游戏机会：从规则到公平性

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先确定谁在什么结果下获胜，再比较这些结果的概率。“两个胜者”或“两种颜色”并不意味着各占一半。

知识点

机会公平与收益公平

本章所说的机会公平，是在相同参与条件、相同胜利收益的比较中，各方单局获胜概率相同。它不保证一次结果，也不保证有限多局各赢一半。若收益、投入或风险不同，只有胜率相同不足以判断整个方案公平。

必须确认的规则	对计算的影响
抽取是否等机会、器具是否均匀	能否把基本结果均分
多次动作是否相互独立	能否乘各次概率
是否区分位置、卡片身份与朝向	如何列完整样本点
有没有平局、平局是否重来	分母及比较口径是否改变
各种结果的收益是否相同	胜率是否足以代表公平性

主动选择某数字不等于均匀随机选数；均匀硬币的各自边际分布，也不自动保证多枚硬币独立。

用基本结果而不是类别名称计数

有限且等可能时， $P(A)=|A|/|\Omega|$ 。若结果不等可能，应把相应概率相加，而不是数名称。若甲乙胜负互斥且覆盖全部结果，才有 $P(B)=1-P(A)$ ；有平局时不能这样直接相减。原规则允许平局就保留它，原规则要求重来才进一步比较有胜者时的份额，不能自行更改。

考点

多枚硬币按有序结果分组

明确采用每枚均匀、相互独立的通常投掷模型。
按硬币身份依次记录正反，不将正反与反正先合并。
对照胜负规则分组，检查互斥与覆盖，再比较胜率。

例题 01 两种硬币游戏

题目

（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．

（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．

答案与解析

解析

按每枚均匀且投掷相互独立的理想模型，两枚硬币的四个有序结果为

\Omega_2=\{\text{正正},\text{正反},\text{反正},\text{反反}\},

各占 $1/4$ 。甲胜含正正、反反，乙胜含正反、反正，因此两人均为 $1/2$ 。

三枚时八个结果为

\Omega_3=\{\text{正正正},\text{正正反},\text{正反正},\text{正反反},\text{反正正},\text{反正反},\text{反反正},\text{反反反}\},

各占 $1/8$ 。甲只有全正、全反两种，胜率 $2/8=1/4$ ；乙其余六种，胜率 $6/8=3/4$ 。两问都没有平局，胜率和为1。

这里采用了投掷互不影响的通常模型。题面只说每枚质地均匀；若人为强制多枚结果联动，不能仍把全部组合均分。

本题结论

通常独立投掷模型下：（1）机会公平；（2）乙胜机会更大，不公平。

卡片先看身份，再看观察条件

无条件胜负只依赖抽到哪张卡时，先用卡片身份计算。若已观察到朝上颜色，再按相应基本结果筛选；此时朝向如何随机也会影响条件概率，不能省略。

一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，我赢的概率也是 $\frac{1}{2}$ ，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.

答案与解析

解析

三张卡片等机会抽取时，绿绿、蓝蓝、绿蓝各占 $1/3$ 。抽到前两种，不论朝向甲都赢；抽到绿蓝，不论朝向乙都赢。因此甲胜 $2/3$ 、乙胜 $1/3$ 。这个无条件结论不需要假定朝向均匀。

若进一步假设每张卡随机决定朝向，两个朝向等机会，就可将六个朝上面的身份列成以下树图。绿绿卡的两面为 $G_1,G_2$ ，蓝蓝为 $B_1,B_2$ ，混色为 $G_3,B_3$ 。

朝上面	$G_1$	$G_2$	$G_3$	$B_1$	$B_2$	$B_3$
朝下面	$G_2$	$G_1$	$B_3$	$B_2$	$B_1$	$G_3$
胜者	甲	甲	乙	甲	甲	乙

六点等可能时，甲 $4/6=2/3$ ，乙 $2/6=1/3$ 。看到朝上绿色后，只保留 $G_1,G_2,G_3$ 三点，其中两点朝下也绿，所以甲仍为 $2/3$ 。甲的说法把“两种可能颜色”错当成“两种等可能结果”，漏掉绿绿卡能用两面呈现绿色的权重。

题面未明确朝向机制，因此六面等可能及看到绿色后的条件计算需要上述额外假设；不能将它倒填进题意。但三张等概率卡的无条件计算已经足以回答公平性。

本题结论

相同胜利收益下，甲胜2/3、乙胜1/3，机会不公平。

坑点

类别对称，不等于概率对称

“同面/不同面”只是名称：两枚硬币各含2个结果，三枚硬币则全同面含2个、其余含6个。卡片游戏也应数卡片或面身份，不能把同色/异色强分成各一半。

从单枚概率到组合结果

辨析 01 两枚硬币的联合结果（自编辨析）

题目

两枚硬币各自正反概率都是 $1/2$ 。能否断言正正、正反、反正、反反各占 $1/4$ ？

答案与解析

解析

不能。先均匀随机产生一个正反结果，再让两枚始终显示这个相同结果，则各枚正反概率仍各 $1/2$ ，但正正与反反各 $1/2$ ，正反与反正均为0。在“同面甲胜”规则下甲必胜。这个反例说明独立性是联合计数的条件，不能由每枚均匀代替。

本题结论

不能；还需相互独立等足以确定联合分布的条件。

不偷改平局与奖励规则

若平局概率不为0，甲、乙单局胜率的和小于1。只在规则确实规定平局重来时，才可以把两人的机会重新归一为非平局条件下的比例。不同奖励的制度还需比较相应收益，而不是只看胜率。