归纳整除与几何计数：整数倍结构和真实增量

约 2384 字大约 8 分钟

整除递推要把新式写成旧式加上可确认的整数倍；几何计数要证明新对象究竟增加多少。猜到公式以后，还要把条件如何保证增量说清楚。

一、知识点概念与依据

1. 整除假设写成整数倍，下一步仍是整数倍

对固定非零整数d，d整除F(k)意味着F(k)=dz，其中z为整数。若可证明F(k+1)=cF(k)+dG(k)，并且c、G(k)都是整数，则F(k+1)=d[cz+G(k)]仍被d整除。

最常见的是c=1，即比较新旧差。展开后每一项的系数和常数都要准确；只说“差不多仍是倍数”不构成证明。起点、任意k与整数性要同时保留；若只跨2步，须核目标奇偶分支能否全部覆盖。

2. 几何递推先证明新增量，再累加

设rₙ为第n步对象的数量。先在原条件下证明加入一个对象恰好增加Δₙ，得到rₙ₊₁=rₙ+Δₙ；再通过基例和任意递推验证猜想公式。

环节	不能省略的内容
交点或分割数	是否彼此不同，是否存在平行、重合、共点
增加对象	线段、射线或区域是否真的不同
条件保持	新的整体仍属于题目允许的配置
数量口径	恰好数量与可达最大值并非同一命题

画前几步帮助发现规律，但不能只对某一幅画递推；论证要适用于任意满足条件的配置。如果求最大值，还要证明上界与达到方式；精确计数则要证明在给定条件下总有这个增量。

3. 代数与几何都要数全真正变化

和式末下标若是M(n)，新增整数下标从M(k)+1至M(k+1)，不是从M(k)开始重算旧末项。若旧项本身含n，还要加上它们各自变化，不能只看新末项。

例如u(j,n)=j(n+1−j)，旧第j项变化为j，故前k项增加1+…+k，还须加新末项k+1；含变化系数的和式证明给出了完整应用。

几何中也不能把交点个数直接当区域新增数：端部可能是射线，每段究竟分开哪一个旧区域也需解释。清点完整增量之后，才能调用旧命题并整理成下一命题。

二、考点方法与例题

1. 滑动求和的新旧差保留两端

相邻两个表达式有大量相同项时，先直接相减。余下部分展开并提出固定整数，再用假设接回整式。

例题 01 相邻三项立方和的整除性

题目

用数学归纳法证明： ${n}^{3}+{\left( n+1\right)}^{3}+{\left( n+2\right)}^{3}$ 能被 $9$ 整除 $\left( n\in {N}^{\ast }\right)$ .

答案与解析

解析

记F(n)=n³+(n+1)³+(n+2)³。n=1时F(1)=1+8+27=36=9×4，基例成立。

任取正整数k，假设F(k)=9z，z为整数。新旧相减，相同两项抵消，得到

\begin{aligned}F(k+1)-F(k)&=(k+3)^3-k^3\\&=9k^2+27k+27\\&=9(k^2+3k+3).\end{aligned}

因此

F(k+1)=9[z+k^2+3k+3].

括号中是整数，故下一式仍被9整除。基例与对任意k成立的递推共同证明全体结论。原资料曾将展开的末常数27误写成27k，并将提出9后的3k误写成3k²。两处应以上述规范差式为准；由(k+3)³=k³+9k²+27k+27可逐项检查，最终整除结论不变。

本题结论

所有正整数 $n$ 对应的 $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$ 都能被9整除。

2. 一条新直线增加的区域要逐层解释

先确认新线与旧线形成互异交点，再数这些点分出的整条直线段落，最后证明每个段落确实分开不同的旧区域。只有这三层接通，计数递推才成立。

例题 02 直线分割平面的区域计数

题目

在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点.问：这n条直线将平面分成多少个部分？

答案与解析

解析

题中按不同直线两两有唯一交点、任意三条不共点理解，因此不含平行或重合直线。先看前几种配置，区域数为2、4、7、11、16，猜想rₙ=1+n(n+1)/2。下图保留原资料的解题示意，用于观察，不代替任意配置的证明。

n=1时一条直线分平面为两个区域，r₁=2=1+1×2/2，基例成立。

任取k≥1，假设任意满足条件的k条直线分出rₖ=1+k(k+1)/2个区域。从任意满足题意的k+1条直线中取一条作为新增线，其余k条仍满足条件。新增线与每条旧线相交；没有三线共点，故恰有k个不同交点。这k个点把整条新线分成k+1个段落，其中两端是射线。

每个旧区域是若干开半平面的交，因而是凸集；新线不能离开某一区域后又重新进入它。因此上述k+1个段落位于不同旧区域内。每个段落穿过所在区域并将它分成两部分，恰使区域总数增加1，所以总共增加k+1个区域。

r_{k+1}=r_k+(k+1)=1+\frac{k(k+1)}2+(k+1)=1+\frac{(k+1)(k+2)}2.

任意递推成立，结合起点得到全部公式。这是给定条件下的精确值；如果允许平行、重合或三线共点，互异交点数可能减少，就不能仍照用同一个增量。

本题结论

$1+n(n+1)/2$ 个区域。

3. 末下标跳跃时，用完整整数区间数项

新旧末下标之差就是新增项数，但前提是旧项保留、下标按单位递增且末下标增大。把新第一项写清可避免多计旧末项。

例题 03 末下标变化时的新增项数

题目

利用数学归纳法证明不等式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{{3}^{n}-1}<f\left( n\ge 1,n\in {N}^{\ast }\right)$ 的过程中，由 $n=k\left( k\ge 1\right)$ 变到 $n=k+1$ 时，左边增加了（）

A．1项 B． $k$ 项 C． ${3}^{k}$ 项 D． $2\times {3}^{k}$ 项

答案与解析

解析

旧末分母是3ᵏ−1；新末分母是3ᵏ⁺¹−1，所以新增分母从3ᵏ到3ᵏ⁺¹−1，首尾都包括。项数为

(3^{k+1}-1)-3^k+1=2\cdot3^k.

选D。k=1时就新增分母3、4、5、6、7、8共6项，A的1项、B的k项、C的3ᵏ项均不合；一般差式给出全部k的答案。题中的右边f未具体给出，但它不影响这道项数题，也不表示原不等式已经证明。

本题结论

D， $2\cdot3^k$ 项。