单调模型与最值：分支、端点和实际图象

约 5641 字大约 19 分钟

用单调性求最值之前，先确认每个输入属于哪个分支，再区分“输出被某数限制”与“这个数实际取得”。倒数平移和输入加倒数的模型，从差式、取等与输出反解统一理解；图象题则以真实点和给定范围为准。

一、知识点概念与依据

1. 最大最小值是全范围的界加实际取等

指定非空输入范围 $D$ ，最大值 $M$ 同时要求：对所有 $x\in D$ 有 $f(x)\le M$ ；存在 $x_0\in D$ 有 $f(x_0)=M$ 。最小值把第一项改为 $f(x)\ge m$ ，仍须合法取等。

最值是输出，取等的 $x_0$ 是输入；多个输入取得同一最大值，也仍是一个最大值数。这是整个指定范围上的最值，不只与附近输出相比的局部高低点。

闭区间 $[a,b]$ 上递增时，对任意输入有 $f(a)\le f(x)\le f(b)$ ，两端又合法取到，所以最小 $f(a)$ 、最大 $f(b)$ ；递减时交换。开区间可能在内部取得最值，却不能自动把未包含端点的函数值当最值；半开递增区间也可能只有最小而无最大。

2. 转向点给的界来自两侧全体比较

若在 $[a,b]$ 增、 $[b,c]$ 减，则两侧每个输出均不超过 $f(b)$ ，而 $b$ 合法，故它是全范围最大值。先减后增则在 $b$ 取最小值。求另一方向的最值仍要查实际端点或各段范围，不能只看峰或谷。

原知识示意图的两种形状分别对应上述推理，虚线只标三个已命名输入的输出。用不等式给界也是相同原则：先证全体，再解取等条件回原域。删点、改开闭或缩小区间后须重新判断，旧最值可能不再取得。

3. 一次分式先化为常数加平移倒数

$f(x)=A+k/(x-h)$ 保留 $x\ne h$ 。在禁值同侧任取 $u<v$ ，两分母同号，

f(v)-f(u)=\frac{k[(u-h)-(v-h)]}{(u-h)(v-h)}=-\frac{k(v-u)}{(u-h)(v-h)}.

故 $k>0$ 时两侧分别减， $k<0$ 分别增。跨禁值时分母乘积负，方向反而改变，所以不能把两个同向分支自动称作全域同向。 $k=0$ 时原域上常值，禁值仍在，也不属于通常要求非零比例系数的反比例函数。

一般一次分式 $F=(px+q)/(rx+s)$ ，若 $r\ne0$ ，写

px+q=\frac p r(rx+s)+q-\frac{ps}{r},

F=\frac p r+\frac{rq-ps}{r^2}\frac1{x+s/r}.

这里 $h=-s/r$ 、 $k=(rq-ps)/r^2$ ， $r^2>0$ 。实际题通常逐项分离即可，不必死记字母； $r=0$ 时须按常分母的一次/常函数或零分母无定义另判。区间跨禁值时，不能代无定义点或只比外侧两端就称全域最值。

4. 反方向的一次分式仍用同一证明

原两问练习 $f(x)=(2x-3)/(x+1)=2-5/(x+1)$ ，先排 $-1$ 。任取 $-1<u<v$ ，展开通分分子

(2v-3)(u+1)-(2u-3)(v+1)=5(v-u),

所以 $f(v)-f(u)=5(v-u)/[(u+1)(v+1)]>0$ ，符合题目要求的定义法证明，不只引用图象。整个 $[1,4]$ 在右侧且闭，因而 $f(1)\le f(x)\le f(4)$ 。计算 $f(1)=-1/2,f(4)=1$ ，最小、最大均在合法端点取得。

这个短例保留原两问完整计算和负余常数的增方向；下方完整例01给正余常数减方向并进一步反求变动端点，方法相同但两种方向都不省略。

5. 输入加倒数的方向取决于参数与分支

$H(x)=x+c/x$ 先保留 $x\ne0$ ，其中 $c$ 对每个函数是固定参数。在同一半轴任取 $u<v$ ， $uv>0$ ，

H(v)-H(u)=(v-u)+\frac{c(u-v)}{uv}=(v-u)\left(1-\frac c{uv}\right).

$c\le0$ 时两半轴分别增。 $c=0$ 是去掉零输入的 $H=x$ ，不是另一个全实数定义域的恒等函数。 $c<0$ 不能写实数转向点 $\sqrt c$ 。

$c>0$ 时记 $r=\sqrt c$ ：

合法输入段	任意有序输入的乘积	输出差	方向
$(-\infty,-r]$	$uv>c$	正	增
$[-r,0)$	$0<uv<c$	负	减
$(0,r]$	$0<uv<c$	负	减
$[r,+\infty)$	$uv>c$	正	增

两输入不同，所以即使一个为转向点，乘积仍严格偏离 $c$ 。这也是合法端点可以加入的原因。不能将跨零的两段合为一个单调区间。

反求单调参数时仍检查任意输入乘积的真实范围。比如 $r\le u<v$ 、 $r>0$ 时 $uv>r^2$ ，虽可逼近 $r^2$ 却不取得，因此要求差严格正仍可能允许参数 $c=r^2$ 。不应把严格方向机械改为参数严格不等，也不能把某个区间的参数答案直接换给另一区间。

6. 对勾的界与整条射线分别证明

$c>0,x>0$ 时，基本不等式给 $x+c/x\ge2\sqrt c$ ，等号 $x=\sqrt c$ 。负输入令 $t=-x>0$ ，则 $H=-(t+c/t)\le-2\sqrt c$ ，等号 $x=-\sqrt c$ ，负侧是最大值。

要证明每个候选输出 $y$ 都可达，解 $x^2-yx+c=0$ 。 $|y|\ge2\sqrt c$ 保证实根，根积 $c>0$ 保证同号非零，根和 $y$ 决定两根所在正负分支，所以正侧取遍 $[2\sqrt c,+\infty)$ ，负侧取遍 $(-\infty,-2\sqrt c]$ 。

$c<0$ 时任意实 $y$ 的判别式 $y^2-4c>0$ ，根积负，恰有一正一负非零根，两个半轴各取遍全实数。 $c=0$ 时 $H=x,x\ne0$ ，值域是去零实数。零分支不能与负参数分支混写。

输入平移后先换内部变量及对应范围；输出加常数只平移范围，同一输入段方向不变，负倍数再反向。限制区间时先与真实单调段相交，再比较可取端点与转向点；还原目标根时也要检查是否落在这个限制区间。

7. 同法短例保留平移、负倍数和完整范围

原三问 $x+1/x-2$ ：定义域排零；由差 $(v-u)(1-1/(uv))$ ，增段是 $(-\infty,-1]$ 、 $[1,+\infty)$ ，减段是 $[-1,0)$ 、 $(0,1]$ 。正侧 $x+1/x\ge2$ ，等号唯一合法 $x=1$ ，故最小值零。原解写相应开段是正确子区间，本手册补到最大段，并非把它误判成错误。

另一原选择题 $x>0$ 、 $F(x)=2-x-4/x$ ，由 $x+4/x\ge4$ 得 $F\le-2$ ， $x=2$ 取等。因此最大值 $-2$ 。从差式看，在 $(0,2]$ 增、 $[2,+\infty)$ 减，两侧均可接到 $2$ 。原候选最大 $6$ 超过所有输出；最小 $-6$ 被合法 $x=8$ 的输出 $-13/2$ 否定；最小 $2$ 连实际输出都不是。并且 $F(x)<2-x$ ，任意有限下界均能被足够大正输入突破，故没有最小值。

两个短例与完整例02/03共享模型，但原三问全部结论、负倍数方向、无下界证据及选项差异都在正文保留。

8. 读图先限制输入，再读实际高度

定义域问哪些横坐标有实际点，值域问哪些高度有实际点，最值问最高最低高度是否实际取得。空档不补，渐近线不是曲线；无界须来自题设明确趋势，不因图片没画完就猜。一个空心点只排该点，该高度可能在另一处取得。

单调区间从左向右比较实际高度，在转向、分段边界与输入缺口处分开；全域单调还需跨段比较。横轴投影缺口与纵轴投影缺口是不同问题。水平线 $y=m$ 有交点恰表示 $m$ 是实际输出，交点数表示其输入来源数，多个来源不违反函数单值定义。

明确刻度、标记和题设完整曲线是依据，不量未标比例；分段式作图先算真点、检查分界归属，再用代数验证方向，不能用画歪的图证明数值。最大区间可含转向端点，但不得越过它继续同向。

二、考点方法与例题

方法一：模型先判参数，限制范围再取候选

保留分母禁值，分离或换元归为模型，写任意两输入差与符号依据。先确认区间在同一分支，或分成转向点两侧，再比较实际合法候选输出。参数端点非空、单点、开闭另查；输出范围用反解补足取遍。

方法二：图象题逐项给点、范围或反例

先列题设实际输入部分，读合法点的高度和完整升降支。判断最值时给实际取等点；判断没有最值时说明每个候选仍可更小或更大。判断唯一输入时数水平交点，不把竖线唯一性搬过来。选择题逐项核，不只认出一个看似正确项。

例题 01 分式方向与变动闭端点

题目

已知 $f(x)=\frac{2x+1}{x-2}$

(1)根据单调性的定义证明函数 $f(x)$ 在区间 $(2,+\infty )$ 上是减函数

(2)若函数 $g(x)=\frac{2x+1}{x-2},x\in [3,a]$ （ $a>3$ ）的最大值与最小值之差为1，求实数 $a$ 的值

答案与解析

解析

（1）先保留 $x\ne2$ ，分子 $2x+1=2(x-2)+5$ ，得 $f=2+5/(x-2)$ 。题目要求定义证明，任取 $2<u<v$ ：

\begin{aligned} &(2u+1)(v-2)-(2v+1)(u-2)\\ &=2uv-4u+v-2-(2uv-4v+u-2)=5(v-u). \end{aligned}

故 $f(u)-f(v)=5(v-u)/[(u-2)(v-2)]>0$ ，右侧递减。

（2） $a>3$ 保证非退化闭段 $[3,a]$ 全在右侧。递减给每个输出夹在 $g(a)$ 与 $g(3)$ 间，两端都取到；最大 $g(3)=7$ ，最小 $g(a)=(2a+1)/(a-2)$ 。

7-\frac{2a+1}{a-2}=1\iff\frac{2a+1}{a-2}=6.

$a>3$ 保证分母非零，乘回得 $2a+1=6a-12$ ，所以 $a=13/4>3$ 。回代 $g(13/4)=6$ ，最大减最小为 $7-6=1$ ，没有增根。

本题结论

（1）在 $(2,+\infty)$ 上严格递减；（2） $a=13/4$ 。

例题 02 包含正负输入的分式值域

题目

函数 $f(x)=\frac{{x}^{2}-x+4}{x}$ 的值域为（）

A． $\left[ 3,+\infty \right)$ B． $\left( -\infty ,-5\right]$

C． $\left( -\infty ,-5\right]\cup \left[ 3,+\infty \right)$ D． $\left[ -1,+\infty \right)$

答案与解析

解析

原分母排零，逐项相除为 $f=x+4/x-1$ ，题目未限制正输入。

$x>0$ 时 $x+4/x\ge4$ ，等号 $x=2$ ，所以 $f\ge3$ ， $f(2)=3$ 。 $x<0$ 时令 $t=-x>0$ ，得 $f=-(t+4/t)-1\le-5$ ，等号 $x=-2$ ，这是负侧最大值。

任意目标 $v\ge3$ 或 $v\le-5$ ，令 $w=v+1$ ，则 $|w|\ge4$ 。方程 $x^2-wx+4=0$ 判别式 $w^2-16\ge0$ ，实根积为 $4$ 故均非零；和为 $w$ ，所以对应正目标支得正根、负目标支得负根。回代 $x+4/x-1=v$ ，两条射线均取遍，且分支界已排除中间 $(-5,3)$ 。

A 只列正支，B 只列负支，均漏；C 完整；D 多收不可能的 $-1$ 并漏负支。原解在正支中说靠近零时输出向上无界，应限于零右侧，不能扩大到左侧；本题完整取得用合法根证明，不需要凭示意图补中间值。

本题结论

C， $(-\infty,-5]\cup[3,+\infty)$ 。

例题 03 和差平方、转向与区间最大值

题目

已知函数 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ .

(1)若 $f({x}_{0})=\sqrt{19}$ ，求 ${x}_{0}-\frac{4}{{x}_{0}}$ 的值；

(2)判断 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上的单调性并利用定义法证明；

(3)求 $f(x)$ 在 $[1,t]$ 上的最大值.

答案与解析

解析

（1）平方给候选，再证两符号可达。原 $x_0\ne0$ ，由

(x_0+4/x_0)^2=x_0^2+8+16/x_0^2=19

得 $x_0^2+16/x_0^2=11$ ，所以 $(x_0-4/x_0)^2=11-8=3$ ，候选为 $\pm\sqrt3$ 。原和式又等价 $x_0^2-\sqrt{19}x_0+4=0$ ，两根 $(\sqrt{19}\pm\sqrt3)/2$ 均正非零。由原关系 $x_0-4/x_0=2x_0-\sqrt{19}$ ，两个根分别给两符号，所以不能只留正值。

（2）按定义证明。任取同一正段 $0<u<v$ ，

f(v)-f(u)=(v-u)+\frac{4(u-v)}{uv}=\frac{(v-u)(uv-4)}{uv}.

$0<u<v\le2$ 时 $uv<4$ ，差负； $2\le u<v$ 时 $uv>4$ ，差正。故最大减段 $(0,2]$ 、最大增段 $[2,+\infty)$ 。原解开段正确但可补转向端点；整个正半轴不是一个方向。

（3）先查非空。 $t<1$ 时 $[1,t]$ 为空，没有最大值； $t=1$ 仅一个输入，最大 $5$ 。 $1<t\le2$ 时整段减，最大 $f(1)=5$ 。 $t>2$ 时，每个输入在左减段或右增段，分别不超过 $f(1)$ 或 $f(t)$ ，所以最大来自两个合法端点。

f(t)-f(1)=t+\frac4t-5=\frac{(t-1)(t-4)}t.

$t>2$ 时差号由 $t-4$ 决定：小于四左端大，等于四两端同为五，大于四右端大。合并得到

f_{\max}=\begin{cases}5,&1\le t<4,\\t+4/t,&t\ge4.\end{cases}

原答案首段写 $1<t<4$ ，漏单点 $t=1$ ；原题未排该值，故明确补齐，不静默改题。 $t=4$ 放任一分支均同值，但两端同时取得须保留。

本题结论

（1） $\pm\sqrt3$ ；（2） $(0,2]$ 减、 $[2,+\infty)$ 增；（3） $1\le t<4$ 时最大值 $5$ ， $t\ge4$ 时为 $t+4/t$ ； $t<1$ 无最大值。

例题 04 限制输入后重新读图

题目

如图是函数 $y=f\left( x\right),x\in \left[ -4,3\right]$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A． $f\left( x\right)$ 在 $\left[ -4,-1\right]$ 和 $\left[ 1,3\right]$ 上单调递减

B． $f\left( x\right)$ 在区间 $\left( -1,3\right)$ 上的最大值为3，最小值为-2

C． $f\left( x\right)$ 在 $\left[ -4,1\right]$ 上有最大值2，有最小值-1

D．当直线 $y=m$ 与函数 $y=f\left( x\right),x\in \left[ -4,3\right]$ 图象有交点时 $-2<m<3$

答案与解析

解析

题设域 $[-4,3]$ 规定两端允许，图示关键标记为 $(-4,2),(-1,-2),(1,3),(3,-1)$ 。端点归属依据题设，不要求图另画明显实心圆点，不量未标点的比例。

A：从 $-4$ 到 $-1$ 持续下降，从 $1$ 到 $3$ 持续下降，两段分别减，正确。合法转向点可作为该段端点。

B：改成 $(-1,3)$ 后，输入 $1$ 仍在内部，最大 $3$ 取得；最低高度 $-2$ 只在被删的 $-1$ 取得。保留的右邻上升曲线能给任意贴近该高度的更低输出，所有其他点又严格高于它，因此没有最小值，不是最小 $-2$ 。

C： $[-4,1]$ 仍含两个转向点，最大 $3$ 、最小 $-2$ ，不是端点输出 $2$ 与错误的 $-1$ 。D：水平线有交点表示高度在真实值域 $[-2,3]$ 中；两界分别在 $-1,1$ 取得，正确条件须为 $-2\le m\le3$ ，原严格号漏边界。

本题“内部高度连续出现”由题目给出的完整曲线读取，并非一般单调性推出。选 A。

本题结论

A。

例题 05 有空档的输入与水平线交点

题目

如图所示是函数 $y=f\left( x\right)$ 的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）

左曲线由横坐标负4的实点升至(0,5)，右曲线由(1,0)升高并逼近横坐标4处竖直虚线

A．函数 $f\left( x\right)$ 的定义域为 $\left[ -4,4\right)$

B．函数 $f\left( x\right)$ 的值域为 $\left[ 0,+\infty \right)$

C．此函数在定义域内是增函数

D．对于任意 $y\in \left[ 5,+\infty \right)$ 的，都有唯一的自变量x与之对应

答案与解析

解析

左段实际输入 $[-4,0]$ ，右段 $[1,4)$ ，中间 $(0,1)$ 没有点。题设说右曲线逼近竖直虚线而永不相交， $4$ 不收入；A 补了空档，错误。

右段从实点 $(1,0)$ 升起，给定完整曲线在四前向上无界，取得所有非负高度；左段未增加负输出，故值域 $[0,+\infty)$ ，B 对。这里依图给出的连续曲线与明确趋势，不只因曲线画到边框就猜无界。

C：即使各段都增，跨段有 $0<1$ 却 $f(0)=5>f(1)=0$ ，否定全域增。D：输出 $5$ 既由左段的 $0$ 产生，也由右段一点产生，不唯一；只有严格大于五时左段不再有对应高度，右段严格升支给唯一来源。

多个输入同一输出仍是函数，只是不满足D另加的唯一输入要求。原输入端点四开，不意味着值域零也开。

本题结论

B。

例题 06 作出两段曲线并确定完整单调区间

题目

已知函数

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}3-{x}^{2},x\in \left[ -1,2\right]\\x-3,x\in \left( 2,5\right]\end{aligned}\right.

(1)在如图给定的直角坐标系内画出 $f\left( x\right)$ 的图象；

(2)根据图象写出 $f\left( x\right)$ 的单调区间，并指出相应的单调性.

答案与解析

解析

（1）先定实际点与分界归属。 $[-1,2]$ 上画 $y=3-x^2$ 的相应部分，明确点 $(-1,2),(0,3),(2,-1)$ 均由该段收入。 $(2,5]$ 上画 $y=x-3$ ，该段不含二，但延长到二也是 $-1$ ；真实 $(2,-1)$ 已由前段给出，合并函数在这里有值，终点 $(5,2)$ 合法。

坐标网格中抛物线从(-1,2)经(0,3)降至(2,-1)，接上升直线至(5,2)，图中端点由给定分段范围确定

完整保留原答案图。图上接合点主要以线段会合呈现，不虚称另有清晰实心圆点；上述归属由给定分段式确定。空白作图网格不作为必要题图重复。

（2）方向还可以代数核验。抛物线的输出差为 $-(v-u)(u+v)$ ， $-1\le u<v\le0$ 时为正， $0\le u<v\le2$ 时为负，所以左增段 $[-1,0]$ 、中减段 $[0,2]$ 。右直线差 $v-u>0$ ，原在 $(2,5]$ 增；真实 $f(2)=-1$ 与其延长值相同，且每个 $x>2$ 给 $x-3>-1$ ，所以可扩为 $[2,5]$ 。

完整最大增段 $[-1,0]$ 、 $[2,5]$ ，最大减段 $[0,2]$ 。原解写减段 $(0,2)$ 是正确子区间，只是未给可纳入的两个端点，不应将正确小区间说成数学错误。

本题结论

图象如解析；递增区间 $[-1,0]$ 、 $[2,5]$ ，递减区间 $[0,2]$ 。