函数零点、存在性与分支计数

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零点把函数、方程和图象联系起来。求具体零点要保留原定义域；只定位或计数时，则要分别说明“至少有”和“至多有”的依据。

一、知识点概念与依据

1. 零点是合法输入，不是坐标

设实函数 $f$ 的定义域为 $D$ 。若实数 $c\in D$ 且 $f(c)=0$ ，就称 $c$ 是 $f$ 的零点。这是定义。它不是输出 $0$ 本身，也不是平面点 $(c,0)$ 。

方程 $f(x)=0$ 的实根、函数零点、函数图象与横轴交点的横坐标，是同一组实数。正向由 $f(c)=0$ 得图象点 $(c,0)$ ，反向由该点属于图象得 $c$ 合法且输出为零；两向都不能丢掉原定义域。可以无根、一根、多根，也可以有无穷多根。

例如 $-x^2-2x+3=-(x-1)(x+3)$ 的零点为 $1,-3$ ，横轴交点才是 $(1,0),(-3,0)$ 。只答其中一个漏根，写两个坐标则答错对象。重因子 $(x-c)^2$ 只提供一个不同输入 $c$ 。

在共同定义域上令 $F(x)=g(x)-h(x)$ ，则 $g(x)=h(x)$ 等价于 $F(x)=0$ 。所以两图交点横坐标也是差函数的零点，作差不能扩大任何一边的域。

2. 解方程以前保留式子的条件

一次式 $kx+b$ 在 $k\ne0$ 时零点为 $-b/k$ ； $k/x$ 在 $k\ne0$ 时无零点，因为合法输入下分子不为零。合法指数 $a^x$ 始终正；对数 $\log_a x$ 在 $x=1$ 为零，其中 $a>0,a\ne1,x>0$ 。 $\ln x$ 表示底为 $e$ 的对数， $2<e<3$ 。

幂式要按具体指数的实数定义域检查：正整数幂在零处为零，负整数幂不允许零；不把任意实数指数统一扩到负半轴。

乘积为零应列各因子为零的分支，不能先除未知是否为零的因子。若一次函数 $ax+b$ （ $a\ne0$ ）在 $1$ 处为零，则 $b=-a$ ， $ax^3+bx=ax(x-1)(x+1)$ ，不同零点是 $-1,0,1$ ；先除以 $x$ 会丢掉 $0$ 。平方、清分母或取对数若不是等价变形，候选须回代原式。

3. 连续异号只保证至少一个

本节对连续的直观理解是：输入在区间内连续移动时，图象没有断裂或跳跃；闭区间的端点值也须与内部曲线接上。这并非“每个输入有唯一输出”的同义词，函数完全可以不连续。

零点存在定理：若 $a<b$ ， $f$ 在整个闭区间 $[a,b]$ 连续，且 $f(a)f(b)<0$ ，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $f(c)=0$ 。

异号表示曲线两端在横轴两侧，连续变化不能跳过中间高度零。这解释条件的意义；本章采用高中阶段的定理，不用示意图冒充对任意函数的严格证明。两端不为零，所以保证的是内部根，既没有给精确根，也没有给总根数。

多项式、指数在实数上连续；对数在真数为正的范围连续；分式在分母不为零的区间连续。这些基本函数的和、差、积以及有意义的复合仍连续。分段拼接要另查连接值，不能仅凭每段公式各自连续而跨界使用定理。

若端点本身为零，可直接记录该根，但不能据此套用严格异号定理保证内部另有根。端点同号也不证明无根，例如 $x^2$ 在 $[-1,1]$ 端点同为正，内部仍有根。

4. 唯一性与参数条件要多一层证明

严格递增或严格递减在同一区间内保证至多一根：若 $u<v$ 都是根，则两输出同为零，与严格单调要求输出严格有序矛盾。仅有允许等值的非严格单调不够，可能整段都输出零。

连续异号给“至少一个”，严格单调给“至多一个”，合起来才是恰好一个。若要排除其他候选区间，应用已经证明的全范围严格单调或明确符号；不能只看端点同号就否定。

特别地，若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续且严格递增，则在 $(a,b)$ 有根当且仅当 $f(a)<0<f(b)$ ：充分性来自定理，必要性来自 $f(a)<f(c)=0<f(b)$ 。严格递减时方向相反。没有单调前提，端点异号通常只是充分条件；开区间的端点根要排除。

二、考点方法与例题

方法一：原域内求候选，再逐段验收

先写全部运算条件。分段式先按输入选公式，每段方程只在该段范围解；求出的候选与该段范围取交，再代原函数核验。不同输入取并集，不按因子重数计数。对数的真数是完整表达式： $\ln|x|$ 需要 $|x|>0$ ，并不要求 $x>0$ 。

例题 01 绝对值真数

题目

函数 $f\left( x\right)=\ln \left| x\right|-1$ 的零点为（）

A． $e$ B． $-e$ C． $\left( e,0\right)$ 或 $\left( -e,0\right)$ D． $e$ 和 $-e$

答案与解析

解析

原域由 $|x|>0$ 得 $x\ne0$ 。在这个域内，

\ln|x|-1=0\iff \ln|x|=1\iff |x|=e\iff x=e\ \text{或}\ x=-e.

两根都合法，代回均为零。A、B各漏一根，C给的是交点坐标，不是零点。

本题结论

选 D，零点为 $e,-e$ 。

例题 02 分段规则与候选根

题目

已知函数

f(x)=\left\{ \begin{aligned}{2}^{x}-1,x\le 1\\1+{\log }_{2}x,x>1\end{aligned}\right.

，则函数 $f(x)$ 的零点为（）

A． $\frac{1}{2}$ ， $0$ B． $(\frac{1}{2},0)$ ， $(0,0)$ C． $0$ D． $(0,0)$

答案与解析

解析

第一段要求 $x\le1$ ，解 $2^x-1=0$ 得 $x=0$ ，符合范围。

第二段要求 $x>1$ ，解 $1+\log_2x=0$ 得 $x=1/2$ ，不在这一段，舍去。在原函数的输入 $1/2$ 处应使用第一式，输出 $\sqrt2-1>0$ ，不是零。

A误收第二式的非法候选，B又误写坐标，D只有坐标。

本题结论

选 C，仅 $0$ 。

方法二：连续、异号、唯一性分开写

先在合法闭区间核连续，再算端点值。需要唯一时，另证严格单调。和式同向严格递增可相加；乘积必须检查符号。例如两因子都为正且递增，才可用逐项放大证明乘积递增。近似端点值接近零时，增加精度核实符号。

例题 03 先排除一段，再定位

题目

函数 $f\left( x\right)=x\ln x-1$ 的零点所在区间为（）

A． $\left( 0,1\right)$ B． $\left( 1,2\right)$ C． $\left( 2,3\right)$ D． $\left( 3,+\infty \right)$

答案与解析

解析

定义域为 $x>0$ 。当 $0<x\le1$ 时， $\ln x\le0$ ，从而 $x\ln x-1\le-1<0$ ，没有根。

对 $1<u<v$ ，有 $0<\ln u<\ln v$ ，所以 $u\ln u<v\ln u<v\ln v$ ，函数在 $(1,+\infty)$ 严格递增。它在 $[1,2]$ 连续， $f(1)=-1$ ，而 $f(2)=\ln4-1>0$ ，因为 $4>e$ 。存在定理给 $(1,2)$ 至少一根，单调性排除更多根； $x\ge2$ 时函数为正。

A已由符号排除，C、D由单调性排除。这里没有声称整个正半轴都递增，也没有无条件套“增函数的积递增”。

本题结论

选 B，零点唯一且在 $(1,2)$ 。

同向和式的直接定位

同一方法用于 $f(x)=2^x+2x-1/2$ ：两个非常量项均连续严格递增， $f(-1)=-2$ 、 $f(0)=1/2$ ，故唯一根在 $(-1,0)$ 。其余原候选 $(0,1),(1,2),(2,3)$ 都处在 $x\ge0$ 的正值区间，被同一个单调性依据排除。这个例子不需要求精确根。

例题 04 开区间存在根的参数条件

题目

若函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+a$ 在区间 $(1,e)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为．

答案与解析

解析

在 $x>0$ 上， $\ln x$ 严格递增；若 $0<u<v$ ，则 $-1/u<-1/v$ ，故 $-1/x$ 也严格递增。加常量后仍在 $[1,e]$ 连续严格递增。

若 $(1,e)$ 内有根 $r$ ，则 $f(1)<f(r)=0<f(e)$ ；反之这组严格异号条件足以保证内部根。因此

a-1<0,\qquad 1-\frac1e+a>0,

解得 $1/e-1<a<1$ 。 $a=1$ 的根恰在左端 $1$ ， $a=1/e-1$ 的根恰在右端 $e$ ，均不能收。

本题结论

$a\in(1/e-1,1)$ 。

方法三：按断点和分段边界分开计数

每个区域都要交代至少多少根、至多多少根，最后合并不同输入。分母断点不属于域；分段边界按等号归属只计一次。两边分别严格递增不代表可以跨断点宣称整个定义域严格递增。

例题 05 分母断点两侧的零点

题目

函数 $f\left( x\right)={2}^{x}-\frac{1}{x}-1$ 的零点个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案与解析

解析

定义域为 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 。 $2^x$ 与 $-1/x$ 在两个区间 $(-\infty,0)$ 、 $(0,+\infty)$ 各自严格递增，因此它们的和在每个区间分别严格递增。对同一侧的 $u<v$ ， $uv>0$ ， $-1/v+1/u=(v-u)/(uv)>0$ ，给出后一项的作差依据。

负支： $f(-2)=1/4+1/2-1=-1/4$ ， $f(-1)=1/2$ ，在 $[-2,-1]$ 连续异号，故至少一根；负支严格递增，故至多一根。

正支： $f(1)=2-1-1=0$ ，正支严格递增，故只此一根。两支互不相交，合计两根。A、B低估，D高估。

本题结论

选 C，共两个不同零点。

分段公式各自贡献的根

另一个分段例子在 $x\le0$ 用 $x^3+8$ ，在 $x>0$ 用 $\log_4x+x$ 。第一支方程恰给 $x=-2$ ，合法且唯一。第二支连续严格递增，取 $1/4,4$ 得 $-3/4,5$ ，连续异号与严格单调合起来给恰一根。负、正两根不同，总数为 $2$ ，而不是找到两个以后凭直觉排除其他根。这里不需要跨 $0$ 检整体连续，因为存在定理只用在正支内的 $[1/4,4]$ 。

三、坑点辨析与纠错

1. 异号不能替代连续

$1/x$ 在 $-1,1$ 的值异号，但 $0$ 处无定义，整个 $[-1,1]$ 不连续且无零点。即使单调也可能跳过零：自编反例

h(x)=\begin{cases}x-3,&2\le x<5/2,\\x-2,&5/2\le x\le3.\end{cases}

它严格递增， $h(2)=-1,h(3)=1$ ，却没有零点；在 $5/2$ 跳过了零。闭区间连续要核内部和端点，不能拿开区间上的单调代替。二分次数的原题缺条件将在二分法辨析完整讨论。

2. 找到两根不等于证明恰有两根

两个递增函数的差未必递增：当 $u<v$ 时，差函数的增量是两个正增量的差，其正负仍不确定。因此“两个图象都上升”“一个增长慢”不提供交点数上界。图象可以帮助猜测，结论还需分段单调、符号或完整方程证明。普通重根只计一次，分支外候选不计。

3. 同号、端点为零、内部有根是不同命题

端点同号只使异号定理暂不能使用，不等于内部无根。端点恰为零只确定端点根，不能顺手添一个内部根。若区间严格单调，则内部有根与两端严格异号才可等价；参数端点是否收取必须回到开闭区间核验。