相等、相反与共线：长度方向分开检查

约 2319 字大约 8 分钟

同样长的两个箭头可以朝向不同方向；方向平行的箭头也可以长短不同。先分别取得长度证据和方向证据，再判断相等、相反或共线，避免只凭图形外观下结论。

一、知识点概念与依据

对非零向量，将箭头平移到同一起点后比较：沿同一射线为同向，沿相反射线为反向，同向或反向统称共线（平行）。再比较长度，可区分相等与相反。

关系	长度条件	方向条件
同模： $\lvert\vec a\rvert=\lvert\vec b\rvert$	同长	不限制方向
共线： $\vec a\parallel\vec b$	不要求同长	非零时同向或反向
相等： $\vec a=\vec b$	同长	非零时同向
相反： $\vec b=-\vec a$	同长	非零时反向

零向量另行按约定处理：它与任意向量共线，两个零向量相等，零向量的相反向量还是零向量。相等必共线，共线不一定相等。

模只保留长度。两个单位向量可指向任意不同方向，既可能不相等，也可能不互为相反向量；因此 $|\vec a|=|\vec b|$ 不能单独推出 $\vec a=\pm\vec b$ 。

若额外知道两个非零向量共线且同模，才可分同向、反向，得到相等或互为相反向量。A、B不同时， $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 同模、共线却反向，因此互为相反向量而不相等。

平移不改变自由向量，所以放在不同位置、不同平行线上的箭头仍可表示相等或共线的向量。“向量共线”是方向关系，“几个点共线”则涉及点的位置，两者不能直接等同。

把向量结论转回几何时，应补相应条件：

两个非零共线向量的承载直线可能平行，也可能重合；只有排除重合，才能说两条不同直线平行。
要由向量判A、B、C三点共线，可选公共始点的 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ ，并取A、B不同，以AB确定一条直线。
同一个自由向量可以画在无数个位置，但这些是同一向量的多个代表箭头，不是位置不同就变成不同向量。

相等具有传递性。若 $\vec a\parallel\vec b$ 、 $\vec b\parallel\vec c$ ，且 $\vec b\ne\vec0$ ，则所有非零端点向量都沿b所在方向，故 $\vec a\parallel\vec c$ ；端点若为零，也按约定共线。

若中间向量是零向量，上述推理就失效。例如朝东与朝北的两个非零向量都与 $\vec0$ 共线，却彼此不共线。不能把零向量当作确定共同方向的依据。

读始点终点，先检查是否零向量，不能只看线段名称。
用正多边形、半径、中点、平行四边形等已知条件证明长度关系，不依赖图上目测。
单独检查承载直线与箭头朝向：平行四边形ABCD顺次命名时， $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ，并非 $\overrightarrow{CD}$ 。
按题目要求合并证据：相等要同长同向，共线则反向也可且不必同长。
若要翻译为直线平行或三点共线，再核重合、公共点等几何条件。

题目

如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与 $\vec{DE}$ 相等的向量为（）

A． $\vec{AB}$ B． $\vec{OF}$ C． $\vec{OE}$ D． $\vec{OD}$

答案与解析

解析

正六边形分成六个中心角为60°的等腰三角形，它们实际为等边三角形，因此各半径与边长相等。四个选项的模都等于DE，决定性的区别是方向。