排列与组合：选组、分职与公式

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“选出”未必只用组合，“安排”也未必把所有人全排列。先写清最终记录：只记成员集合，还是还记职位、场次与次序；再处理限制，最后用合法参数下的公式计算。

一、知识点概念与依据

1. 交换是否改变最终结果

从 $n$ 个不同元素中不重复取 $m$ 个，若还按先后或有名职位排列，叫排列；成员不同或同一批成员次序不同都算不同。若只记成员集合、不记内部次序，叫组合。

判断时交换两名成员：只改名单书写顺序而职责未变，是同一组合；交换两人承担的不同职责，则是另一安排。不同场次、不同学科都能形成位置标签。相同物件的份数分配不能人为标号后当不同元素选择；允许重复使用元素也不能套不重复的排列公式。

2. 连乘与等量去重给出两种公式

$n,m$ 均为整数， $0\le m\le n$ 。依次填 $m$ 个位置，第一个有 $n$ 种，第二个 $n-1$ 种，最后一个 $n-m+1$ 种；每个最终排列的逐位路径唯一，故

A_n^m=n(n-1)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}.

对 $m\ge1$ ，连乘恰有 $m$ 个因子，不是两端之差。全排列 $A_n^n=n!$ ；约定 $0!=1$ ，空排列只有一种， $A_n^0=1$ ，包括 $A_0^0=1$ 。

每个 $m$ 元集合恰产生 $m!$ 个有序列表，不同集合不会产生同一列表，因此

A_n^m=C_n^m m!,\qquad C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}.

除 $m!$ 的依据是每组重复数相同，不是“选人就随意除阶乘”。空选和全选各一种， $C_n^0=C_n^n=1$ 。 $m>n$ 时原选择无法完成，不写负阶乘；若另约定不可完成的选择数为零，必须明确是扩展，不能掩盖题中非法记号。

资料曾记录一条排列数分式记号不完整，不能据其残缺形式运算。这里由连乘独立推导；若用全排列作商，规范式为 $A_n^n/A_{n-m}^{n-m}$ ， $n=m$ 时分母按唯一空排列取 $1$ ，不声称已重新核看原载体图面。

3. 对称、递推与相等组合数的完整判据

选入 $m$ 个与留下 $n-m$ 个一一对应，所以 $C_n^m=C_n^{n-m}$ 。从 $n+1$ 个元素选 $m$ 个，指定一个元素，分为选入它与不选它两类，得到

C_{n+1}^m=C_n^{m-1}+C_n^m,\qquad 1\le m\le n.

两端空选、全选另计为 $1$ ；若要以越界组合数为零统一记号，须先声明，不能使用负阶乘。递推相加前须核下标相同、上标差一；补入一项后要减回。

对合法的 $0\le j<n$ ，

\frac{C_n^{j+1}}{C_n^j}=\frac{n-j}{j+1}.

$2j+1<n$ 时严格递增， $2j+1>n$ 时严格递减；奇数 $n$ 的两个中央上标互补且值相等。因此任意合法 $r,s$ 满足

C_n^r=C_n^s\quad\Longleftrightarrow\quad r=s\ \text{或}\ r+s=n.

理由是将每个上标换成它与补上标中较小者，半行严格递增，不可能再有另一对等值。仅知道对称性，只能证明互补足够，不能单凭它断言条件必要。

4. 成员条件与职位条件分开落实

必选者先固定，所需补选人数减少；禁选者先剔除，候选总数减少。必选与禁选冲突就无解。若一类有 $u$ 个、另一类 $v$ 个，选 $m$ 个且第一类恰有 $j$ 个，方案为 $C_u^jC_v^{m-j}$ ，其中

0\le j\le u,\qquad 0\le m-j\le v,

并与“至少、至多”的整数条件取交。不同 $j$ 的类别互斥，可以相加；至少一也可用全部减零个。多个不合格集合有交集时，不能分别减去而不处理重叠。

选组后若每个人都可任所有岗位，才可统一乘 $m!$ 。有禁位则先安排受限者，去掉已用人和已占位置，再排其余；每个前步对应相同后续数才统一相乘。最终任职表应能唯一还原选择与安排两步。

二、考点方法与例题

1. 限制成员：分清“不能”“必须”与数量范围

先界定是否只选成员；按指定者入选状态或某类人数分类，再落实每支中的其他限制。至少一不等于恰好一，“甲乙不同时选”允许两者都不选。不要先挑一名特殊者再任意补人，那会把含多名特殊者的集合重复计数。

例题 01 六人三项活动

题目

从6人（包含甲）中选派出3人参加 $A$ ， $B$ ， $C$ 这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加 $A$ 和 $B$ 活动，则不同的选派方案有（）

A．60种 B．80种 C．90种 D．150种

答案与解析

解析

三个活动有不同标签，须安排人到对应位置。按甲是否被选中分两类：

选中甲，甲只能参加 $C$ ，另外两项从其余五人选排， $A_5^2=20$ 。
不选甲，三项均由其余五人选排， $A_5^3=60$ 。

两类互斥完整，共 $20+60=80$ 。A 只数了甲不参加，C、D 与完整两支不符；不能把“甲不能参加 $A,B$ ”改成“甲必须参加 $C$ ”。

本题结论

选 B， $80$ 种。

例题 02 限制女生人数的选派

题目

某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（）

A．80种 B．90种 C．100种 D．120种

答案与解析

解析

没有不同岗位，只记录参赛者集合。女生恰有一人时， $C_4^1C_5^3=40$ ；恰有两人时， $C_4^2C_5^2=60$ 。合计 $100$ 。

不能先任选一名女生再补三人：含两名女生的同一集合，会因先选哪名女生而被重复记录。

本题结论

选 C， $100$ 种。

例题 03 六种水果中的多个限制

题目

小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种．

(1)若不买苹果，共有多少种买法？

(2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？

(3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？

答案与解析

解析

题目共有六种水果，列出的四个名称不是全部。只记种类，不记购买次序。

(1) 剔除苹果， $C_5^3=10$ 。

(2) 香橙、水蜜桃中买零种或一种： $C_4^3+C_2^1C_4^2=4+12=16$ 。

(3) 按香橙、圣女果的选入状态分三类：只买香橙，须排除圣女果与苹果，其余三种选二，有 $C_3^2=3$ ；只买圣女果，不买香橙，苹果仍可买，其余四种选二，有 $C_4^2=6$ ；两者都买，禁苹果，从余三种选一，有 $C_3^1=3$ 。合计 $12$ 。不同时买不等于把苹果永远剔除。

本题结论

(1) $10$ ；(2) $16$ ；(3) $12$ 。

2. 一份结果同时记录“谁入选”和“各任什么角色”

把成员集和岗位表分别写出；选组后安排受限成员，再排其余。有名场次与无序搭档可能同时出现在一题，不能全部按排列或全部按组合处理。

例题 04 五门学科的课代表

题目

有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．

答案与解析

解析

五门学科是五个不同岗位。

(1) 女生有且少于男生，只能为一女四男或两女三男。选组有 $C_3^1C_5^4+C_3^2C_5^3=15+30=45$ 种，每组均可任全部岗位，故 $45\times5!=5400$ 。

(2) 指定男生必选，其余从七人选四；指定男生有四个非数学岗位，其余四人全排，共 $C_7^4\times4\times4!=3360$ 。

(3) 先固定女生在语文，指定男生不能数学，也不能再占语文，只余三个可用岗位。另从六人选三并排列，共 $C_6^3\times3\times3!=360$ 。每步删掉已经占用的位置和已经入选的人。

本题结论

(1) $5400$ ；(2) $3360$ ；(3) $360$ 。

例题 05 乒乓球决赛出场阵容

题目

某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.

(1)一共有多少种不同的出场阵容？

(2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？

答案与解析

解析

按题设比赛规则计数，不把它当所有比赛的通用规则。

(1) 两场单打有先后，从五人选排为 $A_5^2=20$ ；双打从剩下三人无序选二为 $C_3^2=3$ ，共 $60$ 。双打成员互换名单顺序不形成新阵容，不能再乘 $2!$ 。

(2) $A$ 不能双打，但允许不上场。若不上场，其余四人先排两单打 $A_4^2=12$ ，余两人双打唯一；若上场，先选一场单打给 $A$ 有两种，另一场选四人之一，双打从剩三人选二，有 $2\times4\times3=24$ 。合计 $36$ 。

本题结论

(1) $60$ ；(2) $36$ 。

3. 公式运算：数因子、补项递推、解释同一对象

连乘同时核最大因子、末因子和因子总数；组合数和先找同下标相邻上标，不够就补并减回。一般恒等式可用阶乘统一分母，也可解释两边数的同一对象与两条唯一构造路径；有限试值不代替一般证明。

例题 06 连续乘积究竟有几个因子

题目

$n\in {N}^{\ast }$ ， $n<20$ ，则 $\left( 21-n\right)\cdots \left( 100-n\right)$ 等于（）

A． ${A}_{100-n}^{80}$ B． ${A}_{100-n}^{20-n}$ C． ${A}_{100-n}^{81}$ D． ${A}_{20-n}^{80}$

答案与解析

解析

因子数为 $(100-n)-(21-n)+1=80$ 。倒序从 $100-n$ 乘到 $21-n$ ，恰为 $A_{100-n}^{80}$ 。由 $n=1,\ldots,19$ ，总数 $100-n\ge81$ ，上标 $80$ 合法。

B 把端点前一个数当成因子数；C 多算一个；D 的总数 $20-n$ 小于 $80$ ，无法构成该排列数。

本题结论

选 A。

例题 07 组合数连续和

题目

${C}_{6}^{3}+{C}_{7}^{4}+{C}_{8}^{5}+{C}_{9}^{6}+{C}_{10}^{7}=$ （）

A．315 B．330 C．345 D．360

答案与解析

解析

先补 $C_6^2$ ，与 $C_6^3$ 合为 $C_7^3$ ；再依次与 $C_7^4,C_8^5,C_9^6,C_{10}^7$ 合并，得到 $C_{11}^7$ 。所以原和为

C_{11}^7-C_6^2=C_{11}^4-15=330-15=315.

每次都是同下标、相邻上标的递推。选 B 的 $330$ 就是忘记减回补项。

本题结论

选 A。

例题 08 排列组合恒等式

题目

下列命题正确的有（）

A．若 ${C}_{n}^{m}={C}_{n}^{k}$ ，则 $m=k$ B．若 ${A}_{10}^{m}=10\times 9\times \cdots \times 3$ ，则 $m=7$

C． ${A}_{n}^{m}+m{A}_{n}^{m-1}={A}_{n+1}^{m}$ D． $m{C}_{n}^{m}=n{C}_{n-1}^{m-1}$

答案与解析

解析

按通常记号取正整数 $n$ 、 $1\le m\le n$ ，A 中另有 $0\le k\le n$ 。

A 错：互补上标也可相等，例如 $C_3^1=C_3^2$ ，但 $1\ne2$ 。

B 错：从 $10$ 到 $3$ 有 $10-3+1=8$ 个因子，所以 $m=8$ 。

C 对：从 $n+1$ 个不同元素取 $m$ 个排入有名位置。按是否含新增元素分类：不含有 $A_n^m$ ；含它时先给它选位置 $m$ 种，再将其余 $m-1$ 位用原 $n$ 个元素填入，有 $mA_n^{m-1}$ 。相加得右边。阶乘法也可核：

\frac{n!}{(n-m)!}+\frac{mn!}{(n-m+1)!} =\frac{(n-m+1+m)n!}{(n-m+1)!}=A_{n+1}^m.

D 对：数“ $m$ 人集合加一名组内负责人”。先选组再选负责人为 $mC_n^m$ ；先从 $n$ 人定负责人，再从余 $n-1$ 人选 $m-1$ 位为 $nC_{n-1}^{m-1}$ 。同一结果两种唯一构造，所以相等。也可直接约阶乘。 $m=1$ 时空选、空排为一， $m=n$ 时 $0!=1$ ，边界均合法。

本题结论

选 C、D。

4. 含未知数的记号，先给定义域再解代数

每个上、下标都列整数与范围条件，全部取交；准备约去的因子先判非零及符号。组合数同下标相等要列相同、互补两支，代数解最后回到计数条件并逐一复核。

例题 09 含未知下标的不等式

题目

不等式 $3{A}_{x}^{3}\le 2{A}_{x+1}^{2}+6{A}_{x}^{2}$ 的解集为（）

A． $\left\{ 3,4,5\right\}$ B． $\left\{ 3,4,5,6\right\}$ C． $\left\{ x\mid 3\le x\le 5\right\}$ D． $\left\{ x\mid 3\le x\le 6\right\}$

答案与解析

解析

$A_x^3$ 要求整数 $x\ge3$ ，其余两记号兼容。展开后因 $x>0$ 可同除 $x$ ：

3(x-1)(x-2)\le2(x+1)+6(x-1).

移项得 $3x^2-17x+10\le0$ ，即 $(3x-2)(x-5)\le0$ ，实数解为 $2/3\le x\le5$ 。再与整数 $x\ge3$ 取交，得 $\{3,4,5\}$ 。

B 多收 $6$ ；C 把计数延伸成连续实数；D 两处都错。不能在没有符号依据时随意约去未知因子。

本题结论

选 A，解集 $\{3,4,5\}$ 。

例题 10 组合数相等的参数

题目

关于 $x$ 的方程 ${C}_{11}^{2x}={C}_{11}^{3x-4}$ 的解为（）

A． $x=3$ B． $x=4$ C． $x=3$ 且 $x=4$ D． $x=3$ 或 $x=4$

答案与解析

解析

$2x$ 、 $3x-4$ 都须为 $0$ 到 $11$ 的整数。二者之差为 $x-4$ ，所以 $x$ 也是整数。

按知识区已证的完整判据， $2x=3x-4$ 或 $2x+(3x-4)=11$ ，分别得 $x=4$ 或 $x=3$ 。回代上标为 $(8,8)$ 或 $(6,5)$ ，均合法且等值。

是一个未知数可取两种值，写“或”而不是“且”。A、B 各漏一解，C 要求同一个数同时等于 $3$ 和 $4$ ，不成立。

本题结论

选 D， $x=3$ 或 $x=4$ 。