证明区间中的大小顺序，再给实际端点见证。

例题 05 共同函数固定，两个阈值分别求

题目

已知关于 $x$ 的不等式 $a{x}^{2}-3x+6>0$ 的解集为 $\{x|-2<x<1\}$ ．

(1)求实数 $a$ 的值；

(2) $\forall x\in \{x|1\le x\le 3\}$ ，都有 $a{x}^{2}-3x+6\ge t$ ，求实数 $t$ 的取值范围

(3)若存在实数 $x\in \{x|1\le x\le 3\}$ ，使不等式 $a{x}^{2}-3x+6\ge t$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围．

答案与解析

解析

（1）完整正值区域是 $(-2,1)$ ，首项负，两零点为 $-2,1$ 。根和 $3/a=-1$ 得 $a=-3$ ，根积 $6/a=-2$ 也一致。函数被共同条件固定为 $F=-3x^2-3x+6=-3(x+2)(x-1)$ 。

（2）在 $[1,3]$ 上，任取 $1\le u<v\le3$ ，

F(v)-F(u)=-3(v-u)(u+v+1)<0,

所以 $F$ 随自变量增大而减小，最小值 $F(3)=-30$ 。全称 $F(x)\ge t$ 的必要性取 $x=3$ ，充分性由所有 $F\ge-30$ ，恰得 $t\le-30$ ，允许等号。

（3）同区间最大值 $F(1)=0$ 。存在 $F(x)\ge t$ 必有 $t\le0$ ；反过来任意 $t\le0$ 都可选 $x=1$ ，所以完整范围 $t\le0$ 。

也可配方 $F=27/4-3(x+1/2)^2$ ，在此区间离 $-1/2$ 越来越远，平方增大使函数减小，得到同一两端最值。需要继承的是共同固定的 $a=-3$ ，不是第二问独立的阈值 $t\le-30$ 。

本题结论

（1） $a=-3$ ；（2） $t\le-30$ ；（3） $t\le0$ 。