单调与最值求参：跨段顺序、严格边界与共同条件

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参数会改变方向、转向位置和取最值的输入。先在每个参数分支证明性质，再解目标等式，并回到原分支及整题共同条件；严格增减不意味着所有参数边界都必须排除。

一、知识点概念与依据

1. 整体单调要覆盖同段与跨段两类输入

任取整体域中 $u<v$ ，它们可能同属一段，也可能分属前后两段。各段内部增减只处理第一类；跨段的所有输出顺序也符合，才证明整体单调。定义域中间有空档时，两段的合法输入仍然可以比较，不能略掉跨段。

整体递增需要任意前段输出小于任意后段输出，整体递减则相反。向正确方向的跳跃可能仍然单调，所以连续接合不是必要条件；向错误方向跳跃则可能使每段都增、整体却不增。

此前读图例05的完整原图题中，域为 $[-4,0]\cup[1,4)$ ，两段各增，但 $0<1$ 而 $f(0)=5>f(1)=0$ ，一对合法跨段输入便否定整体递增。不能把空档补成有定义的区间。

2. 接合界是否允许相等，取决于实际取得

整体递增时，若前段所有输出不超过 $L$ ，后段所有输出不小于 $R$ ， $L<R$ 足以保证跨段严格增。 $L=R$ 时，若至少一侧没有输入真正取得该界，任意两段实际输出仍严格有序；若不同段各有一个输入取到共同高度，严格性就失败。

递减同理。例如左段有实际最小值 $L$ ，右段只有未取到的上界 $R$ ，则 $L\ge R$ 已保证所有左输出严格大于所有右输出。分界真实函数值由包含它的分支给出；另一分支的延长值可能仅是界，不能冒充实际取得值。

这些界用于充分证明很方便，求完整参数范围还要证明必要性：若界顺序反了，指出某对合法跨段输入会反序。最终将段内方向、跨段比较与原域条件取交。

3. 严格输入对可能只有未取到的界

单调定义中的输入严格不同。例如 $2\le u<v$ ，有 $uv>4$ ，不能让 $u=v=2$ 来声称乘积取得最小值4。

若作差后要求参数 $m<uv$ 对全部这样的输入成立，那么 $m=4$ 仍然小于每个实际乘积，不能删去。但只证 $uv>4$ 尚不能独立推出精确必要范围；还需说明乘积可以任意接近4。取 $u=2,v=2+\varepsilon$ ，积为 $4+2\varepsilon$ 。任意 $m>4$ ，选 $0<\varepsilon<(m-4)/2$ 就使积小于 $m$ ，构成反例。因此完整条件是 $m\le4$ 。

参数边界是否允许，检查它是否令某一对不同合法输入输出相等或反序，而不是看到“严格”就改成严格参数不等号。

4. 最值等式之前先确定最值位置

“最大值为 $M$ ”同时要求所有合法输出不超过 $M$ ，且至少一个合法输入取得 $M$ 。只解 $f(c)=M$ ，并未证明 $c$ 是取最大值的位置。

先列实际区间和开闭，按参数对方向、对称轴或转向点的影响分类。闭区间增函数最大在右端，减函数最大在左端，常值函数全段取同一值；非单调情形比较内部转向点与端点。每一分支先得到真实最值表达式，再求等式候选，最后交回该分支。

某个分支内最大值可能始终等于目标，此时应保留整个参数范围，不强迫只求一个数。零系数常值、降次、原域为空或端点不可取，也须分别核查，不能套另一个分支的公式。

5. 绝对值是距离，最远端与可达范围一起看

若 $t$ 真实取遍闭区间 $[L,U]$ ，则对任意 $t$ ， $|t-a|\le\max\{|L-a|,|U-a|\}$ 。理由可分 $a\le L$ 、 $a\ge U$ 、 $L<a<U$ 三种位置：距离在区间内走向某个端点时不会更小，最远一定在一个端点。两端本身可达，所以这个上界也是实际最大值。

换元时须保留完整范围。只知道 $L\le t\le U$ 而不知道边界能取到，不能把端点算值冒充最大值；只知道几个样点，更不能据此声称值域完整。

6. 极差是有顺序的最大减最小

极差为最大输出减最小输出，非负；不能未定方向就随意用某两个端值相减。闭段确单调时，按方向识别两端的角色，再列极差等式。

完整分式例已在单调最值例01保留： $(2x+1)/(x-2)$ 在 $[3,a]$ （ $a>3$ ）递减，最大值7在3，最小值 $(2a+1)/(a-2)$ 在 $a$ 。极差1给末端值6，得到 $a=13/4>3$ ，回代两端均取到。这里方向、端点和原参数域缺一不可。

7. 共同题设、小问附加条件、前问结果分清层次

整题开头的共同前提约束每个小问；本问新增条件再与之取交。前问求出的参数不自动传给下一问，除非题面明确这样要求。

设共同前提给集合 $S$ ，本问方程给候选 $T$ ，答案必须在 $S\cap T$ 。候选分母合法，却违反共同单调条件，同样不能保留；若交集为空应如实指出完整题设下无解，不为配合参考数值静默删除共同前提。

二、考点方法与例题

方法一：同段、跨段、边界三次核查

每段按实际公式证明方向，写分界所属分支及各侧真实输出界，再比较任意跨段输入。界相等时检查是否两侧同时取到；证明必要性时给反向输出或足够靠近界的合法输入。

方法二：先定位取等，再解参数并回代

参数分类确定方向和最值输入，写最大、最小或极差等式；每个候选交回分支与共同条件。最终证明所有输出符合界，且目标值由合法输入取得。常值分支与相邻参数边界另核，不漏不重。

例题 01 两种规则在分界处的整体方向

题目

已知函数

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}{x}^{2}+ax+5,x\le 1\\-\frac{a}{x},x>1\end{aligned}\right.

是 $R$ 上的减函数，则实数a的取值范围是（）

A． $-3\le a\le -2$ B． $-3\le a\le 0$ C． $a\le -2$ D． $a<0$

答案与解析

解析

左段 $x^2+ax+5$ 轴为 $-a/2$ 。要在 $(-\infty,1]$ 严格递减，轴必须不在1左边，故 $a\le-2$ ；否则轴右侧至1之间已有递增输入对。右段 $-a/x$ 的差为 $a(v-u)/(uv)$ （ $1<u<v$ ），严格减要求 $a<0$ 。

左段最小输出是 $f(1)=6+a$ 。右段因 $-a>0$ 、 $x>1$ ，实际输出严格小于 $-a$ 。所以只要 $6+a\ge-a$ ，任意左输出都严格大于任意右输出，跨段成立，即 $a\ge-3$ 。

必要性也须核：若 $a<-3$ ，左值 $L=6+a<-a$ 。若 $L\le0$ ，任意右输出正，已比左值大；若 $L>0$ ，有 $(-a)/L>1$ ，任选 $1<v<(-a)/L$ ，就得右输出 $-a/v>L=f(1)$ ，违反整体递减。

取交得 $-3\le a\le-2$ ，选 A。B 允许轴进入左段，C 漏跨段条件，D 只核右段。 $a=-3$ 时左最小为3，右输出始终小于3，虽然连接界相等却仍严格； $a=-2$ 时左轴恰在1，合法端点也不破坏严格性。

本题结论

A， $-3\le a\le-2$ 。

例题 02 严格方向中的两个参数边界

题目

（1）函数 $f\left( x\right)=-{x}^{2}+2\left( a-1\right)x+2$ 在区间 $\left( -\infty ,4\right]$ 上是严格增函数，求实数 $a$ 的范围；

（2）已知函数 $f\left( x\right)=x+\frac{m}{x}-1$ 在区间 $\left[ 2,+\infty \right)$ 上是严格增函数，求实数 $m$ 的范围．

答案与解析

解析

（1）二次式。开口向下，轴为 $h=a-1$ ，轴左侧严格增。覆盖 $(-\infty,4]$ 须 $h\ge4$ ，即 $a\ge5$ 。若 $h<4$ ，取 $h<u<v\le4$ ，两个点在轴右侧，输出反而递减，不能合格。 $h=4$ 时任意不同输入到轴的距离严格减小，仍增，故等号允许。

（2）输入加倒数。任取 $2\le u<v$ ，

f(v)-f(u)=(v-u)\left(1-\frac m{uv}\right).

严格增等价于 $m<uv$ 对所有这样的输入对成立。实际 $uv>4$ ，所以 $m\le4$ 全部充分，尤其 $m=4$ 仍使差严格正。

若 $m>4$ ，取 $u=2,v=2+\varepsilon$ ，其中 $0<\varepsilon<(m-4)/2$ ，便有 $uv<m$ ，括号负、输出差负，反驳增性。故完整范围 $m\le4$ 。乘积4仅是可趋近的界，不是某对不同输入真正取得的最小值。

本题结论

（1） $a\ge5$ ；（2） $m\le4$ 。

例题 03 分式最大值对应哪个端点

题目

若函数 $f\left( x\right)=\frac{x+a}{x+1}$ 在区间 $\left[ 0,1\right]$ 内的最大值为3，则 $a=$ （）

A．3 B．4 C．5 D．3或5

答案与解析

解析

分母在 $[0,1]$ 恒正，分离为 $1+(a-1)/(x+1)$ 。

$a=1$ ：常值1，不是最大值3。
$a>1$ ：正倒数项递减，最大在0，值为 $a$ ，所以 $a=3$ ，符合本分支。
$a<1$ ：负倒数项递增，最大在1，值 $(a+1)/2$ 。令它为3得 $a=5$ ，却违反本分支，舍去。

因此只有 $a=3$ ，选 A。 $a=4$ 实际最大4； $a=5$ 实际最大5，尽管1处输出为3，也不满足最大值条件；D 多纳入5。原资料中候选5的方程计算没有错，错会发生在忘记将它交回产生该方程的分支时。

本题结论

A， $a=3$ 。

例题 04 换元后的距离最大值与整段参数

题目

已知 $a\in R$ ，函数 $f\left( x\right)=\left| x+\frac{4}{x}-a\right|+a$ 在区间 $\left[ 1,4\right]$ 上的最大值是5，则a的取值范围是（）

A． $\left[ 2,\frac{9}{2}\right]$ B． $\left( -\infty ,\frac{9}{2}\right]$ C． $\left( -\infty ,\frac{9}{2}\right)$ D． $\left[ 0,\frac{9}{2}\right]$

答案与解析

解析

令 $t=x+4/x$ ，原 $x\in[1,4]$ 。用正侧差式知在 $[1,2]$ 递减、 $[2,4]$ 递增，端点输入1与4给 $t=5$ ，输入2给 $t=4$ 。

完整可达性也可反解：任意 $t\in[4,5]$ ，取 $x=(t+\sqrt{t^2-16})/2$ 。它至少为2；又 $\sqrt{t^2-16}\le8-t$ ，因为右侧正且平方比较等价于 $t\le5$ ，故 $x\le4$ 。代回 $x^2-tx+4=0$ ，得到 $x+4/x=t$ 。所以实际新范围恰为 $[4,5]$ 。

原式变为 $|t-a|+a$ ，最大值是两端值 $\max\{|4-a|+a,|5-a|+a\}$ ，且两端都有原输入取得。

$a\le4$ 时，两端值为4、5，最大恒为5，整个分支都允许。
$4<a<5$ 时，两端值为 $2a-4$ 、5，最大恰为5要求 $2a-4\le5$ ，即 $a\le9/2$ 。
$a\ge5$ 时，最大为 $2a-4$ ，等于5算出 $a=9/2$ ，不在该分支，排除。

合并得 $a\le9/2$ ，选 B。A、D 添加了不必要下界；C 错删 $a=9/2$ ，该处两个新端点同取5，完全允许。

本题结论

B， $a\in(-\infty,9/2]$ 。

例题 05 两个函数的共同前提与小问等式

题目

已知函数 $f\left( x\right)=-{x}^{2}+2kx-k$ 与 $g\left( x\right)=\frac{k}{x+2}\left( k\ne 0\right)$ 在区间 $\left( -3,-2\right)$ 上都是增函数．

(1)若 $f\left( g\left( -1\right)\right)=-\frac{k}{2},$ 求k的值；

(2)求实数k的取值范围．

答案与解析

解析

先求整题共同条件。向下二次函数 $f$ 的轴为 $x=k$ ，在 $(-3,-2)$ 递增须 $k\ge-2$ ；轴恰在开区间右边界−2允许。如果轴在区间内或左侧，总可找两个轴右侧的合法输入反驳递增。

对任意 $-3<u<v<-2$ ，

g(v)-g(u)=-\frac{k(v-u)}{(u+2)(v+2)}.

两分母皆负，乘积正，因此严格增要求 $k<0$ 。共同条件是 $S=[-2,0)$ ，这也是第（2）问所求范围。

（1）局部等式。 $-1$ 虽不在题设讨论增性的区间，却在 $g$ 的自然域内，故 $g(-1)=k$ 合法； $f$ 为全实数多项式， $f(g(-1))=f(k)=k^2-k$ 。等式要求 $k^2-k=-k/2$ ，即 $k(k-1/2)=0$ 。0违反题设非零，另一个候选 $1/2$ 又违反共同条件 $k<0$ ，所以与 $S$ 无交集，第（1）问按完整题设无解。

原资料题设与答案冲突。原答 $k=1/2$ 只解了局部等式，漏掉共同递增前提；此参数下 $g$ 实际在指定区间递减。只有删除共同前提、另研究局部等式，才会得到该数值，本手册不擅自删题设。

（2）共同范围。仍是 $[-2,0)$ ，无需继承第（1）问不合格的候选。前问的新增条件只用于前问，整题共同条件则每问都须满足。

本题结论

（1）按完整共同前提无解，原答1/2不合格；（2） $[-2,0)$ 。