比较大小与分式证明

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比较不是看式子的外形，而是把目标变成符号可控的差或商。遇到根式差先考虑有理化，遇到成对乘积先考虑提取共同差；分式同增减与公共分母又把这些基本方法连接成完整证明。

一、知识点概念与依据

1. 作差只需两式有意义，不要求同号

比较 $U,V$ ，固定作 $U-V$ ：差正、零、负分别对应大于、等于、小于。先整理完整差，再判断符号；不能只比较某一项的系数。

多项式常用因式分解或配方。例如 $M=2a(a-2)$ ， $N=(a+1)(a-3)$ ，

M-N=2a^2-4a-(a^2-2a-3)=a^2-2a+3=(a-1)^2+2>0.

所以所有实数 $a$ 都有 $M>N$ ，不仅是 $a\ne1$ ；常数 $2$ 使等号根本不可能。展开时括号前的负号必须分配给每项。一般差为 $C(t-h)^2+k$ 时，系数 $C$ 、常数 $k$ 和平方能否为零都影响符号； $C>0,k=0$ 还须 $t\ne h$ 才严格正， $k<0$ 或 $C<0$ 时不能只凭有平方就判正。知识库指出旧比较表曾将 $a<b$ 对应的差写成零；按同减 $b$ 的依据，正确是 $a-b<0$ 。

分式作差的一般形式为

\frac PQ-\frac RS=\frac{PS-RQ}{QS},\qquad Q,S\ne0.

通分是原定义域上的恒等式，不要求分母为正；但根据分子符号判断整个差，必须同时判断 $QS$ 。若是直接同乘公共分母，负乘数还会改变不等号方向。

2. 作商须在返回时检查整个除数

若 $V\ne0$ ，

\frac UV-1=\frac{U-V}{V}.

完整除数	$U/V<1$	$U/V=1$	$U/V>1$
$V>0$	$U<V$	$U=V$	$U>V$
$V<0$	$U>V$	$U=V$	$U<V$

商应与 $1$ 比，不是与 $0$ 比；商的正负只告诉两式是否同号。作商不要求 $U$ 正，但要知道 $V$ 非零及其符号。若两式都正，通常最容易应用。原字母为负，不代表一个含负数的分式也负；应判断完整的 $V$ 。

例如 $a<b<0$ ，设 $U=1/a,V=1/b$ 。此时 $V<0$ ，且 $U/V=b/a<1$ ，最后同乘负数应得 $U>V$ ，不是 $U<V$ 。若 $V=0$ ，根本不能走作商这一步，可改作差。

3. 根式差有理化，先核分母存在

当 $s,t\ge0$ 且不同时为零，

\sqrt s-\sqrt t=\frac{s-t}{\sqrt s+\sqrt t}.

依据是同乘共轭式后，分子成为 $s-t$ ；根号和严格正才能作分母。若 $s=t=0$ ，原差为零，需直接处理，不能写成 $0/0$ 。

两个根式差的被开方数差相同时，有理化后分子相同，比较分母更方便。例如 $c>1$ ，

x=\sqrt{c+1}-\sqrt c=\frac1{\sqrt{c+1}+\sqrt c},\qquad y=\sqrt c-\sqrt{c-1}=\frac1{\sqrt c+\sqrt{c-1}}.

两个分母都正，前者较大，所以 $x<y$ 。也可作商， $x/y$ 等于后一个分母除以前一个分母，严格小于 $1$ ，再由 $y>0$ 返回 $x<y$ 。两种方法的符号依据相同。若有理化后同分子为负数，正分母越大则分式越大；同分子为零时都为零。分子不同则须重新作差或作商，不能照套此比较。

若改用平方比较两个根式和，先证明两和非负，再平方，才能从平方差恢复原顺序；平方不能在任意实数上保序。

4. 等价变形与分析法的回程

等式表示两边同值，前提是两边表达式都有意义；等式可交换两边，且 $A=B,B=C$ 可传递得 $A=C$ 。恒等式在指定范围内处处成立，方程则要求求出使等式成立的允许值。两边同加同减可逆；同乘非零数可逆；同乘零会把不同量混同。含未知因子若可能为零，约去前先分零与非零两支；新条件若只是必要条件，所得候选须回代原式。约分、去分母都须保留原分母非零，不能把原无定义值作为新解。

平方可能丢失符号： $u=v$ 推出 $u^2=v^2$ ，反向只能推出 $u=v$ 或 $u=-v$ ；只有补足同号等条件才能恢复。实数开方检查非负，且 $\sqrt{u^2}=\lvert u\rvert$ 。

证明目标 $H$ 时，从“要证 $H$ ，只需证 $G$ ”出发，最后必须有 $G\Rightarrow H$ 的回程。若每步等价，可以逆向恢复；若只证明 $H\Rightarrow G$ ，即使 $G$ 为真也不能证明 $H$ 。每个乘除因子的符号与非零依据要在变形当时交代。

5. 分子分母同增，分数向 1 靠近

这里的比可以是正实数之比，不限整数分数。同增不同于扩分：同乘非零数保持比值，同加一般不保持。设 $p,q,m>0$ 。同加 $m$ 后的差为

\frac{p+m}{q+m}-\frac pq=\frac{m(q-p)}{q(q+m)}.

所以 $p<q$ 时增大， $p=q$ 时不变， $p>q$ 时减小。也可看离 $1$ 的距离： $(p+m)/(q+m)-1=(p-q)/(q+m)$ ，符号未改、绝对距离缩小。

同减须另查分母：若 $0<m<q$ ，

\frac{p-m}{q-m}-\frac pq=\frac{m(p-q)}{q(q-m)}.

因此真分数同减会变小，假分数同减会变大。若还要求减后的分数正，要再有 $m<p$ ； $m=p$ 时分子为零仍可比较， $m=q$ 时无定义， $m>q$ 时分母变负，不能沿用刚才方向。

“加纯糖”同时增加糖量与总质量；“加水”只增加总质量；“倒掉一部分均匀糖水”按相同比例减少糖和水，浓度不变。这些不是同一种代数操作，必须先确认分子、分母各表示什么。

6. 公共分母要为两边界分别构造

正分式的分母若由同一组正量组成，设总和为 $T$ 。下界常保留正分子，把分母扩大到 $T$ ，得到更小的分式；上界不能继续只扩大分母，需要同时改变分子，使差确定为正。

例如 $x,y,z>0$ ， $T=x+y+z$ ，

\frac x{x+y}>\frac xT,\qquad \frac{x+z}{T}-\frac x{x+y}=\frac{yz}{T(x+y)}>0.

这分别给同一项的下、上比较式。其余两项也逐一对应，才能相加得到整数界。循环分母 $x+y,y+z,z+x$ 与“各自另外两数之和”不是同一种结构；后者的上界可能还依赖三角形条件。

7. 平均单价按总费用除以总数量

两次单价为 $a,b>0$ 。每次固定数量 $q>0$ ，均价为 $(qa+qb)/(2q)=(a+b)/2$ ；每次固定费用 $m>0$ ，总数量为 $m/a+m/b$ ，均价为 $2m/(m/a+m/b)=2ab/(a+b)$ 。

两种均价的差为

\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0.

相等恰在 $a=b$ ，严格比较须有这两次单价不同。固定量或金额约掉，是因为各自策略两次使用相同的正量，不表示可以跳过真实数量权重；本结论只比较题定均价，不扩展成对其他购买结果的判断。

二、考点方法与例题

1. 作差后找到平方、正积或已知的差

先明确左右两式，再展开括号、合并同类项；看能否配成平方加正数，或提出 $a-b$ 、 $c-d$ 等已有符号的因素。从题设推出正差不意味着正差反过来恢复题设全部条件，只有每步可逆才写等价。比较三个数只需连成足够的两条关系，但每个严格号仍要说明非零依据。

例题 01 把两个差连成完整次序

题目

互不相等的实数 $a, b, c$ 满足： $c-b=4-4a+{a}^{2}$ 且 $a+{b}^{2}+1=0$ ，则下列关系成立的是（）

A． $b>a>c$ B． $b>c>a$ C． $c>a>b$ D． $c>b>a$

答案与解析

解析

由 $a+b^2+1=0$ 得 $a=-b^2-1\le-1$ ，因此 $a\ne2$ ，从而

c-b=a^2-4a+4=(a-2)^2>0.

这里即使不借“互不相等”，也能由另一条件排除平方为零。

再比较 $b$ 与 $a$ ：

b-a=b+b^2+1=\left(b+\frac12\right)^2+\frac34>0.

于是 $c>b>a$ 。两条差均对全部题设对象成立，不需要额外猜 $b$ 正负。

本题结论

D， $c>b>a$ 。

例题 02 新记号先展开，再核查强弱选项

题目

若规定

\left| \begin{aligned}a\\c\end{aligned}\right.\left. \begin{aligned}b\\d\end{aligned}\right|=ad-bc

（ $a,b\in R$ ，且 $a\ne b$ ），则

E=\left| \begin{aligned}a\\b\end{aligned}\right.\left. \begin{aligned}-b\\a\end{aligned}\right|

与

F=\left| \begin{aligned}a\\b\end{aligned}\right.\left. \begin{aligned}-a\\b\end{aligned}\right|

的大小关系为（　　）

A． $E<F$ B． $E>F$ C． $E\le F$ D． $E\ge F$

答案与解析

解析

题目竖线组成的两列记号按给定规则计算，不是绝对值，也不是集合元素个数。第一式的两列为 $(a,b)$ 、 $(-b,a)$ ，所以 $E=a\cdot a-(-b)\cdot b=a^2+b^2$ ；第二式两列为 $(a,b)$ 、 $(-a,b)$ ，所以 $F=ab-(-a)b=2ab$ 。

E-F=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2>0,

严格号由 $a\ne b$ 保证，故 $E>F$ 。

原选项存在强弱重叠。 B 的 $E>F$ 正确，D 的 $E\ge F$ 也必然成立；若按通常“正确关系”理解，B、D 都正确。原答案只给 B，对应较强且精确的关系，但题干未写“最强关系”，不能把 D 判假。

本题结论

$E>F$ ；按原文字 B、D 均真，若问最强关系才仅选 B。

例题 03 字母为负与差为正是不同信息

题目

已知 $a>b>1$ ， $d<c<-2$ ．

(1)求证： $\left( a-1\right)\left( b-1\right)\left( c+2\right)\left( d+2\right)>0$ ；

(2)求证： $ac+bd>bc+ad$ ．

答案与解析

解析

（1） $a>b>1$ 给 $a-1>0,b-1>0$ ； $d<c<-2$ 给 $c+2<0,d+2<0$ 。前两项积正，后两项积也正，四项相乘严格正。

（2）对交叉配对的和固定作差：

ac+bd-bc-ad=c(a-b)-d(a-b)=(a-b)(c-d)>0.

这里 $a-b>0,c-d>0$ ，所以目标成立。第二问不要求 $c,d$ 本身正，用的是它们差为正；不能把第一问的符号分析压成一句“同向相乘”。

本题结论

两问均得证；第二问的正差为 $(a-b)(c-d)$ 。

2. 根式差先有理化，分式商先判整体符号

有理化时检查共轭分母严格正，若分子相同就比较分母；作商时先确保除数非零，若用到幂的约分或估计，须明确同底幂规则及所需先备，不凭未经证明的大小跳步。化简后与 $1$ 比，再按原完整除数的符号返回。若另用平方比较，要先写两边非负，不能省略恢复顺序的理由。

例题 04 相同分子对应不同正分母

题目

若 $p=\sqrt{a+6}-\sqrt{a+4}$ ， $q=\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}$ ，其中 $a\ge 0$ ，则 $p,q$ 的大小关系是（　　）

A． $p<q$ B． $p=q$ C． $p>q$ D．不确定

答案与解析

解析

方法一： $a\ge0$ 保证所有根号存在且两共轭分母正。有理化得

p=\frac2{\sqrt{a+6}+\sqrt{a+4}},\qquad q=\frac2{\sqrt{a+5}+\sqrt{a+3}}.

前一个分母的两项分别严格大于后一个分母对应项，正分子同为 $2$ ，故 $p<q$ 。

方法二：将 $p-q$ 写成 $U-V$ ，其中 $U=\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}>0$ ， $V=\sqrt{a+4}+\sqrt{a+5}>0$ 。两式平方后共同部分消去：

U^2-V^2=2\sqrt{a^2+9a+18}-2\sqrt{a^2+9a+20}<0.

由 $U+V>0$ ， $U-V=(U^2-V^2)/(U+V)<0$ ，所以仍有 $p<q$ 。平方比较有效的原因是两根式和正。

本题结论

A， $p<q$ 。

例题 05 原字母为负，完整分式却为正

题目

已知 $a<b<0$ ，试比较 $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$ 与 $\frac{a+b}{a-b}$ 的大小.

答案与解析

解析

由 $a<b<0$ ，有 $a-b<0,a+b<0,ab>0$ ，故 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0$ 。记左式为 $U$ 、右式为 $V$ ，两式都有意义且 $U,V>0$ 。

\frac UV=\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}\frac{a-b}{a+b} =\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2} =1-\frac{2ab}{(a+b)^2}<1.

约掉 $a-b$ 的依据是其严格负、非零， $a+b$ 也非零。最后因 $V>0$ ，才由商小于 $1$ 得 $U<V$ ；不能因 $a,b$ 为负而误判 $V$ 负。

本题结论

$\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}<\dfrac{a+b}{a-b}$ 。

例题 06 正分母链与整体公共乘数

题目

（1）已知 $a>b>0$ ， $c<d<0$ ，求证： $\frac{b}{a-c}<\frac{a}{b-d}$ ；

（2）已知 $bc-ad\ge 0$ ， $bd>0$ ，求证： $\frac{a+b}{b}\le \frac{c+d}{d}$ ．

答案与解析

解析

（1）由 $a>b>0,c<d<0$ ，得 $-c>-d>0$ ，相加得 $a-c>b-d>0$ 。取倒数后相反，再连接分子关系：

\frac b{a-c}<\frac b{b-d}<\frac a{b-d}.

第一步同乘 $b>0$ ，第二步同除 $b-d>0$ ，所以两步均合法且严格。

（2） $bd>0$ 表示 $b,d$ 同号且非零，不保证它们各自为正。同乘整个正数 $bd$ 得一串等价关系：

\frac{a+b}{b}\le\frac{c+d}{d} \iff d(a+b)\le b(c+d) \iff ad+bd\le bc+bd \iff bc-ad\ge0.

最后是题设，所有步骤可逆，所以目标成立。也可作右减左为 $(bc-ad)/(bd)\ge0$ ；两种方法都用整个分母积的正性，不能凭印象分别“交叉乘”。

本题结论

两问均得证；第二问在 $bd>0$ 下与 $bc-ad\ge0$ 等价。

3. 从实际定义到正差，再构造公共分母

先确认分子分母表示的量，再用作差判断同增减；证明双边界分为下界与上界，逐项交代变动量与符号。遇到三角形三边，必须把两边和大于第三边转成实际前提，不靠图形直觉替代。

例题 07 定量与定额使用不同数量权重

题目

小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（）

A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较

答案与解析

解析

设两次单价为 $a,b>0$ 且 $a\ne b$ ，单位统一为元每千克。

小齐总量 $6$ 千克，总费用 $3a+3b$ ，均价为 $(a+b)/2$ 。小港总费用 $100$ 元，实际总量为 $50/a+50/b$ 千克，均价为 $100/(50/a+50/b)=2ab/(a+b)$ 。

\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}>0.

分母正，分子因两次价格不同严格正。因此小港平均价格低，C 正确；A/B 与严格差矛盾，D 被这个无需具体价格的证明排除。若两次单价相同，差才为零。

本题结论

C，小港两次购买的平均单价较低。

例题 08 同增关系连接数值比较与循环和

题目

已知 $b g$ 糖水中有 $a g$ 糖（ $b>a>0$ ），往糖水中加入 $m g$ 糖（ $m>0$ ），（假设全部溶解）糖水更甜了.

(1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式；

(2)利用（1）的结论比较 $M=\frac{20192019}{20232023},N=\frac{20192016}{20232020}$ 的大小；

(3)证明命题：设 $x>0,y>0,z>0$ ，证明： $1<\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}<2$ .

答案与解析

解析

（1）糖量由 $a$ 变为 $a+m$ ，总质量由 $b$ 变为 $b+m$ 。应证 $(a+m)/(b+m)>a/b$ ，作差得

\frac{a+m}{b+m}-\frac ab=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}>0,

正性来自 $b>a>0,m>0$ ，故不等式成立。

（2） $N$ 的分子分母都加 $3$ 就得到 $M$ ； $0<20192016<20232020$ ，属于真分数同增的情形，所以 $M>N$ 。不用近似小数比较微小差别。

（3）令 $T=x+y+z>0$ 、 $S=x/(x+y)+y/(y+z)+z/(z+x)$ 。因各分母都小于 $T$ ，有

\frac x{x+y}>\frac xT,\quad \frac y{y+z}>\frac yT,\quad \frac z{z+x}>\frac zT,

相加得 $S>1$ 。上界利用每个原分式都小于 $1$ ，分别同加 $z,x,y$ ：

\frac x{x+y}<\frac{x+z}T,\quad \frac y{y+z}<\frac{x+y}T,\quad \frac z{z+x}<\frac{y+z}T.

相加右侧为 $2T/T=2$ ，故 $S<2$ 。第一项也可用正差 $yz/[T(x+y)]>0$ 直接验证；另外两项正差分别为 $xz/[T(y+z)]$ 、 $xy/[T(z+x)]$ ，全部严格，所以两端均取不到。

下界还有一法： $S=3-S'$ ，其中 $S'=y/(x+y)+z/(y+z)+x/(z+x)$ 。同样的上界构造适用于反向循环，得 $S'<2$ ，于是 $S>1$ 。两种证明都依赖各变量严格正。

本题结论

（1） $(a+m)/(b+m)>a/b$ ；（2） $M>N$ ；（3） $1<S<2$ 。

例题 09 三角形条件控制另一种分式和

题目

如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式： $\frac{y}{x}<\frac{y+m}{x+m}(x>y>0,m>0)$ ．

(1)证明糖水不等式；

(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证： $1<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2$ ．

答案与解析

解析

（1）通分作差：

\frac{y+m}{x+m}-\frac yx=\frac{m(x-y)}{x(x+m)}>0,

其中 $x>y>0,m>0$ 保证分子分母都正，结论成立。

（2）令 $T=a+b+c$ 。三角形三边为正，并且 $a<b+c$ 、 $b<a+c$ 、 $c<a+b$ 。第一问中取 $y=a,x=b+c,m=a$ ，可得

\frac a{b+c}<\frac{2a}T.

另外两项分别取 $(y,x,m)=(b,a+c,b)$ 、 $(c,a+b,c)$ ，得 $b/(a+c)<2b/T$ 、 $c/(a+b)<2c/T$ 。相加右侧为 $2$ ，得到上界。

下界只需正性： $a/(b+c)>a/T$ ，另外两项也分别大于 $b/T,c/T$ ，相加得大于 $1$ 。

不能删除三角形条件后照搬上界。例如 $a=10,b=c=1$ 都正，但和为 $10/2+1/11+1/11>2$ ；这与上一例的循环分母结构不同。若允许退化或零边，还须重新检查严格号与分母，不能沿用原结论。

本题结论

两问得证；三角形条件用于上界，下界只需各边严格正。