因此有两点弦的充要条件是 $2pu>v^2$ 。等号给一个重合点，候选线成为该点切线；小于0没有实端点。充分性也不能只喊“判别式正”：两根和 $2v$ ，各自 $x=u+(v/p)(y-v)$ ，故 $x_1+x_2=2u$ ，实际中点确为 $H$ 。特别地， $v=0$ 时 $u>0$ 得竖直真弦。

二、考点方法与例题

方法：先选覆盖方向的参数，再用和积

确认开口方向、两不同端点，以及是否真过焦点。普通弦用坐标差，不把焦半径和代作弦长。
右开口两点弦优先设 $x=my+b$ ；联立先验 $\Delta>0$ ，再取根和积，用根差平方避免复杂单根。
给中点先用点差或根和确定参数，再回原方程检查两实端点及平均坐标。求长度取正根，不以方向符号改变长度。
一题同时问中点弦与切线时，保留全部子问。切线要接触条件，不能因为直线只有一个公共点就断定相切。

例题 01 过给定轴上点的直线

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过点 $T\left( 2,0\right)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C:{y}^{2}=2x$ 相交于点 $A$ ， $B$ .

(1)若直线 $l$ 的斜率为 $1$ ，求 $\left| AB\right|$ ；

(2)求证： $OA\perp OB$ .

答案与解析

（1） $AB=2\sqrt{10}$ 。斜率1给 $y=x-2$ 。代入 $y^2=2x$ 得 $x^2-6x+4=0$ ， $\Delta=20>0$ ，根和6、根积4。于是

AB=\sqrt2\sqrt{6^2-4\cdot4}=2\sqrt{10}.

（2）证明 $OA\perp OB$ 。水平线只有一个交点，不合两点条件；其余过 $T$ 的直线全部写成 $x=2+ty$ ， $t\in\mathbb R$ ，包括 $t=0$ 的竖直线。代入得

y^2-2ty-4=0,\qquad\Delta=4t^2+16>0,

y_1+y_2=2t,\quad y_1y_2=-4.

由此

x_1x_2=(2+ty_1)(2+ty_2)=4+2t(2t)+t^2(-4)=4,

\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0.

$O$ 不在 $x=2+ty$ 上，故 $A,B$ 均不是 $O$ ，两条真实直线因此垂直。 $T=(2,0)$ 不是焦点 $(1/2,0)$ ，不能用焦点弦和式；图仅作构型示意，计算条件来自题干。

例题 02 指定中点与过给定点的切线

已知抛物线 $C:{y}^{2}=4x$ ．

(1)若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点， $MN$ 的中点为 $(6,2)$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)求过点 $P(-2,1)$ 的抛物线 $C$ 的切线方程．

答案与解析

（1） $x-y-4=0$ 。水平线不成两点弦，设 $x-6=m(y-2)$ ，代入得

y^2-4my+8m-24=0,\quad\Delta=16(m^2-2m+6)>0.

中点纵坐标为2，故根和 $4m=4$ ，得 $m=1$ 。候选线 $x-y-4=0$ 对应 $\Delta=80>0$ ；端点为 $(6\pm2\sqrt5,2\pm2\sqrt5)$ ，各自满足曲线，平均坐标确为 $(6,2)$ 。

（2） $x+y+1=0$ 或 $x-2y+4=0$ 。 $P=(-2,1)$ 不在曲线上，不能直接套“曲线上点的切线式”。水平线 $y=1$ 唯一交点但不相切；其余过 $P$ 的直线均可写 $x+2=t(y-1)$ ，包括竖直线。联立得

y^2-4ty+4t+8=0,\quad\Delta=16(t+1)(t-2).

这是真二次式，切线条件 $\Delta=0$ 给 $t=-1,2$ ，即上述两线。重根分别 $y=-2,4$ ，切点分别 $(1,-2),(4,4)$ ，均在曲线上且两线均过 $P$ 。代线后分别为 $(y+2)^2=0$ 、 $(y-4)^2=0$ ，验证接触；所有非水平方向已覆盖，恰有这两条。