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数乘与共线：参照非零才能比较系数

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实数倍同时改变箭头的长度与朝向。把共线关系写成倍数关系很有效，但右边的参照向量必须非零；比较两个方向的系数时，还要进一步保证它们不共线。

一、知识点 概念与依据

1. 数乘改变模，系数符号控制方向

实数 λ\lambda 乘向量 a⃗\vec a，结果仍是向量，且

∣λa⃗∣=∣λ∣∣a⃗∣.|\lambda\vec a|=|\lambda||\vec a|.

条件结果的模与方向
a⃗≠0⃗,λ>0\vec a\ne\vec0,\lambda>0模为 λ∣a⃗∣\lambda\lvert\vec a\rvert，与a同向
a⃗≠0⃗,λ<0\vec a\ne\vec0,\lambda<0模为 −λ∣a⃗∣-\lambda\lvert\vec a\rvert，与a反向
λ=0\lambda=0 或 a⃗=0⃗\vec a=\vec0结果为零向量，不指定非零箭头式的方向

正倍数沿原方向伸缩，负倍数先反转再伸缩。模始终非负，不能因为系数为负就写负长度。

2. 伸缩与加法兼容，得到线性运算律

λ(μa⃗)=(λμ)a⃗,\lambda(\mu\vec a)=(\lambda\mu)\vec a,

(λ+μ)a⃗=λa⃗+μa⃗,(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a,

λ(a⃗+b⃗)=λa⃗+λb⃗.\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b.

连续伸缩把长度倍率相乘，方向按正负号组合；同向或反向的有向长度相加给第二式。将首尾相接的两个箭头同时按同一实数伸缩，所得总箭头也是原总箭头的同倍伸缩，给第三式；负倍数包含整体反向，零倍数两侧均为零向量。

加、减、数乘统称线性运算。展开括号时系数乘每一项，再合并同一向量的系数；名称不同的向量不能仅因写在同一等式中就当作同类项。

3. 共线定理的存在与唯一都有条件

固定 a⃗≠0⃗\vec a\ne\vec0，有

b⃗∥a⃗⟺存在唯一实数 λ 使 b⃗=λa⃗.\vec b\parallel\vec a \quad\Longleftrightarrow\quad \text{存在唯一实数 }\lambda\text{ 使 }\vec b=\lambda\vec a.

存在性：b同向时取 λ=∣b⃗∣/∣a⃗∣\lambda=|\vec b|/|\vec a|，反向时取其负值；b为零时取0。模和方向均相符，所以等式成立。反向推理则由数乘定义，任何实数倍都与原非零向量共线。

唯一性：若两个实数都满足，两式相减得 (λ1−λ2)a⃗=0⃗(\lambda_1-\lambda_2)\vec a=\vec0，取模后

∣λ1−λ2∣∣a⃗∣=0.|\lambda_1-\lambda_2||\vec a|=0.

因 ∣a⃗∣>0|\vec a|>0，推出 λ1=λ2\lambda_1=\lambda_2。同理，只有先确认a非零，才能由 λa⃗=μa⃗\lambda\vec a=\mu\vec a 消去a比较系数。

4. 零参照为什么不行

右边参照与待表示向量共线关系b⃗=λa⃗\vec b=\lambda\vec a 的结果
a⃗≠0⃗\vec a\ne\vec0，b与a共线成立唯一倍数，包括b为零时倍数0
a⃗=0⃗,b⃗≠0⃗\vec a=\vec0,\vec b\ne\vec0按约定共线任意倍数乘零仍为零，无法表示b
a⃗=b⃗=0⃗\vec a=\vec b=\vec0成立任意λ都满足，不唯一

需要时分情况，或换已知非零向量作参照。两字母向量端点不同可保证非零；两个向量不共线也保证各自非零。

三点共线常设 AC→=tAB→\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}，先确认A、B不同。仅有两个向量共线，不能直接推出四个端点共线，也不能在未排除承载直线重合时断言两条直线平行。

5. 两个方向的系数比较还要“不共线”

若 e⃗1,e⃗2\vec e_1,\vec e_2 不共线，且 ue⃗1+ve⃗2=0⃗u\vec e_1+v\vec e_2=\vec0，则必须u=v=0。否则例如u非零，可移项得 e⃗1=−(v/u)e⃗2\vec e_1=-(v/u)\vec e_2，与不共线矛盾；若u=0而v非零，则e₂为零，也矛盾。

因此两种用这组方向写出的向量相等时，分别相减后，每个系数都相等。若两个参照共线，这种比较不成立；一个向量可能有不同的系数组合。

在非退化三角形中，AB→,AC→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} 不共线，适合作参照。若M为BC中点，则

AM→=AB→+12BC→=12(AB→+AC→).\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC} =\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).

中点关系要跟着对应线段走；若继续取另一线段中点，应再应用一次，而不能把两次取中点合成一次。

二、考点 方法与例题

1. 先展开，再按每个向量归并系数

系数的正负跟着原项走，括号外负数必须乘每一项。移项后代回原向量方程核验；一般向量之间没有普通除法，不能以“除以某向量”代替非零条件下的系数论证。

例题 01 展开数乘并移项

题目

设向量a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，c⃗\vec{c}满足5(a⃗−2b⃗)−4(b⃗+3a⃗)−c⃗=0→5\left( \vec{a}-2\vec{b}\right)-4\left( \vec{b}+3\vec{a}\right)-\vec{c}={0}^{\to }，则c⃗=\vec{c}=（   ）

A．−a⃗+22b⃗-\vec{a}+22\vec{b} B．7a⃗+14b⃗7\vec{a}+14\vec{b} C．a⃗−22b⃗\vec{a}-22\vec{b} D．−7a⃗−14b⃗-7\vec{a}-14\vec{b}

答案与解析

解析

按分配律，左边为

5a⃗−10b⃗−4b⃗−12a⃗−c⃗=−7a⃗−14b⃗−c⃗.5\vec a-10\vec b-4\vec b-12\vec a-\vec c =-7\vec a-14\vec b-\vec c.

等于零向量，故两边加c得 c⃗=−7a⃗−14b⃗\vec c=-7\vec a-14\vec b，选D。B把结果整体反向；A、C的系数不对应展开后的同类项。原题 0→{0}^{\to} 表示零向量，不是实数0。

这里无需假设a、b不共线：我们直接通过向量运算得c的一个恒等表达式，并没有反过来由两个未知系数组合相等而逐项比较。

本题结论

选D，c⃗=−7a⃗−14b⃗\vec c=-7\vec a-14\vec b。

2. 共线先选非零参照，再比较独立方向

先说明选中的参照向量为什么非零，再设实数倍；把两边写成同一组不共线向量的线性组合后，逐项比较系数，最后代回几何条件。

例题 02 三点共线确定参数

题目

已知e⃗1,e⃗2{\vec{e}}_{1},{\vec{e}}_{2}是两个不共线的向量，AB⃗=e1⃗−2e2⃗,BC⃗=2e1⃗+ke2⃗\vec{AB}=\vec{{e}_{1}}-2\vec{{e}_{2}},\vec{BC}=2\vec{{e}_{1}}+k\vec{{e}_{2}}，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ）

A．−4-4 B．−1-1 C．1 D．4

答案与解析

解析

先核参照：若 AB→=e⃗1−2e⃗2=0⃗\overrightarrow{AB}=\vec e_1-2\vec e_2=\vec0，则 e⃗1=2e⃗2\vec e_1=2\vec e_2，与不共线矛盾，所以AB非零。

A、B、C共线，故可设 BC→=tAB→\overrightarrow{BC}=t\overrightarrow{AB}，得到

2e⃗1+ke⃗2=te⃗1−2te⃗2.2\vec e_1+k\vec e_2=t\vec e_1-2t\vec e_2.

由于e₁、e₂不共线，比较系数得 2=t,k=−2t2=t,k=-2t，因此 k=−4k=-4，选A。B、C、D的值均不能使两个方向对应同一个倍数。

代回后 BC→=2AB→\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}，确实满足共线，且AB非零的前提一直成立。

本题结论

选A，k=−4k=-4。

例题 03 共线约定与倍数表示的边界

题目

下列说法正确的是（    ）

A．单位向量均相等 B．单位向量e⃗=1\vec{e}=1

C．零向量与任意向量平行 D．若向量a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}满足∣a⃗∣=∣b⃗∣|\vec{a}|=|\vec{b}|，则a⃗=±b⃗\vec{a}=\pm \vec{b}

答案与解析

解析

A错：单位向量方向可以不同，不一定相等。B错：应写模等于1，不能把向量等同实数。C是零向量与任意向量共线的规定，正确。D错：同模向量可以互相垂直，不一定相等或相反，所以选C。

这题中的共线约定不意味着零向量可以作任意共线表示的右侧参照。若把非零b写成 λ0⃗\lambda\vec0，右边永远为零，无法成立；共线判据与倍数表示的前提不能混用。

本题结论

选C。

3. 将中点和公共起点关系变成同一种表达

先选同一公共起点和非共线参照，将每次分点条件写成向量倍数，再把不同起点的箭头改写为终点位置向量减起点位置向量。展开后检查非零或不共线前提，比较系数；求出参数后，还须回答题目真正要求的组合。

例题 04 连续取中点后的系数

题目

在△ABC\triangle ABC中，M为边BCBC中点，N为AMAM的中点，AN⃗=λAB⃗+μAC⃗\vec{AN}=\lambda \vec{AB}+\mu \vec{AC}，则λ+2μ=\lambda +2\mu =（　　）

A．14\frac{1}{4} B．12\frac{1}{2} C．34\frac{3}{4} D．1

答案与解析

解析

M为BC中点、N为AM中点的原图
M为BC中点、N为AM中点的原图

两次中点分别属于BC和AM。

M为BC中点，所以 AM→=(AB→+AC→)/2\overrightarrow{AM}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})/2；N为AM中点，再取一半，

AN→=12AM→=14AB→+14AC→.\overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AM} =\frac14\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}.

三角形两边AB、AC不共线，故 λ=μ=1/4\lambda=\mu=1/4。题目要求 λ+2μ=3/4\lambda+2\mu=3/4，选C。A只取一个系数，B漏掉μ前的2，D也不符合两次取中点。

系数和为1/2不表示N在BC上；N在中线AM内部，不是BC中点。

本题结论

选C，λ+2μ=3/4\lambda+2\mu=3/4。

例题 05 以P为公共起点消元

题目

在△ABC\triangle ABC所在平面中有一点P满足PA⃗=λBC⃗\vec{PA}=\lambda \vec{BC}，且PA⃗+PB⃗+PC⃗=2AB⃗\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=2\vec{AB}，则λ=\lambda =（   ）

A．12\frac{1}{2} B．−12-\frac{1}{2} C．−13-\frac{1}{3} D．13\frac{1}{3}

答案与解析

解析

以P为公共起点，AB→=PB→−PA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}，代入给定等式：

PA→+PB→+PC→=2PB→−2PA→.\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} =2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PA}.

移项得 3PA→+PC→=PB→3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}，所以

3PA→=PB→−PC→=CB→=−BC→.3\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC} =\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}.

于是 PA→=−BC→/3\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{BC}/3。三角形中B≠C，BC非零，与 PA→=λBC→\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{BC} 比较得 λ=−1/3\lambda=-1/3，选C。A、B、D代回都不能满足 3PA→=−BC→3\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{BC}。

若改写AP，必须整体变号；这里比较的是原题PA，不是AP。

本题结论

选C，λ=−1/3\lambda=-1/3。

三、坑点 边界与纠错

1. 负系数改变方向，不产生负模

模公式须保留系数绝对值；负号乘括号时也要逐项分配。相同字母向量可合并，不同方向不能凭空合并成一项系数。

2. 非零参照与非共线基准是不同层级的条件

用一个向量作倍数参照或消去它，需要非零；比较两个方向的系数，需要两者不共线。若条件缺失，先分类或换参照，不将零向量共线约定错误延伸为唯一倍数表示。

3. 参数符号跟着箭头，分点系数跟着线段

PA与AP互为相反向量；两次取中点要分别取半。参数算出后代回原式，并看题目要参数本身还是它们的某个组合。