三角图象的平移、伸缩与逆变换

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把图象的点怎样移动，翻译成新横坐标怎样找回旧横坐标。每一步只作用于当前函数，先保留中间式再展开；这样既能避免方向猜错，也能看清为什么操作顺序不能随意交换。

一、知识点概念与依据

1. 由新点找旧点，才得到新函数式

设旧点横坐标为 $u$ ，旧函数为 $g$ 。右移 $h>0$ 后，新横坐标 $x=u+h$ ，故 $u=x-h$ ，新函数是 $g(x-h)$ 。括号中的减号来自逆向寻找旧点，不是凭符号猜方向。

图象上点的变化	新旧横坐标关系	新函数
右移 $h>0$	$x=u+h$	$g(x-h)$
左移 $h>0$	$x=u-h$	$g(x+h)$
横坐标变为原来的 $s>0$ 倍	$x=su$	$g(x/s)$
横坐标变为原来的 $1/s$ 倍（ $s>0$ ）	$x=u/s$	$g(sx)$
纵坐标乘 $a\ne0$	横坐标不变	$ag(x)$

上表第一种横向变化在 $s>1$ 时伸长、 $0<s<1$ 时缩短，第二种相反。纵坐标乘0会变成常函数，不能由终图唯一逆还原原函数。

横向伸缩不改振幅，纵向正比例缩放不改周期；纵向负倍还含关于横轴的反射。把横坐标伸长误写成 $g(sx)$ ，实际执行的是缩短。

2. 到达同一函数的两条路线

从 $y=\sin x$ 到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ ，此处约定 $A>0,\omega>0$ 。带符号横移为正表示右移、为负表示左移：

步骤	先平移再伸缩	先伸缩再平移
1	横移 $-\varphi$ ，得 $\sin(x+\varphi)$	横坐标变为 $1/\omega$ 倍，得 $\sin\omega x$
2	横坐标变为 $1/\omega$ 倍，得 $\sin(\omega x+\varphi)$	横移 $-\varphi/\omega$ ，得 $\sin[\omega(x+\varphi/\omega)]$
3	纵坐标乘 $A$	纵坐标乘 $A$

第一路线的位移随后也被横向缩放，故两路线所需平移距离不同。两路线到达同一终式，不意味着保持同样距离就能交换操作。

原资料两条路线：先平移后伸缩用初相，先伸缩后平移用初相除以相位系数，最后纵坐标乘振幅

上图适用于正振幅、正相位系数约定。先看箭头的起点和当前式，再决定下一步替换。

3. 初相变化与横移距离之间有系数

本段沿用 $A>0,\omega>0$ 的非退化约定。若当前函数已是 $g(x)=A\sin(\omega x+\varphi_0)$ ，右向带符号移动 $h$ 后为

g(x-h)=A\sin(\omega x+\varphi_0-\omega h).

欲得到同振幅同相位系数、初相为 $\varphi_1$ 的函数，比较整条正弦波时应允许整周期等价：

\varphi_0-\omega h=\varphi_1+2k\pi,\qquad h=\frac{\varphi_0-\varphi_1-2k\pi}{\omega},\quad k\in\mathbb Z.

$h>0$ 右移， $h<0$ 左移。取 $k=0$ 给一个直接代表；求最小正位移时，还要在等价位移中按题给方向和大小筛选。初相是角量，移动距离是输入量，两者经 $\omega$ 联系，不能直接混为一谈。

4. 求原图须倒序取逆

若先横向伸缩、再平移才得到终图，应先撤销平移，再撤销伸缩。每次撤销最后发生的操作，才会回到正确中间式。平移一般不能与横向伸缩交换，因为一次替换中的横坐标系数会影响下一次位移带来的相位变化。

比较两个答案要比较整体函数，不仅比较书写形式。初相相差 $2k\pi$ 可表示同一函数；正弦与余弦也可能经诱导公式等价。振幅或最小周期不同则已足以排除。

二、考点方法与例题

1. 直接横移：代入整个自变量

先给原函数起一个名字 $g$ ，左移写 $g(x+h)$ ，右移写 $g(x-h)$ 。把相位中的整个 $x$ 替换后再展开，与目标比较相位差；不要只在原括号末尾加减一个距离。

例题 01 相位差与实际横移

题目

要得到函数 $y=3\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的图象，只需将 $y=3\sin 2x$ 的图象（）

A．向左平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位 B．向右平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位

C．向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位 D．向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位

答案与解析

解析

记 $g(x)=3\sin2x$ 。若向右移动 $h$ ，得到 $g(x-h)=3\sin(2x-2h)$ 。比较目标相位，取直接代表 $2h=\pi/4$ ，得 $h=\pi/8$ 。

选项	实际得到的相位	是否符合
A	$2x+\pi/4$	方向相反
B	$2x-\pi/4$	正确
C	$2x+\pi/2$	方向与相位差均不符
D	$2x-\pi/2$	漏除相位系数2

本函数的周期为 $\pi$ ，这四项相位差也并非相差 $2k\pi$ 的等价表示；只有B得到目标曲线。

本题结论

选B，向右平移 $\pi/8$ 。

2. 求原式：逆向求解后正向反查

标出“原函数 → 第一步 → 第二步 → 已知终式”。
从终式开始，倒序撤销每一步。
将求得原式按原顺序正向做一遍，核是否回到终式。
检查横向伸缩只改横距，平移不改周期，纵向倍率只改高度。

例题 02 从终图逆向恢复函数

题目

把函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin x$ 的图象，则 $f(x)=$ （）

A． $\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)$ B． $\sin \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}\right)$

C． $\sin \left( 2x-\frac{\pi }{6}\right)$ D． $\sin \left( 2x-\frac{\pi }{3}\right)$

答案与解析

解析

原顺序为“横坐标伸长2倍，再左移 $\pi/6$ ”。先撤销最后左移，把 $\sin x$ 右移同距离，得 $\sin(x-\pi/6)$ ；再撤销伸长，把横坐标缩短为一半，即用 $2x$ 找原输入，得到

f(x)=\sin(2x-\pi/6).

正向复核：

\sin(2x-\pi/6) \ \longrightarrow\ \sin(x-\pi/6) \ \longrightarrow\ \sin(x+\pi/6-\pi/6)=\sin x.

所以C正确。A、B的原相位系数是 $1/2$ ，伸长后变为 $1/4$ ，后续平移不会把相位系数改回1；D伸长后为 $\sin(x-\pi/3)$ ，再左移得 $\sin(x-\pi/6)$ ，仍未消去初相。

本题结论

选C， $f(x)=\sin(2x-\pi/6)$ 。

3. 连续操作：始终保留当前式

给定操作顺序时，一次只做一步，上一行的结果就是下一行的起点。若相位含 $x/3$ ，左移距离 $h$ 在相位中只增加 $h/3$ ；下一步横向伸缩替换当前式中的 $x$ ，不会再凭空把常数项也乘一遍。

例题 03 先平移后横向伸长

题目

把函数 $y=\sin \left( \frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（）

A． $y=\sin \left( \frac{x}{6}+\frac{\pi }{12}\right)$ B． $y=\sin \left( \frac{x}{6}-\frac{\pi }{12}\right)$

C． $y=\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{12}\right)$ D． $y=\sin \left( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)$

答案与解析

解析

第一步左移 $\pi/4$ ，代入整个 $x+\pi/4$ ：

\sin\left(\frac{x+\pi/4}{3}-\frac\pi6\right) =\sin\left(\frac x3+\frac\pi{12}-\frac\pi6\right) =\sin\left(\frac x3-\frac\pi{12}\right).

第二步横坐标放大2倍，用 $x/2$ 找回旧输入，得

y=\sin\left(\frac{x/2}{3}-\frac\pi{12}\right) =\sin\left(\frac x6-\frac\pi{12}\right).

B正确。A的横向系数正确但初相符号错误；C、D把横坐标伸长误写成自变量乘2，实际执行了横向缩短，相位系数不符。

交换顺序会怎样？若先放大，得 $\sin(x/6-\pi/6)$ ；再左移同样距离，得 $\sin[(x+\pi/4)/6-\pi/6]=\sin(x/6-\pi/8)$ ，与本题结果不同。相位常数相差 $\pi/24$ 而非 $2k\pi$ ，不能认为曲线仍一样。

本题结论

选B， $y=\sin(x/6-\pi/12)$ 。