向量求点线、点面与平行面距离

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先辨应该保留哪个正交分量，再证明所得长度确实最短。

一、知识点理解概念

1. 点到直线：去掉沿线分量

点到直线的距离是连接点 $P$ 与直线上任一点所得长度的最小值。取线上点 $A$ 、非零方向 $\vec u$ ，令 $\vec q=\vec{AP}$ ，并设

t=\frac{\vec q\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u},\qquad H=A+t\vec u,\qquad \vec r=\vec q-t\vec u=\vec{HP}.

$H=A+t\vec u$ 保证 $H$ 在直线上；另由 $\vec r\cdot\vec u=0$ 证明余量与方向正交。当 $P\ne H$ 时 $PH\perp l$ ，当 $P=H$ 时直接为零距离。任意线上点 $X=A+s\vec u$ 有 $\vec{XP}=\vec r+(t-s)\vec u$ ，两部分数量积为零（其中可有零向量），展开模平方的交叉项消失，所以

PX^2=|\vec r|^2+(t-s)^2|\vec u|^2\ge|\vec r|^2.

仅 $s=t$ 时取等，证明垂足给出最短。展开余量的模平方，代入 $t$ 后交叉项合并，得到

d(P,l)=\sqrt{|\vec q|^2-\frac{(\vec q\cdot\vec u)^2}{|\vec u|^2}}.

根号内就是垂直余量模平方，必非负；若小数运算得极小负数，应查精度与输入，而非对任意负数开方。点在线上时 $\vec r=0,H=P,d=0$ ，无需给零向量定义夹角。

2. 点到平面：保留法向分量

取面内点 $A$ 、有效非零法向量 $\vec n$ ，仍令 $\vec q=\vec{AP}$ 。设

\vec w=\frac{\vec q\cdot\vec n}{\vec n\cdot\vec n}\vec n,\qquad H=P-\vec w.

$\vec n\cdot\vec{AH}=\vec n\cdot(\vec q-\vec w)=0$ ，故 $H$ 在面内；当 $P\ne H$ 时 $PH$ 沿法向方向。对面内点 $X$ ， $\vec{HP}\cdot\vec{HX}=0$ ，展开 $\vec{XP}=\vec{HP}-\vec{HX}$ 的模平方得到 $PX^2=PH^2+HX^2\ge PH^2$ ；该数量积推导也包含 $P=H$ 或 $X=H$ ，不对零线段谈垂直。最小值在 $X=H$ 达到。

d(P,\alpha)=|\vec w|=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec n|}{|\vec n|}.

换另一个面内基点只增加与 $\vec n$ 点积为零的位移；法向量换非零倍数，分子分母同乘该倍数绝对值，距离不变。绝对值去掉有向投影的正负，点在面内时零距离合法。

3. 平行面之间为什么可以换点

两个不同平行面的距离，就是其中一面任一点到另一面的距离。取 $A\in\alpha,B\in\beta$ 及共同非零法向量 $\vec n$ 。另取 $X\in\beta$ ， $\vec{BX}\cdot\vec n=0$ ，从而 $\vec{AX}\cdot\vec n=\vec{AB}\cdot\vec n$ ，故

d(\alpha,\beta)=\frac{|\vec{AB}\cdot\vec n|}{|\vec n|}.

须先确认两面平行或重合。重合时上式为零，但不属于两个不同平行面；相交两面的整体最短间隔为零，不能用一个非交线点到另一面的正距离代替。任意空间点不能随便互换，只有法向分量相同才可换。

二、考点方法与例题

1. 点线距离可同时求出垂足作验证

核方向非零，分别算 $\vec q^{\,2}$ 、 $\vec q\cdot\vec u$ 、 $\vec u^{\,2}$ ，去掉沿线分量平方后开根；求出 $t$ 和垂足 $H$ ，再查 $H$ 在线上、 $\vec{HP}\cdot\vec u=0$ 。所有坐标须同一长度单位，距离平方不能冒充长度。

例题 01 空间点到坐标直线的距离

已知 $A\left( 2,2,1\right)$ ， $B\left( 3,2,0\right)$ ，则点 $P\left( 2,0,-1\right)$ 到直线 $AB$ 的距离为（）

A． $\sqrt{3}$ B． $2$ C． $\sqrt{5}$ D． $\sqrt{6}$

答案与解析

$\vec u=\vec{AB}=(1,0,-1)\ne\vec0$ ， $\vec q=\vec{AP}=(0,-2,-2)$ 。 $|\vec q|^2=8,|\vec u|^2=2,\vec q\cdot\vec u=2$ ，所以

d^2=8-\frac{2^2}{2}=6,\qquad d=\sqrt6,

选 D，其他三项均不符。向量的平方这里表示自身数量积，即模平方，不是一个逐项平方的新向量。

垂足参数 $t=2/2=1$ ， $H=A+\vec{AB}=B$ 。直接核 $\vec{PB}=(1,2,1)$ 与 $\vec{AB}$ 点积 $1-1=0$ ，且 $PB=\sqrt6$ ，所以 $B$ 确是垂足。斜连线 $PA=\sqrt8$ ，沿线投影长 $\sqrt2$ ，二者都不是所求垂距。

2. 换点之前，证明换点位移是面内方向

用面内两个不共线方向解有效法向量；连接向量必须有一端真在目标面。若要把待测点换到与目标面平行的另一面中，写明连接差向量与法向量点积为零，不能仅为计算方便就换任意点。

例题 02 三棱柱两底面之间的法向长度

在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中，有一个三棱柱 $ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ ，其中 $\vec{{B}_{1}{A}_{1}}=\left( 2,0,\sqrt{3}\right)$ ， $\vec{{B}_{1}{C}_{1}}=\left( 0,2,-3\right)$ ， $\vec{{B}_{1}B}=\left( -2,0,\sqrt{3}\right)$ ，则点 $A$ 到平面 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 的距离为（）

A．1 B． $\sqrt{2}$ C． $\sqrt{3}$ D．2

答案与解析

给定上底面两个方向 $(2,0,\sqrt3),(0,2,-3)$ 不共线。设法向量 $(x,y,z)$ ，得 $2x+\sqrt3z=0,2y-3z=0$ 。取 $z=2$ ，得 $\vec n=(-\sqrt3,3,2)$ ，两数量积都为零， $|\vec n|^2=16$ 。

三棱柱两底面平行， $\vec{BA}$ 与上底面方向平行，故 $\vec n\cdot\vec{BA}=0$ 。从下底面中的 $B$ 换到 $A$ 不改变到上底面的法向分量，因此

d(A,A_1B_1C_1)=d(B,A_1B_1C_1)=\frac{|(-2,0,\sqrt3)\cdot(-\sqrt3,3,2)|}{4}=\sqrt3.

选 C。A、B、D 三项不同。连接向量 $\vec{B_1B}$ 的模为 $\sqrt7$ ，它是侧棱长度，并非此斜棱柱的垂直高；数量积只抽取其中的法向分量。

3. 两面距离先证平行且不重合

找共同法向量后，用实际平面方程或一个面外点排除重合，再从两面各取一点算共同法向分量。不能只写“图上显然平行”。

例题 03 正方体内的两个截面

在边长为1的正方体 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中．平面 $A{B}_{1}C$ 与平面 ${A}_{1}D{C}_{1}$ 之间的距离为（）

A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B．1 C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$

答案与解析

按原建系图，取 $D_1$ 为原点，沿 $D_1A_1,D_1C_1,D_1D$ 为三条单位正轴。

A_1=(1,0,0),C_1=(0,1,0),D=(0,0,1),

A=(1,0,1),B_1=(1,1,0),C=(0,1,1).

两组三点各不共线，第一平面 $AB_1C$ 是 $x+y+z=2$ ，第二平面 $A_1DC_1$ 是 $x+y+z=1$ 。共同非零法向量 $\vec n=(1,1,1)$ ，常数不同，故两面确实平行而不重合。

也可由第二面方向 $\vec{DA_1}=(1,0,-1),\vec{DC_1}=(0,1,-1)$ 列 $x-z=0,y-z=0$ ，取 $z=1$ 得同一法向量。

$A$ 在第一面、 $D$ 在第二面， $\vec{AD}=(-1,0,0)$ ，所以

d=\frac{|\vec{AD}\cdot\vec n|}{|\vec n|}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3,

选 A。 $AD=1$ 是斜连线长，不是最短距离，B 错；C、D 也不等于此法向长度。同一平行面内换点不改这个值，因此所得确为面间距离。