数学期望：按概率加权与线性性质

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先找每个取值的概率，再求加权平均。均值描述平均位置，不是最可能值，也不是下一次必出现的数。

知识点

有限离散分布的加权中心

有限随机变量的不同取值为 $x_i$ 、概率为 $p_i$ ，要求 $p_i\ge0$ 且 $\sum_i p_i=1$ 。期望又叫均值、数学期望：

E(X)=\sum_i x_ip_i.

第 $i$ 类对平均的贡献是 $x_ip_i$ ，各类互斥完整，贡献相加。只有各取值等概率时，才可对“取值列表”直接作简单算术平均。若输入是频数，先除总频数变成频率权重；未经归一的加权和是总贡献，不是均值。

设最小、最大取值分别为 $u,v$ ，将 $u\le x_i\le v$ 乘非负 $p_i$ 后相加，利用权重和1，得到 $u\le E(X)\le v$ 。均值可以落在两个取值之间，不必属于支持集；单位与 $X$ 相同。重复试验中，各类频率靠近其概率时，样本平均相应靠近这个加权值，不代表单次必取均值。

函数值先变换，再按原概率加权

E(g(X))=\sum_i g(x_i)p_i.

无需先列新分布；不同 $x_i$ 若变成同一个 $g(x_i)$ ，它们的贡献直接相加即可。若另列新分布，则须合并同值概率。特别 $E(X^2)=\sum_i x_i^2p_i$ ，一般不等于 $[E(X)]^2$ 。

期望加法不要求独立

对同一试验内有限离散 $X,Y$ 和实常数 $a,b,c$ ，

E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.

单变量式来自 $\sum_i(ax_i+b)p_i=a\sum_ix_ip_i+b\sum_ip_i$ 。两变量时，把共同可能的数值对记为 $(x_l,y_l)$ 、联合概率 $r_l$ ；合并重复的 $x_l$ 或 $y_l$ 就还原边际分布，于是

\sum_l(ax_l+by_l+c)r_l=a\sum_lx_lr_l+b\sum_ly_lr_l+c\sum_lr_l.

这里没有将联合概率拆成边际概率乘积，所以不需要独立。同一个变量多次出现可直接合并系数，常量期望等于常量， $a=0$ 也合法。有限多个有依赖的指示变量的和同样能逐项取期望。

这是拓展，考试可用：无限离散分布若要使用有限实数期望及线性运算，须保证相关绝对一阶矩有限，例如 $\sum_i|x_i|p_i<\infty$ ；不能将发散量相减。本页例题均为有限分布。

考点

从分布求均值的五步

列全取值并合并同值，检查概率非负、和1。
取值与其概率对齐，逐项计算 $x_ip_i$ 后相加。
求函数值期望时改乘 $g(x_i)$ ，不改变原权重。
线性函数可先取期望再变换，一般函数不可。
核单位和最小最大界；求条件下的均值先建立条件下的完整分布，不能沿用无条件权重。

例题 01 数字差所确定的变量

题目

近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量 $X=\frac{1}{2}$ ；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量 $X=1$ ，则 $E\left( X\right)=$ （）

A． $\frac{1}{2}$ B． $\frac{2}{3}$ C． $\frac{3}{4}$ D． $\frac{5}{6}$

答案与解析

解析

均匀选二元子集，共 $\binom42=6$ 对：

数字对	差的绝对值	$X$
1617，2106	489	$1/2$
1617，2329	712	1
1617，2896	1279	1
2106，2329	223	$1/2$
2106，2896	790	1
2329，2896	567	1

小于500的两对对应概率 $1/3$ ，其余四对对应 $2/3$ ；“不小于”包括等于500。

E(X)=\frac12\times\frac13+1\times\frac23=\frac56.

D正确。A只取小值，B只取一个概率，C把两个取值等权平均，都不是指定加权。均值 $5/6$ 不在取值列表中并不矛盾。

本题结论

D，5/6。

例题 02 数值变换后的均值

题目

已知 $ξ$ 的分布列为

$ξ$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$m$

设 $η=2ξ-5$ ，则 $E\left( η\right)=$ （）

A． $\frac{2}{3}$ B． $\frac{5}{6}$ C． $\frac{19}{6}$ D． $\frac{3}{2}$

答案与解析

解析

由归一性 $m=1-1/6-1/6-1/3=1/3$ 。于是

E(\xi)=\frac16+\frac26+\frac33+\frac43=\frac{17}{6},\qquad E(\eta)=2\times\frac{17}{6}-5=\frac23.

直接验证： $\eta$ 对应取值为 $-3,-1,1,3$ ，按原概率加权为 $-3/6-1/6+1/3+3/3=2/3$ 。故A正确，其余三个值不符。 $\eta$ 是 $\xi$ 的函数，无需宣称二者独立。

本题结论

A，2/3。

参数方程同时来自归一与均值

先区分“概率参数”和“变换系数”：前者必须在 $[0,1]$ ，后者只受题设实数范围限制。列 $\sum p_i=1$ 与 $\sum x_ip_i=\mu$ ，再解方程、逐项代回。参数改变取值时要检查重合，约去因子前要分出零因子情形；仅一个均值条件通常不能唯一求多个未知概率。

可在三个取值与未知概率的完整题中练习归一、均值条件与变量变换的衔接，并按题目要求完成全部小问。

例题 03 由均值求变换系数

题目

已知随机变量X的分布列：

x	$-1$	0	1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

满足 $Y=aX+3,E\left( Y\right)=\frac{5}{3}$ ，则a的值为（）

A．4 B． $-4$ C．2 D． $-2$

答案与解析

解析

概率和为1，且 $E(X)=-1/2+0+1/6=-1/3$ 。由线性性，

E(Y)=-\frac a3+3=\frac53\ \Longrightarrow\ -\frac a3=-\frac43\ \Longrightarrow\ a=4.

回代得 $5/3$ ，选A。 $a$ 是系数而非概率，超过1合法； $a=-4,2,-2$ 分别给均值 $13/3,7/3,11/3$ ，均非题值。

本题结论

A，4。