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外观

相关系数的变换：配对、平移与缩放

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统一改变单位不等于重配对象；先写新旧变量关系，再决定符号及是否有定义。

知识点

仿射变换的条件与推导

原两列都不恒定，保持同一对象配对，ui=axi+b,vi=cyi+du_i=ax_i+b,v_i=cy_i+d，其中 a,ca,c 为不随对象变化的非零常数。

均值 uˉ=axˉ+b,vˉ=cyˉ+d\bar u=a\bar x+b,\bar v=c\bar y+d，新偏差分别为 a(xi−xˉ),c(yi−yˉ)a(x_i-\bar x),c(y_i-\bar y)。故新平方和 Suu=a2Sxx,Svv=c2SyyS_{uu}=a^2S_{xx},S_{vv}=c^2S_{yy}，新积和 Suv=acSxyS_{uv}=acS_{xy}，于是

ruv=acSxya2c2SxxSyy=ac∣a∣∣c∣rxy.r_{uv}=\frac{acS_{xy}}{\sqrt{a^2c^2S_{xx}S_{yy}}}=\frac{ac}{|a||c|}r_{xy}.

根号来自平方，必须有绝对值。平移项消失，并非必须过原点。

操作新 rr
统一平移，两列正缩放不变
仅一列负缩放反号，绝对值不变
两列同时负缩放不变
任一列乘0该列恒定，新 rr 未定义
平方、对数等非线性变换一般不能套上述规则，先核定义域（对数真数须大于0），再核配对、重复值及非恒定

重排行不等于独立排序两列

将整对数据按同一个顺序重排，只是重排求和项，均值、平方和、积和都不变，故 rr 不变。两列各自排序再配对，会改变哪些偏差相乘；即使各列均值及平方和不变，积和也可能改变。这已经改变观测关系，不能沿用原 rr。

年份编号、正单位换算、仪器统一加减基准都可先核仿射式；系数与对象无关且非零、配对保持是前提。只变表达不增加观测信息，不保证因果或未来趋势。

完全共线的特殊情形

如果每对 yi=kxi+by_i=kx_i+b，平均得 yˉ=kxˉ+b\bar y=k\bar x+b，所以 Yi=kXiY_i=kX_i，Sxy=kSxx,Syy=k2SxxS_{xy}=kS_{xx},S_{yy}=k^2S_{xx}。当 xx 非恒定且 k≠0k\ne0，r=k/∣k∣r=k/|k|，只取斜率符号，而不是斜率本身。非水平非竖直且完全在线上才可用此式；仅近似贴近不能写正负1。

考点

三次条件核对

  1. 若已知共线，核“完全在”而非近似、xx 非恒定、斜率非零；水平或竖直线停止算 rr。
  2. 若已知换单位或基准，写 u=ax+b,v=cy+du=ax+b,v=cy+d，核常数独立于对象及非零，保同一对象配对。
  3. 由新偏差推公式，根据两个缩放因子符号选择不变或反号；非线性或改配对重新计算，不套旧式。

例题 01 接待人数与年份编号

题目

某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表：

年份201720182019202020212022年份编号x123456接待人数y万人4.55.66.16.46.87.2\begin{array}{c|cccccc} \text{年份} & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022 \\ \text{年份编号}x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \text{接待人数}y\text{万人} & 4.5 & 5.6 & 6.1 & 6.4 & 6.8 & 7.2 \end{array}

则接待人数与年份的相关系数约为（    ）（参考数据：322≈17.94\sqrt{322}\approx 17.94）

A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97

答案与解析

解析

两均值为3.5、6.1，按同一年份列出：

编号xi−xˉx_i-\bar xyi−yˉy_i-\bar y偏差乘积
1-2.5-1.64
2-1.5-0.50.75
3-0.500
40.50.30.15
51.50.71.05
62.51.12.75

两偏差平方和 6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25=17.56.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25=17.5，2.56+0.25+0+0.09+0.49+1.21=4.62.56+0.25+0+0.09+0.49+1.21=4.6；乘积和8.7。均为合法非恒定列，

r=8.717.5×4.6=17.4322≈0.9697,r=\frac{8.7}{\sqrt{17.5\times4.6}}=\frac{17.4}{\sqrt{322}}\approx0.9697,

选D。实际年份为编号加2016，均值也加2016，偏差全相同，所以不改 rr。结论限这六年样本强正线性关联，不保证随后增长。

本题结论

D（约0.97）

例题 02 一条直线上的样本

题目

在一组样本数据(x1,y1)\left( {x}_{1},{y}_{1}\right)、(x2,y2)\left( {x}_{2},{y}_{2}\right)、⋯\cdots、(xn,yn)(n≥2)\left( {x}_{n},{y}_{n}\right)\left( n\ge 2\right)、x1{x}_{1}、x2{x}_{2}、⋯\cdots、xn{x}_{n}不全相等）的散点图中，若所有的样本点(xi,yi)(i=1,2,⋯ ,n)\left( {x}_{i},{y}_{i}\right)\left( i=1,2,\cdots ,n\right)都在直线y=−2x+1y=-2x+1上，则这组样本数据的相关系数为（    ）

A．22 B．−2-2 C．−1-1 D．11

答案与解析

解析

逐对有 yi=−2xi+1y_i=-2x_i+1，平均也有 yˉ=−2xˉ+1\bar y=-2\bar x+1，相减得 yi−yˉ=−2(xi−xˉ)y_i-\bar y=-2(x_i-\bar x)。于是

Sxy=−2Sxx,Syy=4Sxx.S_{xy}=-2S_{xx},\quad S_{yy}=4S_{xx}.

原条件 xix_i 不全相等确保 Sxx>0S_{xx}>0，故两列都有正平方和，

r=−2Sxx4Sxx2=−2Sxx2Sxx=−1,r=\frac{-2S_{xx}}{\sqrt{4S_{xx}^2}}=\frac{-2S_{xx}}{2S_{xx}}=-1,

选C。斜率-2的大小被标准化抵消，rr 不是斜率。若所有 xix_i 相同，则两列恒定，不能以“点都在线上”便照搬-1。

本题结论

C（-1）

坑点

不漏负号，不隐藏恒定列

一列负缩放反号、两列负缩放不变，零缩放无定义。非线性变换先查定义域；平方可能使原非恒定列变为恒定，须重新核验。对数须真数大于0，合法对数对非恒定列仍非恒定，但一般也不保持原 rr，不能把一切数值改写当单位换算。

样本不只是一袋数

两列各自排序后的积和可能不同；共同换行顺序才是同一批成对观测。范围、单位表示的变化不增加样本信息，也不把线性关联变成因果或预测保证。