先找截面圆，再找空间中的球。用半径、截面半径与垂距组成的直角关系，连接平面几何和空间度量。

01 · 知识点概念、理由与条件02 · 考点方法与完整例题03 · 坑点边界与错因

一、知识点 理解概念

1. 球面、球体与截面是三个对象

半径 $R>0$ 的球，其球面面积为 $4\pi R^2$，球体体积为 $4\pi R^3/3$。平面截球体所得圆面的面积则为 $\pi r^2$。半球的曲面面积为 $2\pi R^2$，封闭半球总表面积还要加底圆，成为 $3\pi R^2$；半球体积为整球一半。

面积随半径平方变化，体积随半径立方变化，不能统一乘半径的倍数。$R=0$ 是只剩一点的退化边界，不是正常球。

2. 球心距为什么进入勾股关系

设平面到球心 $O$ 的垂距为 $d\ge0$，垂足为 $O'$。取球面与平面交线上的点 $A$，当 $0<d<R$ 时，$OO'\perp O'A$，故

$$R^2=r^2+d^2,\qquad r=\sqrt{R^2-d^2}.$$

右边与 $A$ 的选取无关，交线各点到 $O'$ 等距，所以交线是圆；球体与平面的交集还包括其内部，是圆面。

球心距	交集与半径
$d=0$	大圆面，$r=R$；两圆心重合
$0<d<R$	小圆面，$0<r<R$
$d=R$	只有一个切点，不是正常圆面
$d>R$	无交集

$d=0$ 时仍有 $R^2=r^2$，但不能给零线段 $OO'$ 指定垂直方向。截面越靠近球心越大，截面积至多为 $\pi R^2$。

球面上三个不共线点确定一个截平面，其三角形外接圆就是截面圆。直角三角形斜边的一半只能先确定 $r$，除非另证过球心，不能直接称为 $R$。

3. 球体积公式的截面解释

在半径 $R$、高 $2R$ 的圆柱中置球，令中间平面为 $z=0$。高度 $z$ 处球截面积为 $\pi(R^2-z^2)$。从同一圆柱中挖去两只以中点为共同顶点、上下底为底面的圆锥，每只高 $R$、底半径 $R$，剩余体在同高处的总截面积也是 $\pi R^2-\pi z^2$。

由祖暅原理，两体体积相等，因而

$$V=2\pi R^3-2\times\frac13\pi R^3=\frac43\pi R^3.$$

这里以祖暅原理和柱锥体积公式为已知。球面面积 $4\pi R^2$ 作为基本结论使用：将小片球面看成高近似为 $R$ 的小锥，只能直观解释 $V\approx SR/3$；曲面小片不是有限个精确平面底，不能把该近似拼锥当作完整证明。

二、考点 方法与例题

1. 从截面积与垂距确定球

先用截面积或三角形外接圆求 $r$，再认清所给距离是否为球心到平面的垂距 $d$，由 $R^2=r^2+d^2$ 取正根，最后按所问代入面积或体积公式。若反求截面，先检查 $d\le R$，并区分相切与真圆面。

例题 01 截面面积与两心距离

如图所示，球$O$的一个截面圆的面积是$36\pi\,\mathrm{cm}^2$，球心$O$到该截面圆圆心$O'$的距离是$8\,\mathrm{cm}$，求该球的表面积及体积．

题设几何图形及顶点标记

答案与解析

由 $\pi r^2=36\pi$ 得 $r=6\,\mathrm{cm}$，又 $d=8\,\mathrm{cm}$，所以 $R^2=6^2+8^2=100$，$R=10\,\mathrm{cm}$。

球表面积与体积分别为

$$S=400\pi\,\mathrm{cm}^2,\qquad V=\frac{4000\pi}{3}\,\mathrm{cm}^3.$$

检查：$r=6<R=10$，且 $d>0$，确为小圆。$36\pi$ 是截面积，不是球面积；长度、面积、体积的单位也分别不同。

例题 02 球面上的直角三角形

球面上有A，B，C三点，$\angle ABC=90^{\circ}$，$BA=BC=2\sqrt{2}$，球心O到平面ABC的距离是$2\sqrt{2}$，则球O的体积是（   ）

A．$32\pi$ B．$48\pi$ C．$32\sqrt{3}\pi$ D．$96\sqrt{3}\pi$

答案与解析

$AC^2=BA^2+BC^2=8+8=16$，所以 $AC=4$。取 $AC$ 中点 $O_1$，它是三角形外心，也就是截面圆心；截面半径 $r=2$。

球心O、截面圆心O1与球面三点的关系

已知球心到平面距离为 $2\sqrt2$，故

$$R^2=2^2+(2\sqrt2)^2=12,\quad R=2\sqrt3,\quad V=\frac43\pi(2\sqrt3)^3=32\sqrt3\pi.$$

选 C。A、B、D 分别为 $32\pi,48\pi,96\sqrt3\pi$，均与计算值不同。球心距不为零，已说明三角形所在平面不是大圆平面。

三、坑点 辨析与纠错

1. 截面圆半径不能冒充球半径

常见错法： 见到球面上直角三角形，就把斜边的一半当球半径。

错因与边界： 直角三角形的斜边是其外接圆直径，即截面圆直径。球心可以离该平面很远，必须再用 $d$。只有 $d=0$ 才有 $r=R$。球面三点例题中，错取 $R=2$ 会得到 $32\pi/3$，与正确体积不同；错误值是否出现在选项中不改变错因。

2. 没有足够的定位条件就不能唯一求球

只知球面一条弦长，通常不能唯一确定球半径。用三点求截面圆时，须确认三点不共线。到球面某一点的斜距也不是球心到截平面的垂距；勾股关系的直角点在垂足 $O'$，三个长度不能任意互换。

相切时截面只剩点；过心时圆心重合。两种特殊情形不能沿用“非零两心连线”的描述，但代数关系仍可在边界检验。

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