椭圆定义与距离最值

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先把距离和转成可比较的差，再用正确的共线顺序寻找真正能达到的等号点。

一、知识点理解概念

1. 单个焦半径、和与差的完整范围

对横焦轴真椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ， $a>b>0$ ， $c=\sqrt{a^2-b^2},e=c/a$ 。左、右焦半径分别为 $p=a+ex,q=a-ex$ ，且 $x\in[-a,a]$ ，所以

a-c\le p,q\le a+c,\qquad p+q=2a,\qquad -2c\le p-q\le2c.

单个焦半径和差的端值由相应长轴顶点取得，和本来就是常数，无须再优化。若原题要求非退化焦点三角形，两个长轴顶点被排除，差的两端值也不能取得；这时不能把上、下确界叫作最大、最小值。

2. 用椭圆定义把和变成差

若目标同时含定点 $A$ 的距离和一个焦半径，优先用 $PF_1+PF_2=2a$ 替换。例如

PA+PF_2=2a+(PA-PF_1).

然后用三角不等式 $PA\le PF_1+F_1A$ 得 $PA-PF_1\le AF_1$ 。反向三角不等式给完整双向界 $|PA-PF_1|\le AF_1$ ，但两个符号的等号顺序不同，不能只写“三点共线”。

3. 等号顺序决定哪条射线

先分清重合情形：若 $A=F_1$ ，则 $PA-PF_1\equiv0$ ， $PA+PF_2\equiv2a$ ，每个允许的椭圆点都取等号，不存在“背离 $A$ ”的非零方向。以下射线与先后顺序的讨论均限于 $A\ne F_1$ 。

对 $PA-PF_1\le AF_1$ ，等号要求 $F_1$ 在线段 $PA$ 上，即从 $F_1$ 向背离 $A$ 的方向取 $P$ 。若 $A$ 在线段 $PF_1$ 上，则 $PA-PF_1=-AF_1$ ，取的是另一端，不是这里的上界。

从焦点出发的射线确实能碰到完整椭圆：焦点代入标准式得 $c^2/a^2<1$ ；沿任一非零方向走远，标准式左边作为正定二次函数趋于无穷。连续性给出正参数交点。若原题只允许部分弧或删点，仍需核这条射线的交点是否允许；仅得到一个界还不足以报最大值。

二、考点方法与例题

1. 换焦点、写不等式、验证可达

先明确替换的是哪一个焦半径，用定义改写目标；写出所用三角不等式及等号点的顺序。沿正确射线或直线找交点，证明交点存在并满足原范围；必要时联立回代。单一焦半径可直接用 $a\pm ex$ 及坐标范围，或核对应长轴顶点。

2. 距离和中的固定点与焦点

原图只展示一般构型。最值取点的方向要由等号条件另行确定。

例题 01 固定点与右焦点的距离和

已知椭圆 $C:\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$ 的右焦点为 $F$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，点 $A$ 的坐标为 $\left( -\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)$ ，则 $\left| PA\right|+\left| PF\right|$ 的最大值为（）

A． $\frac{21}{5}$ B．5 C． $\frac{28}{5}$ D． $\frac{33}{5}$

答案与解析

$a=2,b^2=3,c=1$ ，左焦点为 $F_1(-1,0)$ ，右焦点 $F(1,0)$ 。由定义 $PF=4-PF_1$ ，所以

PA+PF=4+(PA-PF_1)\le4+AF_1=4+\sqrt{(3/5)^2+(4/5)^2}=5.

原题中的 $A$ 在椭圆内部，因为 $(4/25)/4+(16/25)/3=19/75<1$ ；但取得上界的关键不是仅仅共线，而是 $F_1$ 位于 $P$ 与 $A$ 之间。

沿背离 $A$ 的射线取 $P=(-1,0)-t(3/5,4/5)$ ， $t>0$ 。代入椭圆左边，得到

\frac{(1+3t/5)^2}{4}+\frac{(4t/5)^2}{3} =\frac14+\frac3{10}t+\frac{91}{300}t^2.

令它等于 $1$ ，有 $91t^2+90t-225=0$ ，正根为 $t=15/13$ （另一根为 $-15/7$ ）。于是 $P=(-22/13,-12/13)$ 在原椭圆上，排列为 $P,F_1,A$ ， $PA=PF_1+AF_1$ ，确实取得 $5$ ，选 B。A 小于已达到值，C、D 超过已证上界。

上传 KB 记载原解把等号简写为三点共线；这里保留答案，补上必要顺序与真实交点。若排列是 $P,A,F_1$ ，差为 $-AF_1$ ，不能取得这个上界。下图是原解析的一般构型示意，不是最大值取点的证明。

3. 单个焦半径的最小值

对应焦点的长轴顶点可以直接核验端值。

例题 02 到左焦点的距离

已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ ，则椭圆 $C$ 上一点 $P$ 到左焦点 $F$ 的距离最小值为（）

A．8 B．5 C．3 D．2

答案与解析

$a=5,b=4,c=3,e=3/5$ ，左焦点为 $(-3,0)$ 。左焦半径

PF=5+\frac35x,\qquad -5\le x\le5.

因系数为正，最小值在 $x=-5$ 时取得，为 $5-3=2$ ，选 D。该点就是椭圆长轴顶点 $(-5,0)$ ，到左焦点距离确为 $2$ 。A 是另一端的最大值 $8$ ，B 为半长轴，C 为半焦距，都不是所求最小距离。