同一个固定变换必须作用于每项，且记录数不变。方差乘平方，标准差乘绝对值。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

每项用同一规则

非空数据每项都按 $y_i=ax_i+b$ 变换，$a,b$ 为固定实数，容量 $n$ 不变：

$$\bar y=a\bar x+b,\qquad s_y^2=a^2s_x^2,\qquad s_y=|a|s_x.$$

没有增加、删除、重新加权，也没有不同项使用不同系数；否则不能照套此公式。

从求和与偏差推出

均值把每项的 $b$ 相加共 $nb$：

$$\bar y=\frac1n\sum_i(ax_i+b)=\frac a n\sum_ix_i+\frac{nb}{n}=a\bar x+b.$$

新偏差 $y_i-\bar y=(ax_i+b)-(a\bar x+b)=a(x_i-\bar x)$，平移抵消。平方求平均得

$$s_y^2=\frac1n\sum_i a^2(x_i-\bar x)^2=a^2s_x^2.$$

非负根 $s_y=\sqrt{a^2s_x^2}=\sqrt{a^2}s_x=|a|s_x$。$a\ge0$ 时绝对值为 $a$，$a<0$ 时为 $-a$；反向只改变方向，不使距离变负，$b$ 不加到离散程度上。

特殊变换与不可逆边界

变换	均值	方差	标准差
$x_i+b$	$\bar x+b$	$s_x^2$	$s_x$
$-x_i+b$	$-\bar x+b$	$s_x^2$	$s_x$
$a=0$，各值变 $b$	$b$	0	0
中心化 $x_i-\bar x$	0	$s_x^2$	$s_x$
标准化 $(x_i-\bar x)/s_x$，$s_x>0$	0	1	1

原数据全相等时 $s_x=0$，变换后仍0，但不能据此认为漏绝对值公式正确。逆算原值、方差、标准差要除 $a,a^2,|a|$，均须 $a\ne0$；标准化须 $s_x>0$。单位换算对全部值生效，离散按对应尺度变。分组中点变换只保证中点模型下的估计对应，不恢复未知的实际观测。

二、考点 方法与例题

先问是否逐项变换

1. 核原对象、每项规则与容量，新增两条记录不是原值逐项变换。
2. 写出固定 $a,b$，均值用 $a\bar x+b$。
3. 方差乘 $a^2$，标准差乘 $|a|$，不附加 $b$。
4. 逆算及标准化先检查除数非0，结果标准差非负。
5. 如对象变了，回到总和、容量及平方偏差重新计算，均值不变不保证其他统计量不变。

例题 01 原数据及其中心化

题目

已知一组样本数据16，$x$，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（    ）

A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4

答案与解析

解析

均值15给总和75，已知项和58，$x=17$。偏差为 $1,2,-1,0,-2$，和0；平方和 $1+4+1+0+4=10$，方差 $10/5=2$，选A。B、C、D均非此平方偏差平均，标准差为 $\sqrt2$。

再核平方和 $16^2+17^2+14^2+15^2+13^2=1135$，$1135/5-15^2=227-225=2$。分母用于描述五个值，不改为4；平方和10不是方差，方差2也不是标准差。

对这五个原值均减15，得到 $1,2,-1,0,-2$，均值0、方差仍2、标准差 $\sqrt2$。再每项除 $\sqrt2$，平方和变为 $10/2=5$，除5得方差1。固定负 $a$ 作用于这些偏差使方差为 $2a^2$，标准差为 $|a|\sqrt2$，不能为负。

本题结论

A，方差2；中心化不改方差，标准化后方差1。

例题 02 增加两名学生后的统计量

题目

把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ）

A．若$m+n=6$，则方差不变 B．若极差不变，则$m+n=6$

C．若$m+n=6$，则中位数变大 D．若平均数不变，则$m+n=6$

答案与解析

解析

原五项均值3，方差 $[4+1+0+1+4]/5=2$，中位数3、极差4。新增观测使容量由5变7，并非每项作同一个 $ax+b$。

选项	检验	结论
A	取合法正整数 $m=n=3$，均值3，平方和仍10，方差 $10/7\ne2$	错
B	取 $m=n=1$，最小1最大5，极差仍4，但和2不是6	错
C	取 $m=n=3$，有序 $1,2,3,3,3,4,5$，第4项仍3	错
D	均值不变要求 $(15+m+n)/7=3$，解得 $m+n=6$	对

故仅D正确。增加两个中心处观测时，平方和虽不变，容量增大导致方差变小；“均值不变”不能替代各统计量的独立检查。

本题结论

D

三、坑点 边界与纠错

非负根不因负系数改号

$\sqrt{a^2}=|a|$，非恒等于 $a$。原标准差碰巧为0使错误公式也得0，不证明公式有效；纯平移与反向不改离散，常数化才使全部离散为0。

加记录与改记录分开

增加、删除、重新加权或给不同项不同系数，会破坏同一逐项变换条件。回到原定义计算，不能因均值未变就宣称方差、中位数也未变。

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