抛物线焦点弦、通径与端点切线

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用负根积先证明焦点在两端点之间，再把弦长化成焦半径之和；每个最小值都验证能达到。

一、知识点理解概念

1. 过焦点还必须有两个端点

右开口真抛物线 $y^2=2px$ ， $p>0$ ，焦点 $F=(p/2,0)$ 。焦点弦要求两不同曲线端点，并且 $F$ 位于它们之间。轴线 $y=0$ 只有顶点 $O$ ，不构成焦点弦；不能把它看成“无限长的一条弦”。通径是垂直轴的焦点弦 $x=p/2$ ，端点 $(p/2,\pm p)$ ，长 $2p$ 。

2. 根积证明焦点在线段内部

所有非轴的过焦点直线可统一写 $x=p/2+ty$ ， $t\in\mathbb R$ 。联立得

y^2-2pty-p^2=0,\quad\Delta=4p^2(t^2+1)>0,\quad y_1y_2=-p^2<0.

两端点沿直线参数 $y$ 分处 $y=0$ 的两侧， $F$ 正是参数0的点，因此在线段内部。由定义的焦半径 $AF=x_1+p/2$ 、 $BF=x_2+p/2$ 才能进一步写

AB=AF+BF=x_1+x_2+p.

它不是对任意普通弦都成立的恒等式。

3. 换开口方向就换坐标与符号

以下均要求 $p>0$ ，且是对应曲线的真实焦点弦：

曲线	弦长
$y^2=2px$	$x_1+x_2+p$
$y^2=-2px$	$p-x_1-x_2$
$x^2=2py$	$y_1+y_2+p$
$x^2=-2py$	$p-y_1-y_2$

这些式子分别由两端点到各自准线的距离相加得到，不能固定抄“横坐标和”。

4. 通径给可达最短长

根和 $y_1+y_2=2pt$ ，所以 $x_1+x_2=p+t(2pt)=p+2pt^2$ ，进而

AB=2p(1+t^2)\ge2p.

$t=0$ 对应通径，其两个端点真实存在，故这是最小值而不只是下界。若与轴的较小夹角为 $\theta$ ， $0<\theta\le\pi/2$ ，参数 $t$ 是沿轴变化量与垂直轴变化量的有向比， $t^2=\cot^2\theta$ ，于是

AB=\frac{2p}{\sin^2\theta}.

$\theta=0$ 是被排除的轴线，分母为0不是某条合法弦有无穷长度。普通弦不享有这个统一正下界。

5. 焦点弦端点的切线交点

曲线点 $(x_i,y_i)$ 处切线为 $y_i y=p(x+x_i)$ ，包括顶点处的竖直切线。焦点弦端点不可能是顶点，否则经过 $O,F$ 的直线只能是轴线。故此处 $y_i\ne0$ ，有限切线斜率 $p/y_i$ 合法；根积 $y_1y_2=-p^2$ 又使两切线斜率乘积为 $-1$ ，必有唯一交点 $R=(a,b)$ 。

把 $R$ 代入两切线，得到 $A,B$ 都满足 $by=p(x+a)$ 。该式系数 $p\ne0$ ，是一条真实直线，含两不同端点，所以就是弦所在直线。再代焦点 $(p/2,0)$ ，得 $a=-p/2$ ，交点位于准线上。与 $x=p/2+ty$ 比较还得 $b=pt$ ，所以每个实数 $b$ 都对应合法焦点弦，不是只有必要轨迹。

二、考点方法与例题

方法：先证长度可加，再换根和

分清轴方向与普通弦/焦点弦；两不同端点及焦点在线段内部是使用 $AB=AF+BF$ 的条件。
右开口用 $x=p/2+ty$ ，先以正判别式和负根积验证两端点与焦点位置，再按开口方向使用坐标和式。
最短焦点弦用 $2p(1+t^2)$ ，说明 $t=0$ 的通径达到；角度式也要排除轴向0角。
涉及两端点切线交点，先用接触点切线式，再求准线上的交点，用点到直线距离完成原目标。一般切线若含顶点，要保留竖直线，不能先除未知零坐标。

例题 01 给定斜率的过焦点直线

斜率为 $1$ 的直线经过抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^{2}$ 的焦点，且与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $AB$ 的长为（）

A． $8$ B． $\frac{13}{2}$ C． $\frac{11}{2}$ D． $4$

答案与解析

选A， $AB=8$ 。先写成 $x^2=4y$ ，所以 $p=2$ 、 $F=(0,1)$ 。斜率1的过焦点直线是 $y=x+1$ ；联立得

x^2-4x-4=0,\quad\Delta=32>0,\quad x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=-4.

两横坐标异号，焦点在两端点之间。由 $y_i=x_i+1$ 得 $y_1+y_2=6$ 。这是上开口抛物线，故

AB=y_1+y_2+p=6+2=8.

B的 $13/2$ 、C的 $11/2$ 、D的4都不等于本弦长。

上传KB记载的原详解写成了 $AB=x_1+x_2+4$ 。一般公式应为 $y_1+y_2+2$ ；本题恰有 $y=x+1$ ，两表达式数值相同，因此原答案8正确，但不能把横坐标和那一行推广到任意纵轴焦点弦。这里明确说明来源文字中的错位，不冒称另行查看原DOCX。

例题 02 两条端点切线的交点到弦的距离

已知抛物线 ${y}^{2}=4x$ ，弦 $AB$ 过其焦点，分别过弦的端点 $A,B$ 的两条切线交于点 $C$ ，点 $C$ 到直线 $AB$ 距离的最小值是（）

A． $\frac{1}{4}$ B． $\frac{1}{2}$ C．1 D．2

答案与解析

选D，最小值2。设端点 $A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$ ，切线交点 $C=(x_0,y_0)$ 。本题焦点弦不含顶点， $y_1,y_2\ne0$ 。

保留由重根求切线的办法：设 $A$ 处切线 $y-y_1=k(x-x_1)$ 。切线不水平， $k\ne0$ ；联立 $y^2=4x$ 得

y^2-\frac4k y+\frac4k y_1-4x_1=0.

因为 $y_1^2=4x_1$ ，判别式为 $16/k^2-16y_1/k+4y_1^2=(4/k-2y_1)^2$ 。令其为0得 $k=2/y_1$ ，即 $y_1y=2(x+x_1)$ ；同理另一切线为 $y_2y=2(x+x_2)$ 。

把 $C$ 代入，两个端点都在 $y_0y=2(x+x_0)$ 上，所以这就是弦直线。代焦点 $(1,0)$ 得 $x_0=-1$ ，即 $C=(-1,y_0)$ ，弦为 $2x-y_0y-2=0$ 。于是

d(C,AB)=\frac{|-2-y_0^2-2|}{\sqrt{4+y_0^2}}=\sqrt{4+y_0^2}\ge2.

等号实际可达。取 $y_0=0$ ，弦 $x=1$ 的端点 $(1,\pm2)$ ，两切线 $y=x+1$ 与 $y=-x-1$ 交于 $C=(-1,0)$ ，到弦距离确为2。因此D为最小值；A、B、C的数值都低于已经证明的下界，不可能。一般切线讨论仍须保留顶点竖直切线，本题非顶点条件才使除 $k,y_i$ 合法。