水平线原像、复合零点与根的关系

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先求“函数值应等于什么”，再求“哪些输入能产生这个值”。把目标值与输入分成两层，就能处理复合方程、递归分段和多根之间的关系。

一、知识点概念与依据

1. 水平线把一个高度还原为输入集合

对定义域为 $D$ 的函数，给定高度 $r$ ，满足 $f(x)=r$ 的合法输入组成集合 $\{x\in D:f(x)=r\}$ ，称为该值的原像。若它是有限集，将不同输入个数记为 $N(r)$ 。

图象上的水平线 $y=r$ 每交一个实际点，就得到一个不同输入；空心端点、辅助线和定义域外的延伸都不计。只看某幅粗图不够，应由解析式及范围建立高度表。抛物线顶点、绝对值最低点、分段端点高度和未取到的极限高度，都可能改变原像数；临界高度本身要单独算。

2. 先拆外层目标，重合时取并集

令 $z=f(x)$ 。若外层方程 $P(z)=0$ 的不同实根是 $r_1,\ldots,r_k$ ，原方程等价于 $f(x)=r_1$ 或……或 $f(x)=r_k$ 。不在值域的目标贡献零。

当 $u\ne v$ ，两原像集合不交，因为同一输入只有一个输出。因此两个不同目标的总数是 $N(u)+N(v)$ 。但 $u=v$ 时两个条件相同，只能计 $N(u)$ ；外层方程的代数重数不增加输入。

含参数时先查因子退化与目标重合值，再按高度表求范围，回验所有等号端点。直接把两条可能重合的水平线各算一次，会重复计整组根。

3. 递归只在题设范围内展开

若题目只在 $2<x\le5$ 规定 $f(x)=f(x-1)$ ，就只允许在这段反复减一；到 $x\le2$ 必须停止并用基础规则。原来大于 $2$ 的输入最终落入 $(1,2]$ ，因为最后一步之前大于 $2$ ，减一后大于 $1$ 且不超过 $2$ 。

所以复制的是基础式的 $(1,2]$ 段，不是整个负半轴和零附近图形。三个复制区间为 $(2,3],(3,4],(4,5]$ ，均左开右闭；未定义的 $x>5$ 不得补上。局部递归不是全实数周期。

4. 计数完成后才能使用根的分组关系

若各支来源已经确定，可以对二次支用韦达定理，对对数绝对值支用互倒关系。例如 $|\log_2x|=r>0$ 等价于 $x=2^{-r}$ 或 $x=2^r$ ，两根乘积为 $1$ ； $r=0$ 时两式合为同一个输入 $1$ 。

这里用到 $\log_a t=u\iff t=a^u$ ，要求 $a>0,a\ne1,t>0$ 。底数大于 $1$ 时指数和对数均严格递增； $a^{-u}=1/a^u$ 。 $\ln t=\log_e t$ 。求根的和积范围还要保留参数、换元的真实可达范围，不能只给一个不等式下界就当完整值域。

二、考点方法与例题

方法一：把递归改成有限分支，再列高度表

先找递推停止区间，列基础段和各复制段实际值域。对每个临界高度，逐段求合法输入数。最后将题设零点个数翻译成 $N(-a)$ 的条件。

例题 01 有限递归的水平线计数

题目

函数

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}f\left( x-1\right),2<x\le 5\\\left| {2}^{x}-1\right|,x\le 2\end{aligned}\right.

，若 $f\left( x\right)+a=0$ 有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A． $\left( -1,0\right)$ B． $\left[ -1,0\right)$ C． $\left( 0,1\right)$ D． $\left( 0,1\right]$

答案与解析

解析

原资料解析示意图；高度位置只表达结构，临界值和端点归属以下列计算为准。

令 $r=-a$ 。在基础段 $x\le2$ ，负半轴 $|2^x-1|=1-2^x$ 的值域为 $(0,1)$ ； $x=0$ 输出零；正段 $(0,2]$ 输出 $(0,3]$ 。每个复制段等价于 $(1,2]$ 上的基础式，值域都是 $(1,3]$ 。

高度 $r$	基础段根数	三个复制段合计	$N(r)$
$r<0$	$0$	$0$	$0$
$r=0$	$1$	$0$	$1$
$0<r<1$	$2$	$0$	$2$
$r=1$	$1$	$0$	$1$
$1<r\le3$	$1$	$3$	$4$
$r>3$	$0$	$0$	$0$

在 $0<r<1$ ，基础段两根具体为 $\log_2(1-r)<0$ 与 $\log_2(1+r)\in(0,1)$ 。在 $r=1$ ，负侧只趋近高度1而取不到，复制段左端也不收，故只有基础段 $x=1$ ；在 $r=3$ 则有 $2,3,4,5$ 四根。

因此恰两根等价于 $0<-a<1$ ，即 $-1<a<0$ 。B误收 $a=-1$ 的一根情形；C、D给正 $a$ ，目标高度为负，没有根。

本题结论

选 A， $a\in(-1,0)$ 。

方法二：固定目标与可变目标分开计数

先因式分解外层，求固定目标的原像数。再据总数要求找可变目标所在高度档，最后排除两目标相等的参数。整个流程依赖输入范围，不是观察示意图上“看起来有几个交点”。

例题 02 两个目标的不同原像

题目

已知函数

f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}{e}^{x-1}+1,x\le 1\\\left| \ln \left( x-1\right)\right|,x>1\end{aligned}\right.

，若关于 $x$ 的方程 $2{\left[ f\left( x\right)\right]}^{2}-\left( 2a+5\right)f\left( x\right)+5a=0$ 有5个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A． $\left( 0,1\right]\cup \left( 2,+\infty \right)$ B． $\left( 1,2\right)$

C． $\left( 0,1\right)\cup \left( 2,+\infty \right)$ D． $\left( 1,2\right]$

答案与解析

解析

原资料解析示意图；高度位置只表达结构，临界值和端点归属以下列计算为准。

令 $z=f(x)$ ，

2z^2-(2a+5)z+5a=(2z-5)(z-a).

目标为 $5/2$ 与 $a$ 。左支 $x\le1$ 上 $e^{x-1}+1$ 严格递增，实际值域为 $(1,2]$ 。右支令 $t=x-1>0$ ， $|\ln t|=r$ ： $r<0$ 无解， $r=0$ 给 $t=1$ 一个， $r>0$ 给 $e^{-r},e^r$ 两个。

故 $N(r)$ 在 $r<0,r=0,0<r\le1,1<r\le2,r>2$ 五档依次为 $0,1,2,3,2$ 。固定高度 $5/2$ 有2根；要总共5个不同输入，须 $a$ 提供3根且不与固定高度重合，得到 $1<a\le2$ 。

取等 $a=2$ 时左支端点 $x=1$ 合法，所以应收； $a=1$ 时左支趋近高度1但不取，所以不收。 $a=5/2$ 时两目标重合，仅2根，绝不是4根。A、C处于错误高度档，B漏端点2。

本题结论

选 D， $a\in(1,2]$ 。

例题 03 有限定义域与目标重合

题目

定义在 $[-1,6]$ 上的

f(x)=\left\{ \begin{aligned}|{\log }_{2}(x-2)|,2<x\le 6\\{(x-1)}^{2},-1\le x\le 2\end{aligned}\right.

， $f(x)$ 满足对关于x的方程 ${[f(x)]}^{2}-(a+1)f(x)+a=0$ 有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）

A． $(0,1)$ B． $[0,1]$ C． $(1,2)$ D． $\left[ 1,2\right]$

答案与解析

解析

原资料解析示意图；高度位置只表达结构，临界值和端点归属以下列计算为准。

外层化成 $(f(x)-1)(f(x)-a)=0$ 。二次支 $x\in[-1,2]$ 给 $(x-1)^2=r$ ，即 $x=1\pm\sqrt r$ ，但须筛回范围。对数支令 $t=x-2\in(0,4]$ ，正高度给 $t=2^{-r},2^r$ ，其中第二个仅在 $r\le2$ 合法。

高度	二次支	对数支	$N(r)$
$r<0$	$0$	$0$	$0$
$r=0$	$1$	$1$	$2$
$0<r\le1$	$2$	$2$	$4$
$1<r\le2$	$1$	$2$	$3$
$2<r\le4$	$1$	$1$	$2$
$r>4$	$0$	$1$	$1$

固定高度1的输入为 $0,2,5/2,4$ ，共4个。八根要求 $N(a)=4$ 且 $a\ne1$ ，故 $0<a<1$ 。

$a=0$ 时另一高度仅2根，总共6； $a=1$ 时两个条件完全相同，总共4； $1<a\le2$ 时总共7。因此B误收两个端点，C、D也不能满足。输入2仅归二次支，不与对数支重复。

本题结论

选 A， $a\in(0,1)$ 。

方法三：先确定各支有几根，再求根的和

先反求允许高度，保证根确实来自指定分支。再用二次根的和、对数根的互倒，转成一个变量的函数；证明单调性、端点界与每个中间值可达，才能给完整范围。

例题 04 分支根的关系与和的范围

题目

已知函数

f(x)=\left\{ \begin{aligned}|{\log }_{2}x|,x>0,\\-4{x}^{2}-4x,x\le 0,\end{aligned}\right.

函数 $g(x)=f(x)+m-2$ ．若 $g(x)$ 有四个不同的零点 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}$ ，则 ${x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}$ 的取值范围为（）

A． $(1,\frac{3}{2})$ B． $(1,2)$ C． $(\frac{3}{2},2)$ D． $(2,+\infty )$

答案与解析

解析

原资料解析示意图；高度位置只表达结构，临界值和端点归属以下列计算为准。

令 $r=2-m$ 。非正支为 $1-4(x+1/2)^2$ ，限制 $x\le0$ ；正支为 $|\log_2x|$ 。

高度 $r<0$ 时非正支只有左侧一根，正支无根，总1； $r=0$ 时非正支有 $-1,0$ ，正支有 $1$ ，总3； $0<r<1$ 两支各2根，总4； $r=1$ 时非正支只有顶点，正支2根，总3； $r>1$ 只有正支2根。

故四根条件是 $0<r<1$ ，即 $1<m<2$ 。将四根按大小排列，负支两根由 $4x^2+4x+r=0$ 得和 $-1$ ；正支两根为 $2^{-r},2^r$ ，互为倒数。

令 $t=2^{-r}\in(1/2,1)$ ，则和 $S=-1+t+1/t$ 。对 $1/2<u<v<1$ ，

(v+1/v)-(u+1/u)=(v-u)\left(1-\frac1{uv}\right)<0,

所以 $S$ 严格递减，向两端的极限分别为 $3/2,1$ 。函数在这个区间连续，且 $r\in(0,1)$ 使 $t$ 遍历整个 $(1/2,1)$ ，所以不是仅有界，而是取遍 $(1,3/2)$ ，两端均不取。B过宽，C漏低端并收过大值，D完全不符。

本题结论

选 A，四根之和的范围为 $(1,3/2)$ 。