绝对值和：按每一项的符号分段

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绝对值和不是带符号和的绝对值。先恢复完整通项、找到真正的整数分界，再把负项反号；首项特殊或有零项时，尤其要逐段核清。

一、知识点概念与依据

记 $S_n=a_1+\cdots+a_n$ ，另记 $T_n=\lvert a_1\rvert+\cdots+\lvert a_n\rvert$ 。前者保留每项原符号，后者逐项取绝对值。一般不能用 $\lvert S_n\rvert$ 替代Tₙ。

取绝对值时，正项保留、负项反号、零项贡献0。因此先判断每项符号，而不是先把总和算出就整体取绝对值。

若只给Sₙ，先a₁=S₁，再对n≥2差分，并核尾公式能否覆盖首项。首项特殊时单列，等差求和公式只用于真正等差的尾段，不把全列误判为等差。

解aⱼ>0、=0、<0后，回到合法正整数j。实数零点在两个整数之间时，分别确定最后一个正项和第一个负项；零点若恰为整数，零项也要计入实际项数，但不能重复算。

原和Sₙ已经含负项一次。把负项变成相反数，需要再减去它两次，所以Tₙ等于Sₙ减去“前n项内负项和”的两倍。

若数列符号只有一次分界，可写为：

符号排列	n≤k时	n>k时
前k项非负，此后负	$T_n=S_n$	$T_n=S_k-(S_n-S_k)=2S_k-S_n$
前k项非正，此后正	$T_n=-S_n$	$T_n=-S_k+(S_n-S_k)=S_n-2S_k$

零项可归入前缀，反号后仍为0。若前缀为空，取k=0并定义空和S₀=0；此时没有n≤k的正下标，直接用后一支。有限列仅使用真实范围内的分段。

d=0时全部项相同，直接 $T_n=n\lvert a_1\rvert$ 。若只有尾部等差，先处理特殊首项，再给尾段确定首末项与项数；不能因为尾部是一次式而丢掉首项贡献。

分段合并后，用原Sₙ减两倍负项和再核一次，也要确认零项与首个变号项没有漏掉。

用两项确定公差，写完整通项。严格解正负不等式并取整数范围，算前缀和与总和，最后用分段公式组合。

题目

已知等差数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 中， ${a}_{1}=9$ ， ${a}_{4}=3$ ，设 ${T}_{n}=|{a}_{1}|+|{a}_{2}|+\cdot \cdot \cdot +|{a}_{n}|$ ，则 ${T}_{21}=$ （）

A．245 B．263 C．281 D．290

答案与解析

解析

a₄−a₁=3d=3−9=−6，得d=−2，通项aₙ=9−2(n−1)=11−2n。

解11−2n>0得n<11/2，因此正项为第1至5项；第6项起为负，a₆=−1已经必须反号，没有零项。

前5项保持，后16项反号，所以

T_{21}=S_5-(S_{21}-S_5)=2S_5-S_{21}.

由a₅=1得S₅=5(9+1)/2=25；a₂₁=−31，所以S₂₁=21(9−31)/2=−231。因此T₂₁=50+231=281，选C。

直接分段也得前段25、后段绝对值和16(1+31)/2=256，总计281，A、B、D均不符。负项范围是n≥6，若写成n>6会漏掉a₆；原和的绝对值231也不是本题逐项绝对值和。

本题结论

选C， $T_{21}=281$ 。

求首项与尾式后，先列清前几项的特殊性及变号位置，再对合法尾段求和。绝对值和另用Tₙ，不与原Sₙ或其他下标混用。

题目

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S}_{n}={n}^{2}-5n+2$ ，则数列 $\left\{ \left| {a}_{n}\right|\right\}$ 的前12项和为（）

A．93 B．94 C．95 D．96

答案与解析

解析

先a₁=S₁=1−5+2=−2。n≥2时，

a_n=(n^2-5n+2)-[(n-1)^2-5(n-1)+2]=2n-6.

尾公式代1为−4，不等于真实首项−2，因此完整通项应为首项−2、n≥2时2n−6。全列不是等差，第2项起才是等差尾部。

前两项a₁=a₂=−2，a₃=0，a₄至a₁₂为2、4、…、18。因此前12项绝对值和为

T_{12}=2+2+0+\frac{9(2+18)}2=4+90=94.

选B，A、C、D均不等于该完整分段和。后面的等差公式只用于真实的9项正尾段，没有把特殊首项混入等差公式。

再核S₁₂=144−60+2=86，负项和a₁+a₂=−4，所以T₁₂=86−2(−4)=94。这里求的是T₁₂，不是原数列的S₁₂，更不是S₁₀；零项只计一次且贡献0。

本题结论

选B，前12项绝对值和 $T_{12}=94$ 。