平面确定、空间位置与交线证明

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先分清对象属于哪里，再讨论相交、平行或异面。空间中的共线与共点，常可化成两个平面的公共成员问题。

一、知识点理解概念

1. 平面没有图框边界

平面是向四周无限延展、无厚度的平直面。图上的平行四边形只表示其中一部分；点在图框外，不等于点在平面外。点的归属用 $A\in\alpha$ ，整条直线在面内用 $l\subset\alpha$ ，不能混用对象类型。

本章以三个基本事实作为推理起点，而非由透视图证明：

三个不共线的点确定唯一平面。
直线上的两个不同点属于某平面，则整条直线在该平面内。
两个不重合平面若有公共点，则有且只有一条经过该点的公共直线，称为交线。

“不同”“不共线”“不重合”都不可省略。两个重合点不能确定直线，两重合平面也没有唯一交线。

2. 怎样确定唯一平面

给定对象	为什么可确定唯一平面
一条直线和线外一点	在线上取两个不同点，与线外点构成三个不共线点；两点归属再纳入整线
两条不同的相交直线	交点与两线上各一个非交点构成三个不共线点
两条不同的平行直线	按平行定义已共面；在一线上取两点、另一线上取一点，保证唯一

每一行的唯一性都归结为三个不共线点。平行线的存在性来自定义中的共面，不能套给异面线。三个共线点或一条线及线上一点，可在无数个面内；四个点则可能不共面。“不能唯一确定”不等于“没有任何平面经过”。

3. 按公共点和共面条件分类

对象	位置关系
两条不同直线	相交：共面且有一个公共点；平行：共面且无公共点；异面：不能同在任何一个平面
直线与平面	包含：整线在面内；相交：恰有一个公共点；平行：无公共点
两个不同平面	相交：公共部分是一条直线；平行：无公共点

重合直线或重合平面要另列，不属于表中的“不同对象”。直线若与面有两个不同公共点，就被迫整条在面内，故不存在“只有两个公共点”的第四种关系；不同平面也不可能只有一个孤立公共点。

$l\not\subset\alpha$ 只表示不整条包含，仍可能相交或平行。判定定理中的“面外直线”不能预先当作已平行于面。线段不交也不等于延长后的直线不交。

符号纠正：上传的知识资料记载，“直线在平面内”一栏曾错配成两平面平行的 $\alpha\parallel\beta$ 。按对象和定义，该栏应写 $l\subset\alpha$ ，不是两平面的关系。此处按上传知识资料的文字记录说明原符号误配。

4. 用平面交线证明异面或共线

一个实用异面判据是： $a\subset\alpha$ ， $b\cap\alpha=\{P\}$ ，且 $P\notin a$ 。若 $a,b$ 共面于 $\beta$ ，由于 $b$ 不包含在 $\alpha$ 内，两面不同；它们都含 $a$ ，交线就是 $a$ 。但 $P$ 也同属两面，便应在 $a$ 上，与条件矛盾。

反过来，要证明若干点共线，可逐点证明它们同属两个不同平面，便都位于交线上。要证明多线共点，先确认两线确实相交，再证交点属于第三线。要证明共面，则先定合法平面，再逐点或以两个不同点纳入整线。

二、考点方法与例题

1. 把缺失的条件暴露出来

逐项检查“不共线、点在线外、对象不重合、是否共面”。反例必须满足原条件，而不能另加不合法的退化图形。

例题 01 确定平面的命题

下列命题中真命题的为（）

A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面

C．经过两点可以作无数个平面 D．经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个

答案与解析

A 错：三个共线点不能唯一确定平面。

B 错：两条异面直线不能同在一个面；两线重合时也不能唯一。只有两条不同的相交线或平行线满足相应确定条件。

C 对：经过两不同点所定直线可作无数个平面；即使两点重合，只经过一个点也有无数个平面，结论仍成立。

D 错：给定点若在直线上，就仍有无数个平面；点在线外才唯一。故选 C。

例题 02 正方体中的两条直线

如图，在正方体 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中，直线 $BC$ 与直线 $D{D}_{1}$ （）

A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直

答案与解析

以正方体的面 $ABCD$ 为 $\alpha$ 。 $BC\subset\alpha$ ， $DD_1\cap\alpha=\{D\}$ ，且 $D\notin BC$ ，满足异面判据，选 A。

也可先排公共点：若两线交于 $X$ ，则 $X$ 同属面 $ABCD$ 与 $DD_1$ ，只能是 $D$ ，但 $D\notin BC$ ，矛盾。还需排共面：假设共面于 $\beta$ ，则两面同含不共线三点 $B,C,D$ ，必重合，迫使 $DD_1$ 在 $ABCD$ 内，又矛盾。

因此 B 的平行结论缺共面，C、D 的相交说法均不成立。这里图把 $ABCD$ 画在上方，也仍可选它为分析所用的面；“底面”并不是图中必须向下的位置。

2. 把点送入同一条交线

证明共线时先记两个已知不同平面的交线 $l$ ，不要尚未确认两点不同就给交线命名。证明共点时，先在已证明的平面内得到两线相交，再用另两个面的交线定位该交点。中位线与比例必须在合法三角形中使用。

例题 03 两个三角形的对应边交点

已知 $\triangle ABC$ 与 $\triangle {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 所在平面相交，并且 $A{A}_{1},B{B}_{1},C{C}_{1}$ 交于一点.若 $AB\cap {A}_{1}{B}_{1}=M,BC\cap {B}_{1}{C}_{1}=N,AC\cap {A}_{1}{C}_{1}=P$ ，求证: $M,N,P$ 共线.

答案与解析

记两三角形所在平面为 $\alpha,\beta$ ，由已知它们相交，设交线为 $l$ 。

$M\in AB\subset\alpha$ ，且 $M\in A_1B_1\subset\beta$ ，所以 $M\in l$ 。同理， $N$ 属于 $BC,B_1C_1$ ， $P$ 属于 $AC,A_1C_1$ ，分别得到 $N\in l,P\in l$ 。故 $M,N,P$ 共线。

原题还给 $AA_1,BB_1,CC_1$ 共点，但在已给三个对应边交点存在的条件下，上述证明不必使用它。先用已有交线 $l$ ，可避免未核对 $M\ne P$ 就先写直线 $MP$ ；交点在边的延长线上也不影响证明。

例题 04 空间四边形的分点连线

在空间四边形 $ABCD$ 中，若 $E$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $BC$ 的中点， $G\in CD$ ， $H\in AD$ ，且 $CG=2GD$ ， $AH=2HD$ ，则（）

A．直线 $EH$ 与 $FG$ 平行 B．直线 $EH$ ， $FG$ ， $BD$ 相交于一点

C．直线 $EH$ 与 $FG$ 异面 D．直线 $EG$ ， $FH$ ， $AC$ 相交于一点

答案与解析

在 $\triangle DAC$ 内， $DH/DA=DG/DC=1/3$ ，故 $HG\parallel AC$ 、 $HG=AC/3$ ；在 $\triangle ABC$ 内， $E,F$ 为中点，故 $EF\parallel AC$ 、 $EF=AC/2$ 。

两条不同平行线 $EF,HG$ 先确定平面，因而 $E,F,G,H$ 共面。它们的两底长度不等，侧线 $EH,FG$ 不能平行，否则会组成平行四边形并使两底等长。故两条直线相交，设交点为 $X$ 。

$EH$ 在面 $ABD$ 内， $FG$ 在面 $BCD$ 内，所以 $X$ 同属这两个面。空间四边形保证两面不同，交线为 $BD$ ，故 $X\in BD$ ，B 正确。

A、C 分别称两线平行、异面，均与已证相交矛盾。D 也不成立： $G$ 不在面 $ABC$ 内， $EG$ 与该面只交于 $E$ ，且 $E\notin AC$ ，故 $EG$ 与 $AC$ 异面，不能三线共点。

还可用有向位置核对：取 $D$ 为原点，以 $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$ 为基底， $E=(1/2,1/2,0)$ 、 $F=(0,1/2,1/2)$ 、 $H=(1/3,0,0)$ 、 $G=(0,0,1/3)$ 。直线 $EH$ 与 $FG$ 都经过 $X=(0,-1,0)$ ，即 $BD$ 在 $D$ 外的延长线上。此坐标检验与上面的交线证明一致。